Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 7

Используяобозначения (2.19), действие оператора H33 на базисное состояние можно записать в следующем виде: ⟩H33 lm =i ∑∑16a2 L x y∫Ldx− (b† + d)n1 ,x Ux,x−2a ×(2.58)−L×∂−−1 (b†(y + la) |0⟩ .+ d )n2 ,x−2a · b†m (y)Uy,y+la dm†Единственные ненулевые комбинации операторов рождения и уничтожения вH33 –– это b† b и dd† . Рассмотрим их по очереди.b†n1 (x)bn2 (x − 2a)45Для этой комбинации в сумме по x в (2.58) ненулевой вклад дает член сx = y + 2a:i ∑16a2 L y∫Ldx− b†n1 (y + 2a)Uy+2a,y · ∂−−1 bn2 (y) ×(2.59)−L× b†m (y)Uy,y+la d†m (y + la) |0⟩ .После применения операции ∂−−1 и интегрированияобразуется к следующему виду:∫L−−L dxэто выражение пре-i ∑ δn1 ,n2 ††bn1 (y + 2a)Uy+2a,y bn2 (y)·b†m (y)Uy,y+la dm(y + la) |0⟩ .

(2.60)28a y −ipn2Выполняя указанную свертку операторов bn2 (y) и b†m (y) и суммируя по индексамn1 и n2 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:−1 1 l−2 ⟩.8a2 pm m(2.61)Здесь также была использована возможность «сдвинуть» переменную y под знаком суммирования в (2.60) на величину 2a.dn1 (x)d†n2 (x − 2a)Для этой комбинации в сумме по x в (2.58) ненулевой вклад дает член сx = y + la:i ∑16a2 L y×∫Ldx− dn1 (y + la)Uy+la,y+la−2a · ∂−−1 d†n2 (y + la − 2a) ×−L†bm (y)Uy,y+la d†m (y+ la) |0⟩ .После применения операции ∂−−1 и интегрированияобразуется к следующему виду:i ∑ δn1 ,n2×8a2 y ipn2(2.62)∫L−−L dxэто выражение пре-(2.63)× dn1 (y + la)Uy+la,y+la−2a d†n2 (y + la − 2a) · b†m (y)Uy,y+la d†m (y + la) |0⟩ .46†Выполняя указанную свертку операторов dn1 (y + la) и dm(y + la) и суммируя поиндексам n1 и n2 , можно прийти к окончательному выражению для этой комбинации:−1 1 l−2 ⟩.8a2 pm m(2.64)Здесь также была использована возможность «сдвинуть» переменную y под знаком суммирования в (2.60) на величину 2a.В итоге полный вклад оператора H33 оказывается следующим:()l ⟩ ⟩111H33 m = − 2+· l−2.(2.65)m8a pm pmСтоит заметить, что в противоположность H32 этот оператор «укорачивает» базисные состояния с положительной длиной, и «удлиняет» –– с отрицательной.Комбинируя результаты, полученные выше, можно написать следующеевыражение для полного действия оператора H3 (2.16) на базисное состояние спроизвольной длиной:)(l ⟩ 1 1() ⟩1+−∇2 + m2q lm ,(2.66)H3 m =2 pm pmгде введено обозначениеl+2 ⟩ ⟩ ⟩m − 2 lm + l−2⟩m∇2 lm =.2(2a)(2.67)Символ ∇2 можно понимать как аналог дискретного одномерного оператора Ла ⟩пласа.

Полученный результат справедлив для базисных состояний lm с любымзнаком и величиной длины l.2.3.4 Четырехфермионный оператор ⟩При действии оператора H4 (2.16) на базисное состояние lm в сумме по kостаются только члены с k = ±l. Рассмотрим отдельно два случая, l ̸= 0 и l = 0.47Случай l ̸= 0В случае l ̸= 0 в сумме по k остаются два члена: с k = l и с k = −l.Вследствие трансляционной инвариантности оператора (2.16) в поперечном пространстве можно показать, что эти два остающихся члена равны между собой,поэтому достаточно взять удвоенный результат для k = l. Стоит заметить, что lпо-прежнему может быть отрицательным.

Кроме того, в сумме по поперечномупространству в рассматриваемом операторе останется только член с координатой ⟩x, совпадающей с координатой операторов рождения из базисного состояния lm .Таким образом, можно написать: ⟩H4 l̸m=0 =()aλdx− ∂−−1 (b† + d)n1 ,x Ux,x′ Ux′ ,x (b + d† )n2 ,x ×2x−L)(λa†−1†× ∂− (b + d)n3 ,x+la Ux+la,x′ Ux′ ,x+la (b + d )n4 ,x+la × (2.68)2†× b†m (x)Ux,x+la dm(x + la) |0⟩ ,2∑∫Lg28L Lhadгде использованы обозначения (2.19) и подразумевается суммирование по n1 , n2 ,n3 и n4 . Кроме того, здесь неявно подразумевается нормальное упорядочиваниеоператоров в гамильтониане.Видно, что существует только одна ненулевая комбинация операторов впроизведении (2.68): b†n1 (x)bn2 (x)dn3 (x + la)d†n4 (x + la).

