Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 8

Переменная ξ становится в этом пределе непрерывной и принимает значения из интервала 0 ⩽ ξ ⩽ 1. Можно также обратить внимание, чточасть этого уравнения, связанная с переменной ξ, имеет вид уравнения ’т Хоофта[24] в двумерной КХД.2.5 Обобщение модели на (3+1)-мерный случайФизический интерес представляет обобщение рассмотренной модели на(3+1)-мерный случай. Соответствующий эффективный гамильтониан (1.55) былполучен ранее в Главе 1. Он отличается от (2+1)-мерного случая (2.4) суммированием по всем узлам x⊥ двумерной K⊥ × K⊥ решетки и присутствием двух поперечных компонент нулевой модыполя U1 и U2 .

Также в нем присут)( глюонного†ствует дополнительный член tr G12 G12 , где G12 является решеточным аналогомсоответствующей компоненты тензора напряженности глюонного поля Fµν .Для краткости в дальнейшем для обозначения поперечных координатx⊥ = (x1 , x2 ) как и в (2+1)-мерной модели используется символ x, а символ akобозначает вектор в направлении xk с длиной, равной шагу решетки a. Также подразумевается зависимость всех полей от координаты x− там, где это необходимо.В этих обозначениях (3+1)-мерный гамильтониан (1.55) можно записать следую-54щим образом:∑∫{()g2†aaH=dxπ (x)πk (x) + Tr G12 G12 +(2.90)2 η2 k8L0x−L()()2 2λaλag a −1†−1†∂− χ (x) χ(x) ∂− χ (x) χ(x) −+222[]i ††††′′′′′′−χ (x − ak )σk Uk′ (x) − χ (x + ak )Uk (x + ak )σk + 2mq aχ (x) ×8[]†−1× ∂− Uk (x)σk χ(x − ak ) − σk Uk (x + ak )χ(x + ak ) + 2mq aχ(x) +}() ∑( †)1g2 1+N−sm bm (x)bm (x) + d†m (x)dm (x) ,228a L 2N1L−m∈N− 2где фермионные поля χ(x) и величины sm определяются выражениями (1.57) и(1.56) соответственно, а по повторяющимся индексам k и k ′ подразумевается суммирование, как и раньше.В соответствие с предположениями рассматриваемой модели базис пространства Фока на СФ можно записать следующим образом:∆x ⟩m , S ≡⟨′ ∆x∆x′m′ , S m , S⟩∑1S√b†m (x)Ux,x+∆xd†n−m (x + ∆x) |0⟩ · Fvac (U ),K⊥ N x(2.91)= δmm′ δl1 l1′ δl2 l2′ ,где целое число n определяет полный продольный имульс состояния pn = πn/L,величина Fvac (U ) –– это вакуумный функционал, определенный в Главе 1 послеуравнения (1.60), а ∆x = (l1 a, l2 a) –– вектор смещения антикварка относительноSкварка на двумерной поперечной решетке.

Здесь через Ux,x′ обозначены цепочки†из матриц Uk и Uk (k = 1, 2), соединяющие точки x и x′ двумерного поперечногопространства по пути S и преобразующиеся аналогично матрицам U⊥ (1.10). Этозначит, что в базисе присутствуют состояния, в которых кварк и антикварк связаны «калибровочной струной» по бесконечному числу возможных путей. Этосильно затрудняет анализ модели. Однако, если предположить, что кварк и антикварк связаны между собой преимущественно по кратчайшему пути, и, соответственно, сопоставить каждому их положению только одно состояние в базисе, тотогда удается получить уравнение на спектр масс этой модели.55В этом случае нелокальная модификация четырехфермионного члена в гамильтониане (2.90) обобщается на (3+1)-мерный случай естественным образом:()aλa ∑ −1S∂− χ† (x)Ux,xUxS′ ,x χ(x) ×(2.92)′2Lhad2∆x)(aλ′′S× ∂−−1 χ† (x + ∆x)Ux+∆x,xUxS′ ,x+∆x χ(x + ∆x) ,′2где S и S ′ –– это кратчайшие пути, ведущие в произвольную точку x′ из точек x иx + ∆x соответственно, при условии, что сама точка x′ лежит на линии, соединяющей указанные точки x и x + ∆x.Уравнение на спектр масс в этой модели теперь может быть получено методом, аналогичным использованному для (2+1)-мерного случая.

