С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 16

Лействительно, подстановка (ЗЗ) в (29) дает 1 — з (е) — а ррз=2пбб е =. е в соответствии с (31). В 7. Стохастические дифференциальные уравнения. Использование стохастических методов при неизвестном точном решении Усреднение системы линейных уравнений се случайными й-коррелированными коэффициентами. Во многих задачах, особенно нелинейных или связанных с системами с переменными параметрами, вид точного решения для дифференциального уравнения, определяющего случайный процесс, бывает неизвестен. В теории случайных процессов разработан ряд специальных методов, которые позволяют отыскивать статистические характеристики, в принципе, и в этом случае.

Эти методы называют иногда стохастическими, чтобы подчеркнуть, что в них с самого начала используется случайность (стохастпчпость! исследуемого процесса. 78 ГЛ Ь МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Используя стохастические методы, можно, исходя из дифференциального уравнения для х и минуя его аналитическое решение, получать уравнения (тоже дифференциальные) непосредственно для статистических характеристик — моментов х", распределения вероятностей ш(х, г) и т. п. Рассмотрим переход к уравнению для средних, если исследуемый случайный процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями с 6-коррелированными случайными коэффициентами. Чтобы пояснить сущность метода, возьмем простой случай одного уравнения первого порядка х + (й+ $ (!)! х = ~р (1), $ = О, Я, = 2))6 (т), с гауссовским случайным 6-коррелированным коэффициентом $ (1).

Уравнение (1) допускает аналитическое решение; поэтому статистические характеристики х можно, в принципе, найти путем усреднения этого решения. Мы, однако, воспользуемся (1), чтобы проиллюстрировать метод вывода уравнений непосредственно для средних. Усреднив (1) по ансамблю Р, получим х+Ьх+сх= э(г). (1.7.2а) Если бы удалось выразить среднее Гх через х, мы имели бы замкнутое дифференциальное уравнение для х. Покажем, что в рассматриваемом случае это нетрудно сделать. Интегрируя (!) методом возмущений, получим решение в виде ряда х=х„-!-«,+х,+..., члены которого пропорциональны возрастающим степеням $: х, (1) = ~ гьа р (7 — 9) 69 о х,(г)= — $ е-"'6(г — ОА)х,(г — ОА) (Ои (1.У.З) о «,(()=$ е — Ав9(1 — 9,)х,(1 — 9,)69,= о )')е — АФ+а>ф(1 — 9,)с(т — 9,— 9,)х,(! — 9,— 9,)ИО,В, (1Л.4) о и т.

д. Заметим, что члены нечетного порядка являются чисто флуктуационными, а члены четного порядка имшот как случайную, $ т. стохестические мнтоды так и регулярную компоненты: хее и хее~-1 хее Хее + хел В частности, (л=О, 1, 2, ...). х, (1) = х, (г), х, (1) = Ц е(8, ИВее — 'Ш - оа !й (1 — 8,) 8 (! — В, — Ве)— о — 8 (à — В,) 8 (à — 0, — 8,)1х, (1 — В, — 8,). <1.7.6) Ислользуя корреляционную функцию (2), находим, что е-ее ! = — 1пп 2Рх, (1) = О. е о Лалее, используя (4), можно показать, что <5(1)) хе(0)Щ О о и вообще <$(1) ~х„(0) Ж) =О.

Это значит, что о <%(() 1 х (8) о(В> =О, (1.7.7) о е НО ПОСКОЛЬКУ <$(1) $Х(0) ЙВ)еееО И Х=Х+Х, тО СООТНОШЕНИЕ (7) о можно переписать как <6 (1) $ х <6) бВ) = О. о Совершенно аналогично доказывается, что <к(1) $Ь(8)х(0) (0) =О. о (1.7.6) <8(г) $х,(0) дВ) = о Е+е ее — !пп $ о(8$ о(В,е-оо <$(е)$(0 — 8,))х (6 — Ве)= е о о о е+Е ее - — 2Р!пп $ о(8 $ г(во а — "'*х,(8 — 0,) б(1 — В+8,).

