Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 4

Все ненулевые моды поперечных компонент глюонного поля исключаются из рассмотрения.3. Для кварковых полей вводятся антипериодические по x− граничныеусловия, ψ(−L) = −ψ(−L). Это дискретизует продольный импульс,p− = π(2n + 1)/(2L), (n = 0, 1, . .

.), и позволяет избавится от нулевыхфермионных мод.Таким образом, в модели остаются нулевые моды поперечных компонент глюонного поля, а также ненулевые моды фермионных полей. Компонента A0 (y) остается и играет роль множителя Лагранжа в гамильтоновой формулировке.18Для перехода от действия (1.21), (1.23) к эквивалентной гамильтоновойформулировке используется метод так называемой трансфер-матрицы (transfermatrix), изложенный в работе [25]. В этом методе рассматривается выражение∫Z = [dU ]eiS ,(1.24)которое возникает при формулировке квантовой теории через интеграл по траекториям.

Далее это выражение записывается через произведение трансферматриц:∫∏Z = [dU ]Tti+1 ,ti .(1.25)iСоответствующий этим матрицам оператор T является оператором эволюции системы во времени и связан с гамильтонианом следующим образом:()lim T ∝ exp −ia0 H + O(a20 ) .a0 →0(1.26)Следовательно, чтобы перейти от действия теории, регуляризованной на решеткепо времени, к ее гамильтониану, достаточно построить ее T -оператор и взять первый член в разложении его логарифма по малому параметру шага a0 временнойрешетки.Рассмотрим указанную процедуру применительно к предлагаемой модели.Для применения этого метода в качестве калибровочных условий выбираются выражения A3 = 0, U0 = I.

Используя предположения модели и указанную калибровку, глюонную часть действия можно представить в следующем виде:SG (η, η0 ) =L∑∫y ⊥ ,y 0−L{)2(3 2edy a a0 Tr ∂3 A0 − G†12 G12 +(()η2 2 e2k2e+ 2 2 2 2I + g a0 A0 + A0 (−ak ) −g a a0])[ ()()ek0 (−ak ) + э.с.e0 I + iga0 A+− ∆k I − iga0 A})22(η −η+ 02 2 2 2I − ∆k − ∆†k ,g a a02(1.27)19где введены обозначения∆k = Uk Uk† (−a0 ),e0 (y)U † .ek0 (y) = Uk AA(1.28)(1.29)kПри этом G†12 G12 в рассматриваемой модели выражается через «плакетную» переменную U□ (y):g 2 a4 G†12 G12 = 2I − U□ − U□† = 2 (I − Re U□ ) ,(1.30)U□ = U2† (−a1 )U1† U2 U1 (−a2 ).(1.31)Выражение ∆k принадлежит группе SU (N ) и отвечает сдвигу поля Ukвдоль оси времени на шаг решетки.