Оператор πak πak ,связанный с нулевыми модами, будет по-прежнему измерять длину состояния,на()†которое действует. Вклад этого оператора вместе с вкладом члена Tr G12 G12при действии на вакуумный функционал Fvac (U ) даст вакуумное значение оператора P+vac , которое вычитается из гамильтониана. В операторе, соответствующем кинетическому члену в гамильтониане, перекрестные члены в сумме по k,k ′ сократятся, а оставшиеся дадут кинетический член, в который входит аналогдвумерного оператора Лапласа:∆x−2a ⟩ ∆x+2a ⟩ ∆x−2a ⟩ ∆x+2a ⟩∆x ⟩1122mmmmm⟩+++−42 ∆x(2.93).∇ m =(2a)2Здесь для каждого состояния неуказанный явно путь S, соединяющий кварк сантикварком, считается кратчайшим и единственным в соответствии с предположением о базисе (3+1)-мерной модели.

Оператор, связанный с членом взаимодействия в гамильтониане, при так определенном базисе будет действовать полностью аналогично (2+1)-мерному случаю (2.81).Если ввести перенормировку безразмерной константы связи g 2 ,g2 = g2a,Lhad(2.94)и использовать обозначенияmeff = meff Lhad ,mq = mq Lhad ,ξ=pm,pn(2.95)56a2 (l12 + l22 )r =,L2had2αg 2 1 (1)κ=N−,4 2Ng2 1 (1)τ=N−,2π 2N(2.96)то после перехода к пределу L → ∞, Lη0 = const, a → 0, спектральное уравнение(3+1)-мерной модели можно записать следующим образом:[]()()11m2eff f (ξ, ⃗r) = κ2 r2 ++−∇2 + m2q · f (ξ, ⃗r) +(2.97)ξ 1−ξ∫1+ τP0f (ξ, ⃗r) − f (ξ′ , ⃗r)dξ.(ξ − ξ′ )2′Здесь ∇2 –– это двухмерный оператор Лапласа, ⃗r –– вектор в двухмерном поперечном пространстве, а r, как и в (2+1)-мерном случае –– расстояние между кваркоми антикварком.

Таким образом, оказалось, что построение (3+1)-мерной модели, исходя из гамильтониана (2.90), в рассматриваемом приближении полностьюэквивалентно наиболее прямому обобщению спектрального уравнения (2.89) на(3+1)-мерный случай.Уравнение (2.97) можно легко обобщить на случай кварков разной массыm1,2 , проведя замену()1m21m2212+mq −→+.ξ 1−ξξ1−ξ(2.98)В принципе, это обобщение можно было сделать на уровне лагранжиана изначальной теории, с самого начала рассматривая кварки разной массы. В этом случае удобно воспользоваться параметризациейm1 − m2, µ = m1 + m2 ,m1 + m2µµm1 = (1 + k), m2 = (1 − k),22k=(2.99)и совершить замену переменныхω = 2ξ − 1, −1 ⩽ ω ⩽ 1,ω+1f (ξ) = f () = φ(ω).2(2.100)57В результате уравнение (2.97) принимает следующий вид:[]4m2eff φ(ω, ⃗r) = −∇2 + κ2 r2 ·φ(ω, ⃗r) +(2.101)21−ω[]∫1(k − ω)2 2r) − φ(ω′ , ⃗r)′ φ(ω, ⃗+ 1+µ · φ(ω, ⃗r) + 2τP dω.1 − ω2(ω − ω′ )2−1Поскольку это уравнение обладает вращательной симметрией в поперечном пространстве, целесообразно ввести полярную систему координат, в которойлапласиан имеет вид∂21 ∂1 ∂2∇ = 2++.∂rr ∂r r2 ∂θ22(2.102)В этой системе координат можно разделить переменные с помощью факторизацииφ(ω, ⃗r) = W (ω, r)Q(θ)(2.103)∂2Q(θ) = −L2z Q(θ),2∂θ(2.104)и подстановкикоторая элементарно разрешается относительно Q(θ):Q(θ) = eiLz θ ,Lz = 0, ±1, ±2, .

