Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 5

При рассмотрении предельного перехода η → 0 было получено эффективное выражение для гамильтониана, в котором члены, содержащие только нулевые моды, остаются такими же, как и вгамильтониане вне СФ (при η = η0 ), а остальные члены, содержащие ненулевые моды, соответствуют точному переходу на СФ. Данная процедура нарушаетобычную структуру гамильтониана, т.

к. члены с нулевыми модами соответствуют гамильтоновой теории в η0 -координатах, а остальные члены –– гамильтоновойтеории на СФ. Тем не менее, можно попытаться извлечь из этих двух вариантовтеории определенную информацию для построения феноменологической модели,описывающей спектр масс. Использование вышеуказанной процедуры позволяетрассматривать вне СФ (т. е.

при η = η0 ) только нулевую моду, а часть теории, свя-28занной с ненулевыми модами рассматривать непосредственно на СФ, используядля них более простое определение вакуума (как состояния с p− = 0) на СФ.В релятивистски инвариантной теории выражение для оператора квадратамассы M 2 в координатах СФ имеет видM 2 = 2P+ P− − P⊥2 ,(2.1)M 2 = 2Q0 Q3 + η2 Q20 − Q2⊥(2.2)илив η-координатах. Здесь Qα –– это операторы импульса (1.2) в η-координатах. Врассматриваемой эффективной модели предлагается доопределить выражениедля этого оператора, представив его в виде суммы двух вкладов.

Один из них ––вклад только нулевой моды, для которого используется вышеприведенное релятивистское выражение (2.2) в η0 -координатах. В нем полагается q3 = 0 и p⊥ = 0,а в качестве Q0 берется та часть эффективного гамильтониана, которая содержит только нулевые моды, за вычетом ее минимального значения. Другой вкладсвязывается с членами эффективного гамильтониана, содержащими ненулевыемоды на СФ, и для него используется вышеприведенная релятивистская формула(2.1) для M 2 в координатах СФ. Обозначим часть эффективного гамильтониана,содержащую только нулевые моды (за вычетом ее минимального собственногозначения), через H(0) , а оставшуюся часть гамильтониана, содержащую ненулевые моды –– через H(/0) .

В итоге получается следующее выражение для оператораквадрата массы:22Meff= η20 H(0)+ 2P− H(/0) − P⊥2 .(2.3)В этой формуле в члене 2P− H(/0) можно отождествить P− с Q3 в пределе η0 → 0,Lη0 = const, что следует из формулы P− = Q3 + η20 P+ /2 и из выражения (2.90)для P+ . Эти предположения в совокупности позволяют получить полуфеноменологическую модель, которая в итоге дает хороший конечный дискретный спектрмасс мезонов в пределе L → ∞, η0 → 0, Lη0 = const.Чтобы опробовать предложенную модель, в данной главе она сначала рассматривается в 2+1 измерениях. При этом вводится определенная сохраняющая29калибровочную инвариантность модификация четырехфермионного члена, который порождается в гамильтониане решением калибровочной связи (1.42). Эта модификация заключается в делокализации в поперечном пространстве произведения фермионных токов в этом члене на масштабе порядка размера адрона.2Вычисление спектра Meffсводится к вычислению его собственных значений на пространстве состояний кварка и антикварка, соединенных калибровочноинвариантным образом в поперечном направлении «струной» из реберных переменных.

Это соответствует учету остаточной калибровочной связи посредствомналожения ее на базисные состояния.2В данной главе матричные элементы оператора Meffвычисляются явнымобразом, в результате чего получается матричное уравнение на спектр масс. Далее совершается переход к пределу снятию регуляризации при соответствующейперенормировке параметров модели. При этом оказывается достаточным перенормировать только константу связи, если считать параметр Lη0 , также как иразмер нелокальности по x⊥ , величинами порядка размера адрона Lhad .

Стоитзаметить, что формула, определяющая перенормировку константы связи, имеетдругой вид, нежели в обычной теории возмущений. В итоге получается интегродифференциальное уравнение, похожее на уравнение ’т Хоофта [24] по x− ивключающее потенциал, квадратичный по поперечному расстоянию между кварком и антикварком.Следующий шаг –– построение аналогичной модели для КХД в 3+1 измерениях –– может быть сделан повторением тех же шагов, которые были предприняты в 2+1 измерениях.