(1.7.6) е оо о В (6) 0,~0, а значит, обращение б-функции в нуль может нроизойти только на интервале 1(8-=.1+в. Интегрируя в (6) сначала но 8,, а затем но 6, получим 1 1+о <6(1) ) х,(6) о(6) = — 1пп2Рхо(1) ~ о(Ве-о ~о-о о е о гл.

ь методы теОРии случАЙных Функций ($(Г) ~ $(8) х(8) О(6) = Рх((). О (1.7.9) Вернемся к усредненному уравнению (1): х + йд+ 1х = ср (!), в котором, напомним, нужно выразить $х через д, чтобы полу- чить замкнутое уравнение, содержащее только х. Такое пред- ставление для йх можно найти, если воспользоваться соотноше- ниями (8) и (9). Действительно, поскольку (1) эквивалентно инте- гральному уравнению с Х (!) = $ ( — йХ (6) — $ (8) Х (8) + ср (6)1 О(6, О (1.7.! О) с $к = — Ь($(!))х(6)О(8) — (6(Г)$6(6)х(6)с(6), О О или с учетом (8) и (9) $х = — Рх.

(1,?. 1 1 ) Подставив (11) в (!О), получим искомое уравнение для д: х+(л — Р) х =ср(1), (1.7.12) из которого следует, что х (г) = е — 'А-о> О Чс (( — 8) с(6 = ~ (ср = сонэ!). (1.7.13а) сс — 0 Зтот результат можно проверить, прямо усредняя решение уравнения (1), вид которого известен: сО х(!)=1 а — АО-х р(! — 8)(6, к- 5 й(г')О(!'. Считая ср=сопз1, находим х ср ~ е-АО(а-х) (6 (1.7.13б) О Учитывая (2), нетрудно убедиться, что ()(О? 2Р6, причем процесс д, линейно зависящий от гауссовского шума 6, тоже является гауссовсиим. Следовательно, с (с-х) -ст '',-аоО 81 $ т.

стоххстичвскив методы Подставив это среднее н (13б) и интегрируя, получим выражение, совпадающее с (1За). В заключение подчеркнем, что замкнутое уравнение для (уравнение (12)) мы получили, воспользовавшись предположением о 6-коррелированности флуктуаций параметров. Выше указывалось, что 6-коррелированный процесс физически нереализуем. Тем не менее этой моделью можно пользоваться, если ширина спектра флуктуаций существенно превышает характерную полосу пропускания системы; более подробно этот вопрос рассмотрен в 9 3 гл. б (см. также обсуждение после формул (31), (32)). (6 .(1) 1хэ(6)66>=0, о (1.7,18) ! (йтп Р) зз йрп (6) хо (6) лэ) = Ртар о (1) Мо (Г) (1.7.17) о тан что, усредняя (14) и используя последние соотношения, нетрудно получить систему дифференциальных уравнений для средних х, х, ..., д Процедура вывода этих уравнений очень проста, Усредняя (14), имеем х =~а,д,+~(6 пхп)+атт (1.7.!8) л л эде, очевидно, (йтлхп) - (болллл) Однако, чтобы найти ($тл.Гл), нам нужно знать не всю флуктуацию лп, а лишь ее компоненту, которая коррелирует с $тп.

Обозначим эту компоненту посредством хгл1: (!.7.19) Как следует ив (16), (17), уравненяя для х~"~ получим, оставив в правой части (14) только члены, пропорциональные $ „, заменяя прн этом коэффициенты прн $ и нх среднимн значениями: -3). х„=; $п» 09 ха+ йп„(Г). Сп1 % Соотношения типа (8) и (9) справедливы и в общем скучав системы произвольного числа уравнений первого порядка со случайными 6-коррелированными коэффициентами Л д, = ~ 1а (г)+$ (г)]ха+а Р)+$ л(1) (ш 1. 2, ..., Аг), (1.7.14) л ! определяющими случайные функции хт, х„..., х,. А именно, если 6 (г)— случайные, взаимно 6-коррелированные н, вообще говоря, нестационарные гауссовские функции времени: (йтп) =0 ($щл (Ф) й>ю (Г)) =2Ртпрэ (1) 6 (à — Г), (1.7,16) чо, аналогично (8) н (9), ГЛ.