Его можно параметризовать стандартным образом и разложить до членов порядка θ2 :()aλa a 1 2aλ∆k = exp iθ≈ I + i θk − θk ,(1.32)222∑ λa λbθ2k =θak θbk ,(1.33)2 2a,bпри этом вещественные параметры θk имеют порядок O(a0 ). Подставляя это разложение в (1.27) и учитывая члены до порядка O(a20 ), в пределе η → 0 можнополучить следующее выражение:SG (η0 ) =L∑∫{()2edy a a0 Tr ∂3 A0 − G†12 G12 +3y ⊥ ,y 0−L2η20θ2k222g a a0}+ O(η2 ). (1.34)Теперь в соответствии с методом трансфер-матрицы можно ввести «угловые» операторы Uk и операторы «углового момента» πak . Они удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:[]πak (y), πbk′ (y ′ ) = if abc πc (y) · δkk′ δyy′ ,λaa′[πk (y), Uk′ (y )] = − Uk (y) · δkk′ δyy′ ,2[]λa††a′πk (y), Uk′ (y ) = Uk (y) · δkk′ δyy′ .2(1.35)20Через эти операторы можно выразить оператор T , соответствующий трансферматрице:∫∏∑b ⊥ T ∝dθk (y ) exp(1.36)iθak (y ⊥ )πak (y ⊥ ) ×b,k,y ⊥a,k,y ⊥∑∫L× exp i{()2edy a a0 Tr ∂3 A0 − G†12 G12 +32y ⊥ −L}η202θ .g 2 a2 a20 kВ этом выражении часть, входящая в действие и зависящая от θ, может быть записана следующим образом:η20 ∑g 2 a0 ⊥∫Lk,y −Ldy3Tr θ2kη20 ∑ ∑= 2L 2Tr θ2k (y ⊥ ) =g a0 ⊥(1.37)ky1η20 ∑ ∑ ∑ a ⊥ b ′⊥= 2L 2θk (y )θl (y ) · δab δkl δy⊥ y′⊥ .2 g a0 ⊥ ′⊥y ,ya,bk,lПользуясь этим выражением, в уравнении (1.36) легко вычислить гауссов интеграл по θ, и, в соответствии с (1.26) получить искомую глюонную часть гамильтониана:L][()2∑∫∑ g2e0 − G† G12 +O(η2 ).πak πak − a2dy 3 Tr ∂3 AHG =1224Lη0⊥⊥yy(1.38)−LРассмотрим теперь зависящую от фермионных переменных часть действия.Нулевые моды глюонных полей, описываемые унитарными матрицами, входят вэту часть без производных по времени.

Поэтому можно не вводить дополнительной решетки по времени и переходить к данной части гамильтониана, применяяобычный канонический формализм.Если ввести нормированные фермионные переменные,χ = 21/4 ψ+ ,ξ = 2−1/4 ηψ− ,(1.39)21то в калибровке A3 = 0 фермионную часть действия можно записать в следующем виде:Sψ = a2∑∫∫Ldy 0y⊥{dy 3 iχ† D0 χ + iξ† D0 ξ +−L2i †ξ ∂3 ξ −η2(1.40)})i ( †−ξ Uk σk χ(−ak ) + χ† Uk σk ξ(−ak ) + 2amξ† χ − э.с. .2aηЭтому действию соответствует гамильтониан∑∫{LHψ = a2y⊥−Ldy3()2i††−g χ A0 χ + ξ A0 ξ − 2 ξ† ∂3 ξ +η(1.41)})i ( †+ξ Uk σk χ(−ak ) + χ† Uk σk ξ(−ak ) + 2amξ† χ − э.с. .2aηe0 ,Приравнивая нулю вариацию полного гамильтониана по переменной Aможно прийти к следующему соотношению:ea0a2 ∂32 A)ga2 ( † aχ λ χ + ξ† λa ξ + O(η2 ),=2(1.42)e0 через остальные переменные.откуда несложно найти выражение для AТаким образом, полный гамильтониан представляется в следующем виде:{[ (∫L())2∑ g2†22a3 1e0 + Tr G G12 +H=dy∂3 A122 πk + a4Lη20⊥y−L)i ( †+ξ Uk σk χ(−ak ) + χ† Uk σk ξ(−ak ) + 2amξ† χ − э.с.

−2aη]}2i− 2 ξ† ∂3 ξ+ O(η),η(1.43)22ea должна быть определена по формуле (1.42). Фермионные полягде величина ∂3 A0выражаются через их моды Фурье по y 3 :1 ∑ i −ipn y3χir = √χnr e,a 2L n1 ∑ i −ipn y3ξir = √ξnr e,a 2L n(1.44)гдеpn =πn,L135n = ± , ± , ± ,...222(1.45)в силу антипериодических по y 3 граничных условий, наложенный на фермионные поля в рассматриваемой модели. Так определенные независимые переменныеудовлетворяют следующим ненулевым каноническим перестановочным соотношениям (при y 0 = y ′0 ):{χinr (y),}′χ†jn′ r′ (y ){=ξinr (y),′ξ†jn′ r′ (y )}= δnn′ δij δrr′ δy⊥ y′⊥ .(1.46)К этим соотношениям следует добавить соответствующие соотношения (1.35)для нулевых мод глюонного поля πk и Uk .1.3Предельный переход к гамильтониану модели на световом фронтеЧтобы рассмотреть предельный переход на СФ (η → 0) для полученногогамильтониана, необходимо заметить, что при фиксированных значениях параметров L и a этот гамильтониан можно разложить по степеням параметра η следующим образом:H=11H0 + H1 + H2 + O(η).2ηη(1.47)23Имея это разложение, можно построить аналог стационарной теории возмущений по малому параметру η:(H − E)f = 0,f = f0 + ηf1 + .

