Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте)

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиЗубов Роман АндреевичКВАРК–АНТИКВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ СДИНАМИЧЕСКИМИ НУЛЕВЫМИ МОДАМИ НАСВЕТОВОМ ФРОНТЕСпециальность 01.04.02 —«Теоретическая физика»Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорПрохватилов Евгений ВасильевичСанкт-Петербург — 20162ОглавлениеСтр.Введение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1. Решеточный гамильтониан кварк–антикварковой модели вКХД на световом фронте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .1.2 Формулировка кварк–антикварковой модели и вычисление еегамильтониана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Предельный переход к гамильтониану модели на световом фронте1.4 Заключение . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 2. Спектр масс кварк–антикварковой модели . . . . . . .2.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Формулировка модели в 2+1 измерениях . . . . . . . . . .2.3 Действие гамильтониана на базисные состояния . . . . .

.2.3.1 Оператор, связанный с нулевыми модами . . . . .2.3.2 Двухфермионный оператор . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Оператор, соответствующий кинетическому члену2.3.4 Четырехфермионный оператор . . . . . . . . . . .2.4 Спектральное уравнение модели в 2+1 измерениях . . .

.2.5 Обобщение модели на (3+1)-мерный случай . . . . . . . .2.6 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 3. Анализ асимптотики решений уравнения ’т Хоофта3.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Предел тяжелых кварков . . . . . . . . . . .

. . . . . .3.3 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........31111172226.......................................................2727303535373946515360....................64646872Заключение . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773ВведениеАктуальность темы исследования. Одна из важнейших задач современной физики –– найти решения, которые описывают адроны в теории сильных взаимодействий, квантовой хромодинамике (КХД). Эта теория, наряду с электрослабой теорией, составляет теоретический фундамент физики элементарных частиц.

Успехи КХД в описании экспериментов по столкновению высокоэнергичных частиц во многом обусловлены тем, что в области, где велики переданныеэнергия или импульс, проявляется свойство асимптотической свободы, и можетбыть применена теория возмущения по константе связи. Однако в области низких и промежуточных энергий сильные взаимодействия необходимо описыватьнепертурбативным образом, так как константа связи становится большой, и учетконфайнмента кварков и глюонов, как партонных составляющих адронов, становится существенным.В этой непертурбативной области на данный момент развито несколько успешных подходов. Один из них –– формулировка КХД на конечнойпространственно–временной решетке (Lattice QCD) [1—4].

Он напрямую связанс лагранжианом КХД и позволяет совершать вычисления из первых принципов.Основываясь на евклидовой формулировке, решеточная КХД позволяет оценитьинтеграл по траекториям и вычислить низкоэнергетические свойства адронов, такие как значения их масс.

Однако несмотря на то, что наблюдаемые удается вычислять напрямую, в рамках КХД на решетке трудно получить волновые функции, которые необходимы для описания структуры и динамики адронов. Другиеподходы включают, например, применение формализма уравнений Швингера–Дайсона [5; 6], и учет топологических (инстантонных) эффектов [7].Квантование на световом фронте –– это альтернативный подход к КХД, применимый в том числе в области сильной связи.

Этот подход использует гамильтонов формализм, и его существенной частью является предложенная Дираком[8] форма гамильтоновой динамики, где теория квантуется при фиксированном√времени светового фронта x+ = (x0 + x3 )/ 2, в отличие от обычного времени x0 .При этом начальные условия задаются на светоподобной поверхности x+ = 0. Решения в рамках этого подхода дают точные спектры масс и волновые функции на4СФ, которые могут быть использованы, например, для вычисления структурныхфункций кварков и глюонов в составе адронов.Формулировка теории на СФ имеет множество привлекательных особенностей.

К примеру, эта формулировка предоставляет наибольшее количество кинематических, т. е. независящих от взаимодействия, генераторов преобразованийгруппы Пуанкаре в релятивистской гамильтоновой динамике –– семь против шести в других формулировках [8]. Другим преимуществом является то, что этотподход дает возможность упростить проблему описания вакуумного состоянияв квантовой теории поля.

К этому можно добавить, что собственные значениягамильтониана P+ простым образом связаны с собственными значениями оператора квадрата массы M 2 = 2P+ P− − P⊥2 . Таким образом, квантование на СФ ––это естественная формулировка для непертурбативого описания структуры связанных состояний адронов в КХД, и настоящая диссертация посвящена развитиюданного подхода.Степень разработанности темы исследования. В рамках гамильтоноваподхода на СФ ведутся активные исследования. Хороший обзор текущих направлений исследований, решаемых задач и связанных с ними трудностей приведен в [9].