После применения операций ∂−−1 выражение (2.68) преобразуется к следующему виду: ⟩H4 l̸m=0 =∫Lg2 ∑11−×dx8L2 Lhad xi(pn1 − pn2 ) i(−pn3 + pn4 )−L)(aλ× b†n1 (x)Ux,x′ Ux′ ,x bn2 (x) ×2()λa†× dn3 (x + la)Ux+la,x′ Ux′ ,x+la dn4 (x + la) ×2†× b†m (x)Ux,x+la dm(x + la) |0⟩ .(2.69)Если теперь выполнить свертки оператора bn2 (x) c оператором b†m (x) и оператора†(x + la), а также провести интегрирование по x− , тоdn3 (x + la) с оператором dm48можно прийти к выражениюg 2 ∑ −δ(n1 − n2 − n3 + n4 )δn ,m δn3 ,m ×(2.70)4LLhad x (pn1 − pn2 )(−pn3 + pn4 ) 2λaλa†′′′× bn1 (x)Ux,x Ux ,x Ux,x+la Ux+la,x Ux′ ,x+la d†n4 (x + la) |0⟩ =2 )2(2∑gδ(n1 − n + n4 )11= −×N−24LLhad 2N(p−p)nm1x ⟩H4 l̸m=0 = −× b†n1 (x)Ux,x+la d†n4 (x + la) |0⟩ =() n−1/2 ⟩g2 11 ∑1= −N−· l̸k=0 .24LLhad 2N(pk − pm )k=1/2k̸=mСлучай l = 0В случае l = 0 в сумме по k в операторе (2.16) остается только один член сk = 0, а в сумме по поперечному пространству остается только член с координатой x, совпадающей с координатой y операторов рождения из базисного состоя ⟩ния lm .

Таким образом, можно написать: ⟩H4 l=0=m()∫Lag2 ∑λdx− ∂−−1 (b† + d)n1 ,x Ux,x′ Ux′ ,x (b + d† )n2 ,x ×28L Lhad x2−L)(aλ× ∂−−1 (b† + d)n3 ,x Ux,x′ Ux′ ,x (b + d† )n4 ,x ×(2.71)2†× b†m (x)dm(x) |0⟩ ,где использованы обозначения (2.19) и подразумевается суммирование по n1 , n2 ,n3 и n4 .В данном случае существует несколько ненулевых комбинации операторовв произведении (2.71).

Это те комбинации, которые содержат по два операторарождения и два оператора уничтожения, причем операторы в этих парах различны (b и d). Рассмотрим их все по отдельности.49b†n1 (x)bn2 (x)dn3 (x)d†n4 (x)Эта комбинация дает следующий вклад:()agλdx− ∂−−1 b†n1 (x)Ux,x′ Ux′ ,x bn2 (x) ×16L2 Lhad x2−L()λa†−1†×∂− dn3 (x)Ux,x′ Ux′ ,x dn4 (x) · b†m (x)dm(x) |0⟩ .22∑∫LПосле применения операций ∂−−1 и интегрированияобразуется к следующему виду:∫L−−L dx(2.72)это выражение пре-()g 2 ∑ −δ(n1 − n2 − n3 + n4 ) †λab (x)Ux,x′ Ux′ ,x bn2 (x) ×8LLhad x (pn1 − pn2 )(−pn3 + pn4 ) n12()λa†× dn3 (x)Ux,x′ Ux′ ,x d†n4 (x) · b†m (x)dm(x) |0⟩ .2(2.73)Далее необходимо сделать свертки операторов рождения и уничтожения изгамильтониана с операторами из базисного состояния:(...)λa†bn1 (x)Ux,x′ Ux′ ,x bn2 (x)2()λa††· dn3 (x)Ux,x′ Ux′ ,x dn4 (x) ·b†m (x)dm(x) |0⟩ , (2.74)2что даст пару δ-символов и дополнительный знак минус от перестановок антикоммутирующих фермионных операторов.

Таким образом, выражение (2.73)можно записать так:g 2 ∑ δ(n1 − m − m + n4 )×8LLhad x(pn1 − pm )2λaλa†′′′× bn1 (x)Ux,x Ux ,x Ux,x Ux′ ,x d†n4 (x) |0⟩ =2 )2(2∑g11δ(n1 − n + n4 ) †= −· bn1 (x)d†n4 (x) |0⟩ =N−28LLhad 2N(pn1 − pm )x() n−1/2l=0 ⟩1 ∑1g2 1k .N−·= −28LLhad 2N(pk − pm )−k=1/2k̸=mdn1 (x)d†n2 (x)b†n3 (x)bn4 (x)(2.75)50В этой комбинации можно переставить операторы b† и b налево и переобозначить переменные суммирования: n3 → n1 , n4 → n2 .