. . ,E=11E0 + E1 + E2 + O(η). (1.48)2ηηПри этом состояния f0 соответствуют собственным состояниям гамильтонианав пределе η → 0, т. е. на СФ. Из условия ограниченности энергии E в пределеη → 0, нужно положить E0 = E1 = 0.В низшем и в двух следующих порядках по η теория возмущения дает следующие уравнения:H0 f0 = 0,H0 f2 + H1 f1 + (H2 − E2 )f0 = 0.H0 f1 + H1 f0 = 0,(1.49)В эти уравнения необходимо подставить точные выражения для соответствующих частей гамильтониана. Выражение для H0 в терминах мод Фурье полей имеет вид:∑∫{LH0 =dy3}−2ia ξ ∂3 ξ =2 †(1.50)y ⊥ −L{ ()}∑∑∑( †i)=2pnξ−n ξi−n + ξin ξ†i,ny ⊥ n>0iгде отброшена постоянная, отвечающая минимальному собственному значениюH0 .

Из уравнений (1.49) теперь следует, что подпространство состояний {f0 } может быть определено следующими уравнениями:ξi−n f0 = ξ†in f0 = 0,n > 0,(1.51)и, таким образом, состояния {f0 } играют роль вакуума для этих мод Фурье полей.Если обозначить проектор на подпространство {f0 } через P0 , то в следующем порядке по η получаетсяf1 = −(1 − P0 )H0−1 (1 − P0 )H1 f0 .(1.52)24Для оставшегося уравнения достаточно рассмотреть проекцию на подпространство {f0 }:()−1P0 H2 − H1 (1 − P0 )H0 (1 − P0 )H1 f0 = E2 f0 .(1.53)Уравнение в такой форме можно рассматривать как задачу на собственные значения для гамильтониана на СФ, поскольку величины E2 определяют собственныезначения гамильтониана H в пределе η → 0.

Таким образом, гамильтониан наСФ следует отождествить со следующим выражением:()P+ = P0 H2 − H1 (1 − P0 )H0−1 (1 − P0 )H1 P0 .(1.54)Используя условия (1.48), в этом выражении можно устранить зависимостьот операторов ξi−n , ξ†in (n > 0). В результате после процедуры нормального упорядочивания полный гамильтониан (3+1)-мерной модели принимает в терминах†i†iaнезависимых переменных binr , b†inr , dnr , dnr , Uk , Uk и πk следующий вид:∑∫{()g2†a aπ π + Tr G12 G12 +H=dx :2 η2 k k8L0x⊥ −L))((aag 2 a2 −1λλ+∂− χ† χ ∂−−1 χ† χ −222[]i ††††−χ (−ak′ )σk′ Uk′ − χ (ak′ )Uk′ (ak′ )σk′ + 2mq aχ ×8[]†−1× ∂− Uk σk χ(−ak ) − σk Uk (ak )χ(ak ) + 2mq aχ +}() ∑( †)g2 11N−bm bm + d†m dm sm :,+228a L 2N1L−(1.55)m∈N− 2где введено обозначениеsm =∞ [∑k∈N− 2111−(pm − pk )2 (pm + pk )2](1.56)k̸=mс дискретизованным продольным импульсом pm = πm/L.

Здесь через k ∈ N−1/2обозначено множество положительных полуцелых чисел, т. е. k = 1/2, 3/2, . . ..Во всех членах, содержащих повторяющиеся индексы k и k ′ , подразумевается25суммирование по этим индексам. Фермионные поля χ(x⊥ ) выражаются через операторы рождения и уничтожения следующим образом:χir (x⊥ ))∑ (1i⊥ −ipm x−i†⊥ ipm x−= √bmr (x )e+ dmr (x )e,a 2L m∈N− 1(1.57)2где r = ±1/2 –– спиновый индекс, а i = 1, 2, .

