Диссертация (Коэрцитивная разрешимость задачи коши и нелокальных задач для параболических уравнений)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»На правах рукописиУДК 517.95, 517.98Ханалыев Аскер РесуловичКОЭРЦИТИВНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬЗАДАЧИ КОШИ И НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙСпециальность 01.01.02 –«Дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управление»Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Л.Е.РоссовскийНаучный консультант: д.ф.-м.н., профессор А.АшыралыевМосква – 20162ОглавлениеВведение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Глава 1. Задача Коши для параболических дифференциальныхуравнений с переменным оператором . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1. Постановка задачи. Разрешимость в C0 , ([0,1], E) и C  ([0,1], E ) . . . . . 151.2. Теорема о разрешимости в пространстве C0 , ([0,1], E  ) . . . .

. . . . 341.3. Приложения к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Глава 2. Нелокальная задача с постоянным оператором . . . . . . . . . . . 982.1. Постановка задачи. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E) . . . . 982.2. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E  ) . . . . . . .

. . . . . . . 1032.3. Разрешимость в пространствах C  ([0,1], E ) и C0 , ([0,1], E) . . . . . . . 1052.4. Приложения к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.4.1. Параболическое функционально-дифференциальноеуравнение с растяжением и сжатием пространственныхпеременных . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.4.2. Параболическое дифференциальное уравнение с нелокальнымусловием на  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133Глава 3. Нелокальная задача с переменным оператором . . . . . . . . . . 1183.1. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E) . . . . . . .

. . . . . . . . 1183.2. Разрешимость в пространстве C0 , ([0,1], E  ) . . . . . . . . . . . . . . 1293.3. Разрешимость в пространствах C  ([0,1], E ) и C0 , ([0,1], E) . . . . . . . 1333.4. Приложения к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 136Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384ВведениеАктуальность темы. Изучение надземных месторождений нефти и газа, рядзадач механики жидкости, математической биологии, финансовой математикиприводят к решению различных локальных или нелокальных краевых задач дляпараболических уравнений. Поэтому изучение этих задач не теряет своей актуальности (см., например, [19, 59, 64-66, 75]).Коэрцитивная разрешимость – одно из актуальных направлений в теориидифференциальных уравнений с частными производными. А именно:- коэритивные неравенства широко применяются при изучении линейныхзадач (см.

[25]);- коэрцитивность помогает изучить безусловно устойчивые разностныесхемы (см. [3, 5, 6]);- коэрцитивность дает возможность построить разные аналитико-численныеметоды решения задач (см. [25]).В литературе представлены различные результаты по точным оценкам,максимальной регулярности, коэрцитивной разрешимости. Классические результаты даны в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н.

Уральцевой,П. Е. Соболевского и др. (см. [13, 25-29, 40-47, 73, 74]).Диссертационная работа посвящена коэрцитивной разрешимости параболических уравнений. Во-первых, изучается коэрцитивная разрешимость задачи Кошиv (t )  A(t )v(t )  f (t )(0  t  1),v(0)  v 0(1)для дифференциального уравнения с действующим в банаховом пространстве Eлинейным неограниченным, сильно позитивным оператором A(t ) , имеющим независящую от t , всюду плотную в E область определения D  D( A(t )) и порождающим аналитическую полугруппу exp{ sA(t )} ( s  0) . Доказываются абстрактныетеоремы и рассматривается их применение. Во-вторых, исследуется коэрцитивнаяразрешимость нелокальных задач как с постоянным операторомv(t )  Av(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )  (0    1) ,(2)5так и с переменным операторомv (t )  A(t )v(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)  v( )  (0    1)(3)для параболических дифференциальных уравнений и приводятся приложенияполученных абстрактных результатов.Введем банахово пространство C0 , ( E)  C0 , ([0,1], E)(0     ,0    1) ,полученноезамыканием множества всех гладких функций f (t ) , определенных на отрезке [0,1]со значениями в E в нормеfC0 , ( E ) fC(E)(t   ) f (t   )  f (t ) sup0t t  1E.Здесь под C ( E )  C ([0,1], E ) понимается банахово пространство определенных на[0,1] со значениями в E непрерывных функций f (t ) с нормойfC(E) max f (t ) E .0  t 1Таким образом, при    и   0 пространство C0 ,0 ( E)  C0 ,0 ([0,1], E) (0    1)совпадает с пространством Гѐльдера C  ( E )  C  ([0,1], E ) (0    1) , для которогонорма имеет видfC (E) fC(E) supf (t   )  f (t )0t t  1E.А при      пространство C0 , ( E)  C0 , ([0,1], E) (0    1) с нормойfC0 , ( E ) f supC(E)(t   ) f (t   )  f (t )0t t  1Eсовпадает с пространством C0 ( E)  C0 ([0,1], E) (0    1) , норма в котором имеет видfC0 ( E ) fC(E) sup0t t  1t  f (t   )  f (t )E,причем нормы этих пространств равномерно по   (0,1) эквивалентны.Известно, что в случае произвольного неограниченного сильно позитивногооператора и любого банахова пространства E коэрцитивная разрешимость задачи(1), (2) и (3) отсутствует в C (E ) [см., например, 22, 29, 71, 72].