Если это сделать, то становится видно, что эта комбинация идентична рассмотренной выше, и ее вкладпредставляется следующим выражением:() n−1/2l=0 ⟩1g2 11 ∑·.−N−8LLhad 2N(pk − pm )2 k(2.76)k=1/2k̸=mb†n1 (x)d†n2 (x)dn3 (x)bn4 (x)При рассмотрении этого члена возникают свертки вида(...)λa††bn1 (x)Ux,x′ Ux′ ,x dn2 (x)2()λa†· dn3 (x)Ux,x′ Ux′ ,x bn4 (x) ·b†m (x)dm(x) |0⟩ , (2.77)2что дает( a))aλλ.

. . b†n1 (x)Ux,x′ Ux′ ,x d†n2 (x) · Tr|0⟩ .22((2.78)Это выражение равно нулю из-за свойства бесследовости λ-матриц:(λaTr2)= 0.(2.79)Таким образом, вклад этой комбинации равен нулю.dn1 (x)bn2 (x)b†n3 (x)d†n4 (x)В этой комбинации можно переставить операторы b† и d† налево и переобозначить переменные суммирования: n3 → n1 , n4 → n2 .

Если это сделать, тостановится видно, что эта комбинация идентична рассмотренной выше, и ее вкладтакже равен нулю.Результаты, приведенные выше, в совокупности позволяют написать следующее выражение для полного действия четырехфермионного оператора (2.16)51на базисное состояние с произвольной длиной: ⟩H4 lm = −() n−1/2l ⟩1 ∑1g2 1k .N−·24LLhad 2N(pk − pm )(2.80)k=1/2k̸=mВ итоге, полученные для операторов H2 и H4 выражения (2.35), (2.80) можно объединить: ⟩(H2 + H4 ) lm =l ⟩ l ⟩() n−1/2m − ∑11gkN−.4LLhad 2N(pm − pk )22(2.81)k=1/2k̸=m2.4Спектральное уравнение модели в 2+1 измерениях2Вычислим действие оператора квадрата массы Meffна базисные состоянияl ⟩m .

Поскольку H1 (2.16) –– это единственный оператор в гамильтониане (2.4),связанный с нулевыми модами, его следует отождествить с оператором H(0) , входящим в определение оператора квадрата массы (2.3). Остальные операторы, H4 ,H3 , H2 , связаны с ненулевыми модами и входят в определение оператора H(/0) .Оператор P− для рассматриваемой кварк–антикварковой системы дает ее продольный импульс, равный pn = πn/L. В то же время ее поперечный импульс равен нулю, поскольку состояния, входящие в базис пространства, обладают трансляционной инвариантностью в поперечном пространстве. Таким образом, можнонаписать2Meff= η20 H12 + 2pn (H4 + H3 + H2 ) .(2.82)Рассмотрим матричный элемент оператора квадрата массы между базис⟨ ным вектором lm и общим состоянием |fn ⟩ (2.11):⟨l 2 ⟩ ∑ l′ ⟨l 2 l′ ⟩fm′ m Meff m′ .m Meff fn =m′ ,l′(2.83)52Воспользовавшись результатами (2.26), (2.66), (2.81), легко получить соответствующее матричное уравнение на собственные значения m2eff этого оператора:[(lm2eff fm)2g2a 1 (1)N−l2 +4Lη0 2N]()()pnpnl++−∇2 + m2q fm+pm pm=(2.84)n−1/2lg 2 pn 1 (1 ) ∑ fm− fkl+N−,2LLhad 2N(pm − pk )2k=1/2k̸=mгде ∇2 –– это дискретный аналог оператора Лапласа в одном измерении, определенный по аналогии с (2.67):l∇2 fml+2ll−2fm− 2fm+ fm=.(2a)2(2.85)Теперь необходимо совершить переход к пределу непрерывного пространства a → 0 и снять регуляризацию, устремляя L → ∞ при Lη0 = const.

Длятого, чтобы спектр уравнения на собственные значения оператора квадрата массы остался конечным в этом пределе, необходимо перенормировать голые параметры модели. Оказывается, что если феноменологический параметр Lη0 считатьвеличиной порядка размера адрона, т. е.Lη0 =Lhadα(2.86)с некоторым параметром α ∼ 1, то достаточно перенормировать только безразмерную константу связи g 2 a. Соответствующая перенормировка имеет следующий вид:g2a = g2a,Lhad(2.87)где g –– это эффективная безразмерная константа связи на масштабе Lhad .Теперь в терминах безразмерных переменныхmeff = meff Lhad ,mq = mq Lhad ,r2 =(la)2,L2hadξ=pmpn(2.88)53можно получить уравнение на спектр связанных состояний рассматриваемой(2+1)-мерной модели в пределе снятия регуляризации L → ∞, Lη0 = const,a → 0:[())22 (αg11r2 +m2eff f (ξ, r) =N−(2.89)4 2N]())(11++−∇2 + m2q · f (ξ, r) +ξ 1−ξg2 1 (1)+N−P2π 2N∫10dξ′f (ξ, r) − f (ξ′ , r),(ξ − ξ′ )2где f (ξ, r) –– это волновая функция связанного состояния кварка и антикварка,∇2 = d2 /dr2 –– одномерный оператор Лапласа, а интеграл понимается в смыслеглавного значения.