Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 9

Переход к (3+1)-мерной модели соответствует переходу от одномерной решетки в поперечном пространстве кдвумерной. Это значительно усложняет анализ возможных состояний. Для упрощения задачи предполагается, что кварк и антикварк соединены в этом поперечном пространстве преимущественно по кратчайшему пути. Также совершаетсянелокальная модификация четырехфермионного члена в эффективном гамильто-61ниане аналогично (2+1)-мерному случаю, который обобщается на 3+1 измерение.В этом приближении удается получить уравнение (2.106) на спектр масс. Этоспектральное уравнение имеет тот же вид, что и уравнение для (2+1)-мерногослучая, с точностью до замены соответствующих одномерных величин на двумерные.Поскольку собственные значения и волновые функции уравнения (2.106) неудается получить аналитически, для обсуждения их качественных свойств приводится численное решение при некотором наборе параметров. Полученный спектризображен на Рисунке 2.1.

Качественно этот спектр напоминает спектр гармонического осциллятора в трех измерениях, для которого характерно наличие главного квантового числа, ответственного за уровень энергии. В работах [35—37] приведена классификация мезонов по радиальным и орбитальным квантовым числами показано, что вырождение хорошо описывается эмпирической формулой дляквадрата массы,M 2 = a(l + nr ) + b,(2.116)где l –– это квантовое число углового момента, nr нумерует радиальные возбуждения, параметры a ≈ 1.1 ГэВ2 и b ≈ 0.7 ГэВ2 определяются из экспериментальныхданных, а комбинация l + nr выступает в роли главного квантового числа.В уравнении (2.106), задающем спектр масс модели, виден вклад, подобный гармоническому осциллятору в поперечном пространстве, а также продольная часть, которая выглядит как уравнение ’т Хоофта [24]. Известно, что спектруравнения ’т Хоофта для квадрата массы мезона асимптотически линеен, и в этомсмысле схож с линейным спектром энергии гармонического осциллятора.

Это,по-видимому, объясняет, что при определенном выборе параметров, спектр модели является вырожденным и эквидистантным.В предлагаемой модели присутствует три безразмерных параметра: обезразмеренная масса кварка mq = mq Lhad , константа связи g и параметр α, которыйсвязывает величину Lη0 с адронным масштабом Lhad = αLη0 . Также существенно, что в четырехфермионный член была введена нелокальность на масштабахпорядка размера адрона Lhad .

Интересен тот факт, что параметры, отвечающиевырождению спектра, соответствуют α ∼ 1, а значит, что Lη0 имеет порядокLhad .62В работе [38] была предпринята попытка смоделировать экспериментальный спектр мезонов с присущим ему вырождением с помощью потенциальныхкварковых моделей. Автор исследует вопрос о том, возможно ли найти такой потенциал, который приводил бы к появлению главного квантового числа, подобного тому, что возникает в модели с кулоновским потенциалом или с потенциалом гармонического осциллятора. Используя обобщение теоремы Бертрана, онприходит к выводу о том, что потенциальные модели сталкиваются с принципиальными трудностями при описании вырождения в экспериментальном спектремезонов. Предложенная в данной диссертации модель, представленная уравнением (2.106), является потенциальной только в поперечном направлении, а в продольном аналогична уравнению ’т Хоофта двумерной КХД.

Это позволяет обойтивышеуказанные ограничения, связанные с потенциальными моделями.Стоит отметить, что задача вычисления массы связанных состояний кварка и антикварка, при котором возникает аналог уравнения ’т Хоофта, рассматривалась также в работе [39]. При этом использовалась модель, получаемая из(3+1)-мерной КХД путем редукции (3+1)-мерного пространства до (1+1)-мерногоза счет компактификации поперечных измерений и проекции на подпространствонулевых мод по соответствующим координатам. В этой работе за счет учета нулевых мод поперечных компонент глюонного поля появляется инфракрасная нестабильность решения уравнения ’т Хоофта из двумерной КХД, и, соответственно, низшая часть спектра может становится тахионной. Авторами было найденонепертурбативное решение для динамической массы кварка, которое разрешаетэту нестабильность и делает спектр масс вещественным.