Ц МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ с ! х'.л) (с)-~ х» (1) ) 6.» (в) де+) 6л, (е) де, (1.7.20) » ге<С 6<1 где с учетом 6-корреляции 6л» функция х» вынесена из-под знака интеграла. Подставив (20) в (19), получим ($млхл) =~.,'д»Омал»+))тала (1.7.21) Подстановка (21) в (18) дает искомые уравнения для средних хм.

Соотношения вида (20) и (21) могут быть доказаны н для нелинейных стохастичаскнх уравнений. Например, если У=а(х)+Ь(х)$(Г), (66т)=206(т) (а, Ь вЂ” произвольные функции х), то хлл~=(Ь (х)) й, $= $ 6(е)бе ц<с (х$) =(х'л'6) =(Ь(х)) В Этн соотношения следующим образом обобщаются на случай некоторой функции 7(х) процесса х: (щ' = ((' (х) Ь (х)) й ()' кя д(/дх), (1 (х) 6) (7' (х) Ь (х)) О. (1.7.2!а) (1.7.216) Х»+(26 — 4Р) хе=2ф(Пх, (1.7.23) откудл ха=2~ е ( ~ ф(т — Е)х(1 — Ь)аз, Приведенные соотношения строго доказываются с помощью уравнения Фоккера— Планка (см.

следующий раздел), и метод расчета, основанный иа модели 6-кор- релированных коэффициентов, иногда называют фоккер-планковским приближе- нием. Описанный подход применим для определения моментов произвольного (а не только первою) порядка по х, ..., х, так как. домножая (14) на функ- ции х, ..., х, и комбинируя, всегда можно получить замкнутую систему линейных уравнений для величин у,=х х ... х, Усредняя эти уравнения, ла- ' а ч"' придем к уравнениям для моментов произвольного порядка (у г). Напри- мер, умножив (1) на х, получим уравнение — „г +26+26 (1)] ха =20 (с) х, (~ (1.7.2х2) которое вместе е (1) образует для х и хэ систему уравнений вида (14).

усред- няя с учетом (16) и (17), находим 4 т. стоххстичяскип мдтоды ичи, принимая во внимание (13а), «ь (. )~=2$$ЛЕЛЕ«е — ""-'ОГВ ф-О"рр — Е)рр — Š— Е) (!.7.24) 0 где индекс Й при угловых скобках напоминает, что усреднение произведено по ансамблю», т. е.

на функцию ф оно не распространяется. Зто означает, что »э()) является либо регулярной (неслучайной) функцией времени, либо «р(1) случайна, но статистически независима от » (!). Предположим, что имеет место последний случай. причем ~р=о, ур«=Во(т), (!.7,25) Усредняя (13) и (24) дополнительно по ансамблю ~р н учитывая (25), получим (х)», =О, (хз)»,, -„ — ~- е (~ Ш «В, (т)«)т. (1.7.хо) В частности, если В (т)=озе т' ~, то средний квадрат х будет равен ое »'е (И вЂ” 20) (И+у — О) ' Как известно, б-корреляции соответствует неограниченный по ширине частотный спектр: если В(т)=2Р5(т), то ! 0 б (ю) = — ! В (т) е'"т«(т= — = сопз1 л при любом значении ы. Поэтому рассмотренную модель уравнений с дельтакоррелированными коэффициентами можно применять лишь в том случае, если случайные коэффициенты уравнениИ изменяются во времени достаточно быстро, т.