Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 6

В промежуточных вычислениях не указывается нормировочный множитель в базисныхсостояниях (2.8). Разложение (2.5) фермионных полей по операторам рождения иуничтожения кратко записывается в видеχir (x))∑ (1i−ipm x−i†ipm x−bmr (x)e+ dmr (x)e==√2aL m∈N− 1(2.19)2)1 (=√b + d† m,x ,2aLгде подразумевается наличие соответствующих экспонент и суммирование по индексу m ∈ N − 1/2.

Ввиду наличия антипериодических граничных условий приприменении операций ∂−−1 к этим экспонентам возникают множители типа p−1m ,∫Lа после окончательного интегрирования −L dx− эти экспоненты в совокупностидадут соответствующий символ Кронекера, умноженный на 2L.2.3Действие гамильтониана на базисные состоянияРассмотрим действие каждого оператора в гамильтониане (2.15) на базисные состояния (2.8) в отдельности.2.3.1Оператор, связанный с нулевыми модами ⟩Рассмотрим действие оператора H1 (2.16) на базисное состояние lm (2.8).В этом состоянии фигурирует цепочка матриц Uy,z . Если длина l состояния равнанулю, т.

е. y = z, то очевидно, чтоπa (x)πa (x)Uy,y |0⟩ = πa (x)πa (x) |0⟩ = 0,(2.20)36и, следовательно, ⟩= 0.H1 l=0m(2.21)Пусть y < z, что соответствует l > 0. Из определения (2.9) для цепочкиматриц U следует, что Uy,z можно записать какUy,z = Uy,x Ux,z = Uy,x−1 U † (x)U † (x + a)Ux+1,z =(2.22)= U † (y + a)U † (y + 2a) . . . U † (x − a)U † (x)U † (x + a) . . . U † (z).Отсюда видно, что для произвольного x, принадлежащего отрезку (y, z], в цепочке Uy,z присутствует только одна матрица U † (x).

В этом случае, пользуясь перестановочными соотношениями (2.6), можно написать:λa λaπa (x)πa (x)Uy,z |0⟩ = Uy,xUx,z |0⟩ =22()11=N−Uy,z |0⟩ ,2N(2.23)где использовано тождество для группы SU (N ):()11=N−.2 22N∑ λa λaa(2.24)Если же x ̸∈ (y, z], тогда выражение πa (x)πa (x)Uy,z |0⟩ с очевидностью равно нулю.Таким образом, действие оператора H1 на базисное состояние с положительной длиной можно записать в следующем виде:∑∑ ⟩†H1 l>0∝πa (x)πa (x) · b†m (y)Uy,y+la dm(y + la) |0⟩ =mx=x=y∑∑πa (x)πa (x) · b†m (y)Uy,x Ux,y+la d†m (y + la) |0⟩ =y∑x∈(y,y+la]∑yλa λa††bm (y)Uy,xUx,y+la dm(y2 2+ la) |0⟩ =()11 ∑ ††=l·N−bm (y)Uy,y+la dm(y + la) |0⟩ .2Ny(2.25)37Приведенные рассуждения применимы и к случаю l < 0 и приводят к аналогичному ответу. Полученные результаты для случаев l = 0, l > 0 и l < 0 можнообъединить и прийти к окончательному выражению:()2l ⟩l ⟩ga11m .H1 m =N−|l|·4Lη20 2N2.3.2(2.26)Двухфермионный оператор ⟩Действие оператора H2 (2.16) на базисное состояние lm можно записатьследующим образом: ⟩H2 lm =()g2 11 ∑∑∑N−s n1 ×(2.27)8LLhad 2Nxyn1( †)††(y + la) |0⟩ .× bn1 (x)bn1 (x) + dn1 (x)dn1 (x) · b†m (y)Uy,y+la dmРассмотрим члены с операторами b† b и d† d по отдельности.b†n1 (x)bn1 (x)Для этих операторов в сумме по x в (2.27) ненулевой вклад дает член сx = y:()g2 11 ∑∑N−s n1 ×(2.28)8LLhad 2Nyn1†(y + la) |0⟩ .× b†n1 (y)bn1 (y)·b†m (y)Uy,y+la dmВыполняя указанную свертку операторов bn1 (y) и b†m (y) и суммируя по индексуn1 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:() ⟩g2 11N−sm · lm .8LLhad 2Nd†n1 (x)dn1 (x)(2.29)38Для этих операторов в сумме по x в (2.27) ненулевой вклад дает член сx = y:()g2 11 ∑∑N−s n1 ×(2.30)8LLhad 2Nyn1†× d†n1 (y + la)dn1 (y + la) · b†m (y)Uy,y+la dm(y + la) |0⟩ .†Выполняя указанную свертку операторов dn1 (y + la) и dm(y + la) и суммируя поиндексу n1 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:() ⟩g2 11N−sm · lm .8LLhad 2N(2.31)Таким образом, полный вклад оператора H2 оказывается следующим: ⟩H2 lm =() ⟩g2 11N−(sm + sm ) lm .8LLhad 2N(2.32)Рассмотрим входящую в это выражение сумму sm + sm .