Однако переход к двумерной решетке в поперечном пространстве значительно усложняет анализ. Предполагая, что кварк и антикварк соединены «калибровочной струной» преимущественно по кратчайшему пути в поперечной плоскости, удается прийти к уравнению, являющемуся простым обобщением уравнения на спектр масс для (2+1)-мерного случая. В данной главе вычисляется спектр полученного спектрального уравнения и обсуждается возможность его сравнения с экспериментальным спектром мезонов с присущим ему вырождением по массе. При этом спектр этого уравнения оказывается конечным,вырожденным и эквидистантным.302.2Формулировка модели в 2+1 измеренияхРассмотрим модель взаимодействия кварка и антикварка в 2+1 измеренияхдля SU (N ) калибровочно-инвариантной теории. В этой модели решетка в поперечном пространстве (с параметром a) одномерна и имеет конечное число узловK⊥ . В дальнейшем для краткости для обозначения координаты x⊥ используетсясимвол x и подразумевается зависимость всех полей от координаты x− там, гденеобходимо.

Гамильтониан выглядит следующим образом:∑∫L{g2a aπ (x)πa (x) +(2.4)H=dx :228Lη0x−L()()aag 2 a −1λλ+∂− χ† (x) χ(x) ∂−−1 χ† (x) χ(x) −222[]iχ† (x − a)σ1 U † (x) − χ† (x + a)U (x + a)σ1 + 2mq aχ† (x) ×−8a[]× ∂−−1 U (x)σ1 χ(x − a) − σ1 U † (x + a)χ(x + a) + 2mq aχ(x) +() ∑}( †)g2a 11†+ 2 2N−bm (x)bm (x) + dm (x)dm (x) sm :,8a L 2N1−m∈N− 2где использовано обозначение (1.56) для sm . В дальнейшем значок нормальногоупорядочивания :: писаться не будет, т. е. члены гамильтониана будут считаться всегда упорядоченными. Стоит обратить внимание, что в (2+1)-мерном пространстве меняются размерности некоторых величин, и поэтому коэффициентыперед некоторыми членами в гамильтониане отличаются от (3+1)-мерного случая. В частности константа связи g 2 a в 2+1 измерениях безразмерна, а фермионные поля χ(x) выражаются через операторы рождения и уничтожения следующим образом:χir (x)=√)∑ (1i−ipm x−i†ipm x−bmr (x)e+ dmr (x)e,2aL m∈N− 1(2.5)2где r = ±1/2 –– спиновый индекс, а i = 1, 2, .

. . , N –– индексы присоединенногопредставления группы SU(N) со структурными константами f abc . В этих выражениях σk и λa обозначают матрицы Паули и Гелл-Манна соответственно. Перемен-31ные πa (x) и U (x) удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям:λa[π (x), U (x )] = − δxx′ U (x),2[ a]π (x), πb (x′ ) = iδxx′ f abc πc (x),′a(2.6)а операторы рождения кварка и антикварка b†m , d†m удовлетворяют соответствую′щим каноническим анти-коммутационным соотношениям (при x+ = x + = 0){}′bimr (x), bim†′ r′ (x′ ){=′dimr (x), dim†′ r′ (x′ )}= δmm′ δxx′ δii′ δrr′ .(2.7)Также здесь по-прежнему использовано обозначение m ∈ N − 1/2 для множестваположительных полуцелых чисел, т. е. m = 1/2, 3/2, . . ..Пространство Фока на СФ в рассматриваемой модели ограничено кварк–антикварковой парой, в которой частицы взаимодействуют через нулевые модыглюонного поля.

При этом состояния, входящие в его базис, обладают остаточной инвариантностью относительно калибровочных преобразований в поперечном пространстве. Эти состояния выражаются через операторы рождения и уничтожения кварков и антикварков следующим образом:∑l ⟩m = √ 1b†m (x)Ux,x+la d†n−m (x + la) |0⟩ ,N K⊥ x⟨l l ⟩2 1m2 m1 = δm2 m1 δl2 l1 ,(2.8)где l –– это “длина” цепочки базисного состояния в единицах a, −K⊥ ⩽ l ⩽ K⊥ ,и использовано обозначениеU † (x + a)U † (x + 2a) .

. . U † (x′ ), если x < x′ ,(2.9)Ux,x′ ≡ U (x)U (x − a) . . . U (x′ + a),если x > x′ ,I,если x = x′ .Полный продольный импульс такой кварк–антикварковой системы естьp− ≡ pn =πn.L(2.10)32Общее состояние с полным импульсом pn раскладывается по этому базису:⟩ ∑ l l ⟩|fn ⟩ ≡ pn ; p⊥ = 0 =fm m ,(2.11)m,llт. е. является суперпозицией базисных состояний с волновой функцией fm. Проl ⟩стое суммирование по всем узлам решетки в определении (2.8) базиса m обеспечивает трансляционную инвариантность любого состояния, что в свою очередьсоответствует поперечному импульсу p⊥ = 0.