. . .(2.105)В результате этих преобразований получается окончательное уравнение наспектр масс кварк–антикварковой модели, которое записывается следующим образом:[]( µ )224∂11∂m2eff W (ω, r) =− 2−+ 2 L2z + (k − ω)2W (ω, r) + (2.106)21−ω∂rr ∂r r2∫122 2+ (µ + κ r )W (ω, r) + 2τP−1W (ω, r) − W (ω′ , r).dω(ω − ω′ )2′58Асимптотика этого уравнения при r → 0 имеет видW (ω, r) ∝ r|Lz | .(2.107)r→0При Lz = 0 функция W (ω, r = 0) пропорциональна некоторой константе и удовлетворяет граничным условиям Неймана. При Lz ̸= 0 функция W (ω, r = 0)равна нулю и, следовательно, удовлетворяет граничным условиям Дирихле. Вдополнение к этому, из анализа уравнения ’т Хоофта [24] следует, что W (ω, r)должна удовлетворять определенным граничным условиям по переменной ω приω = ±1.

Таким образом, полный набор граничных условий, необходимый для решения задачи на собственные значения уравнения (2.106), есть∂r W (ω, 0) = 0для Lz = 0,W (ω, 0) = 0для Lz ̸= 0,(2.108)W (ω, ∞) = W (±1, r) = 0.Собственные значения и волновые функции уравнения (2.106) не поддаются аналитическому описанию, но могут быть получены численно с использованием указанных граничных условий. Для того, чтобы это сделать, вводится ограничение радиального пространства 0 ⩽ r ⩽ r0 и решетка с шагом ar :r → rl = ar l,l = 0, 1 .

. . ,r0.ar(2.109)Физически это означает, что рассматривается область поперечного пространстварадиусом r0 Lhad . Стоит подчеркнуть, что r –– это безразмерная переменная. Далеедискретизуется относительный импульс на интервале −1 ⩽ ω ⩽ 1 с шагом aω :ω → ωm = aω m − 1,m = 0, 1, . . . ,2,aω(2.110)и вводится дискретный аналог волновой функцииW (ω, r) → Wm,l .(2.111)59Дискретизация уравнения (2.106) завершается введением дискретных аналоговпроизводных и интеграла∫1P−1Wm,l−1 − 2Wm,l + Wm,l+1∂2W(ω,r)→,∂r2a2r∂−Wm,l−1 + Wm,l+1W (ω, r) →,∂r2ar2/aωW (ω, r) − W (ω′ , r)1 ∑ Wm,l − Wn,ldω→,(ω − ω′ )2aω n=0 (m − n)2′(2.112)(2.113)(2.114)n̸=mДалее, если каким-либо единым образом пронумеровать все независимые переменные Wm,l → Ŵi , то можно прийти к матричному уравнениюΛij Ŵj = m2eff Ŵj .(2.115)Его решение с учетом граничных условий (2.108) позволяет найти искомые собственные значения и волновые функции.

При стремлении параметров решетки arи aω к нулю, эти решения должны сходиться к истинным решениям уравнения(2.106) на спектр масс (3+1)-мерной модели в пределе непрерывного пространства.На Рисунке 2.1 изображен спектр рассматриваемой модели при некоторомнаборе параметров. Качественно этот спектр напоминает спектр гармоническогоосциллятора в трех измерениях. Примечательной особенностью предложенноймодели является возможность появления вырожденных эквидистантных уровней энергии, которые соответствуют линейным траекториям Редже.

Это важныйрезультат, поскольку в экспериментальном спектре мезонов действительно наблюдается значительное вырождение [28—31]. Волновые функции, полученныев рамках предлагаемой модели, теоретически можно использовать для расчетапостоянных распада [32] и партонных распределений [33; 34].60m2eff135791113151719nc.зн.Рисунок 2.1 — Спектр уравнения (2.97) для некоторого набора параметров.Здесь по горизонтальной оси отложен номер nc.зн. собственного значения,а m2eff –– это безразмерная величина квадрата массы в произвольных единицах.2.6 ЗаключениеНастоящая глава посвящена построению эффективной модели кварк–антикваркового взаимодействия.

В Главе 1 на основании метода работы [23]был получен эффективный гамильтониан в формализме квантования на световомфронте с динамическими нулевыми модами и решеточной регуляризацией в поперечном пространстве. При этом в предлагаемой модели рассматривается толькопроекция на пространство состояний с одним кварком и одним антикварком, которые соединены калибровочно-инвариантным образом в поперечном пространстве «струной» из матриц, отвечающих нулевой моде глюонного поля. С использованием такого приближения в работе было получено уравнение на спектр массв (2+1)-мерной модели. Далее представлено обобщение этого результата на физически более интересный (3+1)-мерный случай.