. . , N –– индексы присоединенного представления группы SU(N) со структурными константами f abc . Операторырождения (b† , d† ) и уничтожения (b, d) удовлетворяют каноническим антикоммутационным соотношениям (при x+ = x′+ = 0):{}′bimr (x), bim†′ r′ (x′ ){=′dimr (x), dim†′ r′ (x′ )}= δmm′ δxx′ δii′ δrr′ .(1.58)i†iОператор импульса P− в терминах переменных binr , b†inr , dnr и dnr имеет следующий вид:P− =∑ ∑(†pn b inr b inr++id inr d nr)⩾ 0.(1.59)x⊥ n∈N− 12i†iОператоры binr , b†inr , dnr и dnr являются операторами рождения и уничтожения впространстве Фока на СФ, в котором вакуум определен как состояние с p− =0. Отсюда можно найти проекцию P+vac гамильтониана P+ на подпространство сp− = 0:P+vac)∑( g 2()4La a=.2 πk πk + g 2 a2 Re Tr I − U□4Lη0⊥(1.60)xВ соответствие с методом [23] вакуумное состояние доопределяется каксостояние, соответствующее минимуму этой проекции.

Следует заметить, что вгамильтониане (2+1)-мерной КХД член G†12 G12 отсутствует, так как поперечноепространство одномерно. В этом случае состояние, отвечающее минимуму P+vacтривиально и соответствует его нулевому значению. Для (3+1)-мерной моделивакуумное состояние представляет собой некий функционал Fvac (U ) от глюонных переменных.

В дальнейшем состояния с конечным импульсом p− строятся сиспользованием операторов рождения в вышеупомянутом пространстве Фока наСФ над так определенным вакуумом.261.4 ЗаключениеВ настоящей главе представлен обзор непертурбативного подхода [23] кКХД, в котором путем рассмотрения предельного перехода к формулировке наСФ от теории, квантованной на пространственноподобной плоскости, близкой кСФ, удается сохранить нулевые моды независимыми динамическими переменными. В рамках данного подхода, в настоящей главе сформулирована кварк–антикварковая модель.

Она представляет собой определенное приближение кполной КХД на СФ с некоторыми феноменологическими модификациями. В модели высказывается предположение, что информация о низкоэнергетической области физики элементарных частиц может быть сосредоточена в динамике нулевых мод, и вкладами ненулевых глюонных мод можно пренебречь. Это предположение ведет к значительному упрощению рассматриваемого гамильтоноваподхода. В результате, отталкиваясь от действия КХД в координатах, близких кСФ, в данной главе совершается переход к гамильтониану модели на СФ, пригодному для дальнейших вычислений спектра масс связанных состояний.27Глава 2. Спектр масс кварк–антикварковой модели2.1 ВведениеВ Главе 1 нами был получен гамильтониан (1.55) кварк–антикварковой модели в 3+1 измерениях.

При этом, в соответствии с предположениями модели, внем отсутствуют ненулевые глюонные моды, а также нулевые моды фермионного поля. Этот гамильтониан выражается через операторы b† , b , d† , d рожденияи уничтожения фермионов, а также взаимосопряженные операторы π и U длянулевых мод глюонного поля. Эти операторы удовлетворяют перестановочнымсоотношениям (1.35) и (1.58).В данной работе, как и в [23], принимается приближение, в котором вакуумопределяется как состояние, в котором остаются только нулевые моды и реализуется минимум той части гамильтониана, которая зависит только от нулевых мод.По отношению к ненулевым модам состояние может рассматриваться как состояние с нулевым значением импульса p− . Состояния с конечным значением импульса P− будут строиться путем применения операторов рождения ненулевыхмод в данному вакууму.Используемая в рассматриваемом подходе регуляризация нарушает лоренцеву симметрию, поэтому необходимо доопределить оператор квадрата массыв рассматриваемой эффективной модели.