Так каканалитичность полугруппы является лишь необходимым, но не достаточнымусловием коэрцитивной разрешимости этих задач в этом пространстве. Поэтому6оченьважновыделитьфункциональныепространства,гдеэтизадачикоэрцитивны.Первые теоремы о коэрцитивной разрешимости для абстрактной задачи Кошиполучены в 1964 году в работе П.Е.Соболевского для пространств C0 ( E ) (0    1)и Lp ( E)  Lp ([0,1], E) (1  p  ) . В его работе [43] коэрцитивная разрешимость задачиКоши для параболического дифференциального уравнения доказывается впространстве C0 ( E) при v0  D( A) . В 1972 году В.

П. Аносов и П. Е. Соболевскийустановили коэрцитивную разрешимость задачи Коши в пространстве Слободец1pкого Wp ( E )  Wp ([0,1], E ) (1  p  , 0    ) (см. [2]). Более того, аналитичностьполугруппы является необходимым и достаточным условием коэрцитивнойразрешимости задачи Коши в пространствах C0 ( E) и Wp (E ) . В 1974 году П.

Е.Соболевский и Да Прато показали коэрцитивную разрешимость той же задачи впространствах C([0,1], E , ) (0    1) и Lp ([0,1], E , p ) (0    1, 1  p  ) , где E , p( 0    1, 1  p  ) банаховы пространства, полученные вещественным методоминтерполяции из пары E и D ( A) ( D( A)  E , p  E ) (см.

[47, 73, 74]).Эти результаты стали началом для полученных в дальнейшем результатов окоэрцитивной разрешимости. Коэрцитивная разрешимость задачи Коши впространстве C  ( E ) при Av 0  f (0) доказана в работе А. Ашыралыева и П.Е.Соболевского (см.[7]). В 1989 году А. Ашыралыев доказал коэрцитивность задачиКоши для параболического уравнения с постоянным оператором в пространствахC0 , ( E ) и C0 , ( E   )  C0 , ([0,1], E  ) (0       ,0    1) , тем самым, в нормах этихпространств были получены коэрцитивные неравенства (см.[4, 71]).Таковы основные результаты коэрцитивной разрешимости задачи Коши (1) дляпараболического дифференциального уравнения с постоянным операторомA(t )  A .Коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для параболического дифференциального уравнения с переменным оператором в пространствах Гѐльдера C0 ( E) с7весом t  , Слободецкого Wp (E ) и в пространстве C ( E )  C ([0,1], E ) при 0      1установлены в [2, 32, 43].

Отметим, что коэрцитивная разрешимость задачи (1) вC ( E ) при 0    1 в условиях выпольнения условия Гѐльдера с любым показа-телем 0    1 для оператора A(t ) A 1 ( ) по t в норме E  получается предельнымпереходом   0 из оценок коэрцитивности схем Роте и Кранка-Николсон,которая ещѐ ранее установлено в работе [3].В диссертационной работе исследуются коэрцитивная разрешимость задачиКоши (1) и нелокальных задач (2), (3) в пространствах C0 , ( E) и C 0 , ( E   ) .Доказываются коэрцитивные неравенства в нормах этих пространств.Цель работы.Цель настоящей диссертации – изучить коэрцитивную разрешимость задачиКоши (1) и нелокальных задач (2), (3) для абстрактных параболических уравненийв пространствах гладких функций, расширить число функциональных пространств, где рассматриваемые задачи коэрцитивны.Методы исследования.В работе используются методы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы спектрального анализа линейных операторов, теория однопараметрических полугрупп линейных операторов.Научная новизна.Все результаты диссертации являются новыми.