В киральном пределенизшее состояние в спектре мезонов этой модели является безмассовым и интерпретируется как пион.Существуют также попытки построения модели для описания спектра мезонов из голографических соображений с использованием формализма световогофронта [27; 40]. Отправной точкой для них является полученное из рассмотрения AdS5 /QCD дуальности эффективное уравнение типа Шредингера на световомфронте для волновой функции мезона. В него входит потенциал в поперечномпространстве, который выбирается исходя из различных голографических моделей. Одна из таких моделей приводит к спектру гармонического осциллятора дляквадрата массы мезона.

Волновая функция предполагается факторизуемой на поперечную и продольную части, а продольная часть выбирается либо произволь-63ным образом, либо в виде волновой функции, отвечающей низшему значению вспектре уравнения ’т Хоофта [27]. В предлагаемой в данной диссертации модели как поперечный потенциал, так и уравнение ’т Хоофта появляются более илименее физически естественным образом из обычной КХД, благодаря рассмотрению нулевой моды глюонного поля как независимой динамической переменнойи нелокальной модификации взаимодействия фермионных токов. Тем самым, вотличие от указанных голографических моделей, в спектре предлагаемой моделимогут присутствовать возбуждения в том числе и по продольной координате, а нетолько низшее состояние. Стоит также отметить, что в этой модели можно «отключить» продольную часть, выбрав параметры так, что модель будет подобнауказанным голографическим моделям со спектром двухмерного гармоническогоосциллятора.Волновые функции, которые получены в рамках решения уравнения наспектр масс в данной модели, теоретически можно использовать для расчета постоянных распада [32] и партонных распределений [33; 34].64Глава 3.

Анализ асимптотики решений уравнения ’т Хоофта3.1 ВведениеВ Главе 2 было получено уравнение (2.97) на спектр квадрата массы λкварк–антикварковой модели в 3+1 измерениях. При численном решении этогоспектрального уравнения для некоторых наборов параметров, когда поперечныестепени свободы не играют существенной роли, а масса фермионов велика, былообнаружено, что собственные функции в координатном пространстве имеют видфункций Эйри. Такого рода функции возникают при решении квантовой задачи оспектре энергии частицы в потенциальной яме с линейно растущим потенциалом.В качестве иллюстрации подобная функция приведена на Рисунке 3.1.В соответствии с этим в уравнении (2.97) можно выделить часть, зависящуютолько от продольных переменных:(m2eff f (ξ) =)∫1′112′ f (ξ) − f (ξ )+mq · f (ξ) + τP dξ+ ...,ξ 1−ξ(ξ − ξ′ )2(3.1)0где mq –– это безразмерная масса кварка.

Как уже говорилось, это уравнение можно легко обобщить на случай кварков разной массы m1,2 , проведя замену()11m2m22+.m2q −→ 1 +ξ 1−ξξ1−ξ(3.2)В принципе, это обобщение можно было сделать на уровне лагранжиана изначальной теории, с самого начала рассматривая кварки разной массы. Если теперьв уравнении (3.1) выполнить интегрирование,∫1P0()11f (ξ)=−+,dξ(ξ − ξ′ )2ξ 1−ξ′(3.3)651ψ(x) 0−1−15−10−5051015xРисунок 3.1 — График типичной волновой функции ψ(x) частицы впотенциальной яме с линейно растущим потенциалом вида |x|.то оно сведется к уравнению(λf (ξ) =µ21ξ+µ22)1−ξ∫1f (ξ) − P0f (ξ′ )dξ′ ,(ξ′ − ξ)2(3.4)гдеm21,2=− 1,τm2effλ=.τµ21,2(3.5)(3.6)Уравнение (3.4) есть не что иное как уравнение ’т Хоофта в (1+1)-мерной КХД.В 1974 году ’т Хоофт исследовал модель КХД с локальной калибровочнойгруппой SU (N ) в двух измерениях [24]. Она задается лагранжианом∑1L = − Tr (Fµν F µν ) +q̄ a (iγµ Dµ − ma )q a .2a(3.7)Здесь тензор Fµν = gi [Dµ , Dν ] и ковариантная производная Dµ = ∂µ −igAµ заданычерез потенциал глюонного поля Aµ , представленный бесследовыми эрмитовымиN × N матрицами, а q a — это описывающие кварки фермионные поля с массамиma .