Для величины sm , определенной в (2.17), справедливо следующее утверждение:sm =∞∑k=1/2k̸=m=∞∑k=1/2k̸=m∞∑11−=(pm − pk )2(pm + pk )2k=1/21−(pm − pk )2∑m−1/2=k=1/21+(pm − pk )2∑m−1/2=2(2.33)k=1/21.(pm − pk )2∞∑k=2m+1/2∑2m−1/2k=m+1/22m−1/2∑11==(pm − pk )2(pm − pk )2k=1/2k̸=m1=(pm − pk )239Аналогично для sm можно написать выражение∑m−1/2sm = 2k=1/21=2(pm − pk )2∑n−1/2=2k=m+1/2∑1k=1/2(pn − pm − pk )2n−m−1/2(2.34)1.(pm − pk )2Используя выражения для sm и sm , вклад (2.32) оператора H2 можно переписатьследующим образом: ⟩H2 lm =() n−1/2l ⟩1 ∑1g2 1 .N−·4LLhad 2N(pm − pk )2 m(2.35)k=1/2k̸=m2.3.3Оператор, соответствующий кинетическому членуОператор H3 (2.16) после раскрытия скобок записывается в следующемвиде:∫i ∑dx−H3 = −8a xL−L[χ† (x − a) · ∂−−1 χ(x − a)(2.36)+ χ† (x + a) · ∂−−1 χ(x + a)− χ† (x − a)U † (x) · U † (x + a)∂−−1 χ(x + a)− χ† (x + a)U (x + a) · U (x)∂−−1 χ(x − a)+ 2mq aχ† (x) · ∂−−1 2mq aχ(x)+ 2mq aχ† (x − a)U † (x)σ1 · ∂−−1 χ(x)− 2mq aχ† (x + a)U (x + a)σ1 · ∂−−1 χ(x)+ 2mq aχ† (x) · ∂−−1 U (x)σ1 χ(x − a)]− 2mq aχ† (x) · ∂−−1 σ1 U † (x + a)χ(x + a) ,40где было учтено σ1 σ1 = I и U † (x)U (x) = I.

В этом выражении под знаком суммирования можно «сдвигать» переменную x произвольным образом. Вследствиеэтого последние четыре члена в нем сократятся, а остальные запишутся следующим образом:H3 = H31 + H32 + H33 ,(2.37)гдеH31)∑i (22 + (2mq a)= −8axi ∑8a xH32 =∫L−L∫Li ∑8a xH33 =∫Ldx− χ† (x)∂−−1 χ(x),(2.38)−Ldx− χ† (x)Ux,x+2a · ∂−−1 χ(x + 2a),(2.39)dx− χ† (x)Ux,x−2a · ∂−−1 χ(x − 2a).(2.40)−LРассмотрим эти операторы по отдельности.Оператор H31Используя обозначения (2.19), действие оператора H31 на базисное состояние можно записать в следующем виде: ⟩H31 lm = −)∑∑i (22+(2ma)q16a2 Lxy∫Ldx−(2.41)−L†(b + d)n1 ,x ·∂−−1 (b†(y + la) |0⟩ .+ d )n2 ,x · b†m (y)Uy,y+la dm†Оператор H31 локален по x⊥ , следовательно в произведении (2.41) останутсякомбинации только одинаковых операторов рождения и уничтожения.