Поскольку закон преобразованияматриц U при калибровочном преобразовании Ω(x) имеет вид (1.10),Ω(x)U (x)Ω† (x − a),(2.12)введение в определение базисных состояний цепочки из матриц U делает эти состояния инвариантными относительно остаточных калибровочных преобразований, зависящих только от x⊥ .Рассмотрим в гамильтониане (2.4) четырехфермионный оператор))((λaλa−1−1††∂− χ (x) χ(x) ∂− χ (x) χ(x) ∝(2.13)22()()∫Laλa′−†−′−† ′ λ′∝ − dxχ (x) χ(x) |x − x | χ (x ) χ(x ) ,22−Lкоторый получился в результате решения калибровочной связи. Его обычно связывают с проявлением эффектов конфайнмента на СФ из-за множителя |x− −x′− |.Во-первых, можно заметить, что этот член должен содержать два оператора рождения и два оператора уничтожения, так как в противном случае его проекция накварк–антикварковые состояния равна нулю.

Во-вторых, эти операторы локальны по x⊥ , поэтому единственные состояния в кварк–антикварковом базисе, накоторых этот оператор не равен нулю, имеют длину ноль (l = 0). Соответственно, в данной диссертации предлагается феноменологическая модификация этого33четырехфермионного оператора следующего рода:a2Lhad()aλ∂−−1 χ† (x)Ux,x′ Ux′ ,x χ(x) ×2l=−Lhad /a()aλ× ∂−−1 χ† (x + la)Ux+la,x′ Ux′ ,x+la χ(x + la) ,2∑Lhad /a(2.14)где x′ –– это произвольная точка поперечного пространства. Таким образом, этотоператор становится нелокальным по переменной x⊥ на масштабах порядка размера адрона Lhad , при этом остаточная калибровочная инвариантность сохраняется.

Такая модификация позволяет расширить его действие на состояния с ненулевой длиной в поперечном пространстве. Стоит отметить, что эта модификация ––часть предложенной эффективной модели. На уровне лагранжиана она сводитсяк введению нелокального взаимодействия поля A+ с фермионным током, и похожая процедура применяется в работе [26]. В результате удается ввести достаточно хорошую феноменологию.

Действительно, в дальнейшем такая модификацияприводит к появлению аналога хорошо известного уравнения ’т Хоофта, котороесамо по себе широко используется в полуфеноменологических моделях и голографии (см. [27] и ссылки там).Для дальнейших вычислений удобно выделить отдельные члены в гамильтониане (2.4):H = H1 + H2 + H3 + H4 ,(2.15)34где∫Lg2a ∑ ag2a ∑− aaH1 =dxπ(x)π(x)=π (x)πa (x),2228L η0 x4Lη0 x−L()()g2 11 ∑ ∑H2 =N−sn1 b†n1 (x)bn1 (x) + d†n1 (x)dn1 (x) ,8LLhad 2N1x(2.16)n1 ∈N− 2i ∑H3 = −8a x∫L[]dx− χ† (x − a)σ1 U † (x) − χ† (x + a)U (x + a)σ1 + 2mq aχ† (x) ×−L[]× ∂−−1 U (x)σ1 χ(x − a) − σ1 U † (x + a)χ(x + a) + 2mq aχ(x) ,()∫LLhad /aag 2 a2 ∑ ∑λH4 =dx− ∂−−1 χ† (x)Ux,x′ Ux′ ,x χ(x) ×4Lhad2k=−Lhad /a x −L)(aλ× ∂−−1 χ† (x + ka)Ux+ka,x′ Ux′ ,x+ka χ(x + ka) ,2при этомsm =∞ (∑k∈N− 12k̸=m11−(pm − pk )2 (pm + pk )2).(2.17)Оператор H1 в этом выражении отвечает за динамику нулевых мод. В результате приведения к нормально упорядоченной форме четырехфермионного члена в исходном гамильтониане появляется два оператора: полностью упорядоченные двухфермионный H2 и четырехфермионный H4 .

Эти операторы связанысо взаимодействием фермионов. Стоит отметить, что вследствие вышеуказаннойфеноменологической модификации в операторе H2 также возникает множительa/(2Lhad ), связанный с характерным размером адрона. Оператор H3 не содержитконстанты связи, а значит в пределе снятия решетки должен сводится к кинетическому члену гамильтониана на СФ.Далее для краткости вводится следующая система обозначений. Переменные x, y и z будут использоваться для обозначений координат в поперечном пространстве. Вводится обозначениеm = n − m,(2.18)35где целое число n соответствует полному продольному импульсу pn = πn/Lкварк–антикварковой системы. Суммирование по всем полу-целочисленным индексам в членах гамильтониана не пишется явно, но подразумевается.