Индексы µ пробегают два значения: 0 и 1. В пределе N → ∞ при фиксированном g 2 N ’т Хоофту удалось показать, что в этой модели присутствуют толькосвязанные двухкварковые мезонные состояния. Чтобы получить спектр этих связанных состояний, вводятся координаты СФ,x± =x1 ± x0√ ,2(3.8)66и светоподобная калибровкаA− = A+ = 0.(3.9)Далее рассматривается система, в которую входят кварк массы m1 с импульсомp и антикварк массы m2 с импульсом r − p, где r –– это полный импульс системы.

Для нее решается уравнение Бете-Солпитера, что приводит к следующемуинтегральному уравнению:(λf (ξ) =µ21ξ+µ221−ξ)∫1f (ξ) − P0f (ξ′ )dξ′ .(ξ′ − ξ)2(3.10)Это –– уравнение на собственные значения для волновых функций f (ξ). Все величины, входящие в это уравнение являются безразмерными. Здесь λ –– это квадратмассы связанного состояния в единицах g 2 /π, ξ –– относительный светоподобныйимпульс кварка,ξ=p−,r−0 ⩽ ξ ⩽ 1,(3.11)параметры µ1,2 связаны с голыми массами кварков m1,2 из лагранжиана (3.7),µ21,2 =π 2m − 1,g 2 1,2(3.12)а g –– константа связи, имеющая в двух измерениях размерность массы.

Собственные функции f (ξ) удовлетворяют граничным условиямf (0) = f (1) = 0.(3.13)Также стоит отметить, что в уравнении (3.10) интеграл понимается в смысле главного значения. Например, в исходной работе ’т Хоофта [24] он определяется следующим образом:∫Pφ(k) 1=k22∫φ(k + iε) 1+(k + iε)22∫φ(k − iε).(k − iε)2(3.14)Уравнение, подобное уравнению ’т Хоофта (3.10), встречается и в другихдвумерных теориях, в которых есть потенциал конфайнмента. Примером явля-67ется полевая теория Изинга (Ising Field Theory) [41; 42].

В отличие от модели’т Хоофта, там аналогичное уравнение описывает некоторое приближение к истинному спектру, однако оно проливает свет на спектр полной теории. В работах[43; 44] рассматриваемая ’т Хоофтом двумерная модель применяется для исследования задачи о нарушении кварк–адронной дуальности. В свою очередь в [45;46] отмечается связь некоторых вопросов теории волн на поверхности жидкостис частным случаем µ1,2 = 0 уравнения (3.10).Также аналог уравнения ’т Хоофта и связанные с ним идеи используютсяв некоторых феноменологических моделях и голографии [27; 40; 47]. Так, например, существуют попытки построения модели для описания спектра мезонов из голографических соображений с использованием формализма световогофронта [27; 40]. Отправной точкой для них является полученное из рассмотрения AdS5 /QCD дуальности эффективное уравнение типа Шредингера на световом фронте для волновой функции мезона.

В него входит потенциал в поперечном пространстве, который выбирается исходя из различных голографическихмоделей. Одна из таких моделей приводит к спектру гармонического осциллятора для квадрата массы мезона. Волновая функция предполагается факторизуемойна поперечную и продольную части, и в работе [27] продольная часть выбираетсяв виде волновой функции, отвечающей низшему значению в спектре уравнения’т Хоофта.Очевидно, что уравнение ’т Хоофта играет существенную роль и в предлагаемой в данной диссертации кварк–антикварковой модели. Тот факт, что некоторые наборы параметров модели приводят к примечательному решению в пределебольшой массы фермионов, заставляет исследовать соответствующую асимптотику уравнения ’т Хоофта.