Учитывая то, что в базис пространства Фока входят состояния только с одной кварк–41антикварковой парой, очевидно, что единственные ненулевые комбинации этихоператоров –– это b† b и dd† . Рассмотрим их по очереди.b†n1 (y)bn2 (y)Для этой комбинации в сумме по x в (2.41) ненулевой вклад дает член сx = y:)∑i (22 + (2mq a)−16a2 Ly×∫Ldx− b†n1 (y) · ∂−−1 bn2 (y) ×−Lb†m (y)Uy,y+la d†m (y+ la) |0⟩ .После применения операции ∂−−1 и интегрированияобразуется к следующему виду:−(2.42)∫L−−L dxэто выражение пре-) ∑ δn1 ,n2i (2×2+(2ma)q8a2−ipn2y(2.43)× b†n1 (y)bn2 (y)·b†m (y)Uy,y+la d†m (y + la) |0⟩ .Выполняя указанную свертку операторов bn2 (y) и b†m (y) и суммируя по индексамn1 и n2 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:) 1 l ⟩1 (2 .2+(2ma)q8a2pm m(2.44)dn1 (x)d†n2 (x)Для этой комбинации в сумме по x в (2.41) ненулевой вклад дает член сx = y + la:)∑i (2−2 + (2mq a)16a2 Ly×b†m (y)Uy,y+la d†m (y∫Ldx− dn1 (y + la) · ∂−−1 d†n2 (y + la) ×−L+ la) |0⟩ .(2.45)42После применения операции ∂−−1 и интегрированияобразуется к следующему виду:−∫L−−L dxэто выражение пре-) ∑ δn1 ,n2i (22+(2m×a)q8a2ipn2y(2.46)†× dn1 (y + la)d†n2 (y + la) · b†m (y)Uy,y+la dm(y + la) |0⟩ .†Выполняя указанную свертку операторов dn1 (y + la) и dm(y + la) и суммируя поиндексам n1 и n2 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:) 1 l ⟩1 (2 .2 + (2mq a)8a2pm mВ итоге полный вклад оператора H31 оказывается следующим:()l ⟩ ⟩() 1112H31 m = 2 2 + (2mq a)+· lm .8apm pm(2.47)(2.48)Оператор H32Используя обозначения (2.19), действие оператора H32 на базисное состояние можно записать в следующем виде: ⟩H32 lm =i ∑∑16a2 L x y∫Ldx−(2.49)−L†(b† + d)n1 ,x Ux,x+2a · ∂−−1 (b + d† )n2 ,x+2a · b†m (y)Uy,y+la dm(y + la) |0⟩ .Единственные ненулевые комбинации операторов рождения и уничтожения вH31 –– это b† b и dd† .

Рассмотрим их по очереди.b†n1 (x)bn2 (x + 2a)43Для этой комбинации в сумме по x в (2.49) ненулевой вклад дает член сx = y − 2a:i ∑16a2 L y∫Ldx− b†n1 (y − 2a)Uy−2a,y · ∂−−1 bn2 (y) ×−L(2.50)× b†m (y)Uy,y+la d†m (y + la) |0⟩ .После применения операции ∂−−1 и интегрированияобразуется к следующему виду:∫L−−L dxэто выражение пре-i ∑ δn1 ,n2 ††bn1 (y − 2a)Uy−2a,y bn2 (y)·b†m (y)Uy,y+la dm(y + la) |0⟩ . (2.51)28a y −ipn2Выполняя указанную свертку операторов bn2 (y) и b†m (y) и суммируя по индексамn1 и n2 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:−1 1 l+2 ⟩.8a2 pm m(2.52)Здесь также была использована возможность «сдвинуть» переменную y под знаком суммирования в (2.51) на величину 2a.dn1 (x)d†n2 (x + 2a)Для этой комбинации в сумме по x в (2.49) ненулевой вклад дает член сx = y + la:i ∑16a2 L y×∫Ldx− dn1 (y + la)Uy+la,y+la+2a · ∂−−1 d†n2 (y + la + 2a) ×−L†bm (y)Uy,y+la d†m (y+ la) |0⟩ .После применения операции ∂−−1 и интегрированияобразуется к следующему виду:i ∑ δn1 ,n2×8a2 y ipn2(2.53)(2.54)∫L−−L dxэто выражение пре-(2.55)× dn1 (y + la)Uy+la,y+la+2a d†n2 (y + la + 2a) · b†m (y)Uy,y+la d†m (y + la) |0⟩ .44†Выполняя указанную свертку операторов dn1 (y + la) и dm(y + la) и суммируя поиндексам n1 и n2 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:−1 1 l+2 ⟩.8a2 pm m(2.56)Здесь также была использована возможность «сдвинуть» переменную y под знаком суммирования в (2.51) на величину 2a.В итоге полный вклад оператора H32 оказывается следующим:()l ⟩ ⟩111H32 m = − 2+· l+2.(2.57)m8a pm pmСтоит заметить, что этот оператор «удлиняет» базисные состояния с положительной длиной, и «укорачивает» –– с отрицательной.Оператор H33Этот оператор вычисляется в целом аналогично оператору H32 .