Одна из трудностей, которые ограничивают широкое применениеэтого подхода и требуют основательного рассмотрения, является проблема учета нулевой фурье–моды полей на СФ, т. е. моды, независящей от координаты√x− = (x0 − x3 )/ 2. Эта проблема заключается в том, что на СФ поверхностьквантования x+ = 0 является характеристической, и нулевая мода полей по координате x− оказывается нединамической, т. е. выпадает из уравнений движения.Это можно увидеть рассмотрев, например, в лагранжиане простой скалярной теории с полем φ(x) слагаемое ∂+ φ ∂− φ, содержащее производную по «времени»x+ . Нулевая мода, т. е.

поле, не зависящее от x− , в этом члене отсутствует, поэтому канонически сопряженный с ней импульс обращается в ноль.К тому же в теории появляется сингулярность в соответствующей нулевоймоде точке p− = 0 импульсного пространства, и возникает необходимость введения регуляризации. При описании процессов рассеяния частиц высоких энергий,в рамках теории возмущений обычно используется регуляризация |p− | ⩾ ε > 0,√p± = (p0 ± p3 )/ 2.

Эта регуляризация соответствует пренебрежению фурье–модами полей по продольной координате СФ, близкими к нулевой моде p− = 0.Отбрасывание этих мод позволяет регуляризовать особенности связанные с кван-5тованием на СФ, но порождает возможные отличия теории возмущений на СФот обычной теории возмущений при квантовании на поверхности постоянноговремени в лоренцевых координатах [10—13]. Единственный найденный способустранения таких отличий в КХД в калибровке СФ –– это введение дополнительных «духовых» полей, аналогичных используемым при регуляризации Паули–Вилларса [14].Применение квантования на СФ в области низких и промежуточных энергий, например для описания связанных состояний полей в КХД, основано на попытках решать непертурбативную задачу на собственные значения гамильтониана на СФ в пространстве Фока с «простым» физическим вакуумом.

Этот вакуумопределяется как состояние, отвечающее низшему собственному значению оператора импульса P− ⩾ 0, если в спектре теории нет безмассовых частиц и тахионов, т. е. m2 > 0. При сохранении лоренц–инвариантности это состояние отвечаеттакже и минимуму оператора P+ . К недостаткам вышеупомянутой регуляризации(|p− | ⩾ ε) можно отнести то, что она нарушает эту лоренцеву симметрию, которая может не восстанавливаться в пределе снятия регуляризации ε → 0 [14]. Кроме того, окрестность нулевых мод |p− | < ε может оказаться существенной длянепертурбативной области низких энергий.

В частности, в работе [15] показано,что отбрасывание нулевой моды может вести к трудностям с описанием вакуумных конденсатов в массивной модели Швингера, т. е. в (1+1)-мерной квантовойэлектродинамике. В работе [16] модель Швингера формулируется в координатахСФ так, что она оказывается эквивалентной обычной формулировке в лоренцевыхкоординатах.

При этом нулевая мода играет существенную роль для установления этой эквивалентности. Основываясь на этом результате в работе [17] для этоймодели непертурбативно вычисляется спектр масс, который находится в хорошемсогласии расчетами на решетке в лоренцевых координатах.Другая возможная регуляризация –– это так называемая DLCQ–регуляризация (Discrete Light Cone Quantization).

Она также нарушает лоренцевусимметрию, но сохраняет калибровочную инвариантность. В рамках такогоподхода вводится ограничение пространства по продольной координате СФ,|x− | ⩽ L, а на поля накладываются периодические граничные условия. При этомимпульс становится дискретным, p− = pn = πn/L Таким образом, в отличиеот |p− | ⩾ ε регуляризации, здесь удается ввести нулевую моду (p− = n = 0),четко отделив ее от ненулевых (n = 1, 2, . .

.). Тем не менее трудности, связанные6с рассмотрением нулевых мод в канонической формулировке теории поля наСФ, все равно остаются. Действительно, вводимая в данной регуляризациинулевая мода не является независимой динамической переменной и должна бытьвыражена через ненулевые моды путем решения сложных и плохо определенныхсвязей [18; 19].Поскольку в обычной лоренцевой формулировке теории поля указанныепроблемы с нулевой модой отсутствуют, возникла идея исследовать предельныйпереход к гамильтониану на СФ от теории, квантованной на пространственноподобной плоскости, близкой к СФ [13; 15; 20; 21]. Для этого рассматриваласьпростая и хорошо изученная модель –– массивная модель Швингера, т.