Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 3

Для того, чтобы характеризовать эти близкие к СФ пространственноподобные плоскости, вводятсятак называемые η-координаты,η2 −y =x + x ,20+y 3 = x− ,y ⊥ = x⊥ ,(1.1)совпадающие в пределе η → 0 с координатами СФ, и соответствующие им импульсы,q 0 = p+ ,q3 = p− −η2p+ ,2q ⊥ = p⊥ .(1.2)√Здесь p± = (p0 ± p3 )/ 2 –– это импульсы в координатах СФ, а p0 , p⊥ = (p1 , p2 ),p3 –– компоненты импульса в лоренцевых координатах.

Параметр η2 /2 можноинтерпретировать геометрически как угол отклонения плоскости квантованияy 0 = 0 от плоскости СФ (см. Рисунок 1.1).Лагранжиан исходной теории с калибровочной группой SU (N ),1L = − F µν Fµν + ψ(iγµ Dµ − mq )ψ,4(1.3)12x−y3x0x+ 0yη22x3Рисунок 1.1 — Геометрическая интерпретация параметра η2 /2 как углаотклонения плоскости квантования нулевой моды от плоскости СФ.записывается в η-координатах (1.1) следующим образом:{ 2}22L(y) = Tr F03(y) + 2F0k (y)F3k (y) + η2 F0k(y) − F12(y)(1.4)√√ †iη2 †+ i 2ψ+ (y)D0 ψ+ (y) + √ ψ− (y)D0 ψ− (y) + i 2ψ†− (y)D3 ψ− (y)2†+ iψ− (y)(D⊥ − mq )ψ+ (y) + iψ†+ (y)(D⊥ + mq )ψ− (y).Здесь тензорFµν (y) = ∂µ Aν (y) − ∂ν Aµ (y) − ig [Aµ (y), Aν (y)](1.5)и ковариантная производнаяDµ = ∂µ − igAµ (y),D⊥ =∑σk Dk ,(1.6)k=1,2заданы через векторные потенциалы глюонного поля Aµ (y), которые относятсяк η-координатам y µ и представляются бесследовыми эрмитовыми N × N матрицами; σk –– это матрицы Паули, а g –– константа связи.

Фермионные (кварковые)поля с массой mq описываются биспинором(ψ=ψ+ψ−)(1.7)с компонентами ψ±rj , где r и j –– это спиновый и цветной индексы соответственно.Эти спиноры отнесены к системе координат xµ и соответствуют выбору матриц13Дирака γµ в координатах xµ в следующем виде:(γ0 = i0 −II 0)(,γ3 = i)0 I,I 0()σk 0γk = i.0 σk(1.8)Далее по координатам y 1 = x1 , y 2 = x2 вводится решетка с шагом a, а покоординате y 0 –– с шагом a0 . Последняя –– это вспомогательная решетка, и в дальнейшем при построении гамильтониана параметр a0 устремляется к нулю. Аналогично подходу DLCQ-регуляризации пространство ограничивается по координате y 3 условием |y 3 | ⩽ L, а для полей вводятся соответствующие периодическиеграничные условия.Компонента глюонного поля A3 (y) и кварковые поля остаются без изменения и относятся к узлам решетки.

Для поперечных компонент глюонного полявводятся новые специальные переменные в виде комплексных N ×N матриц следующего вида:()eMα (y) = I + igaα Aα (y) Uα (y),α = 0, 1, 2;a1 = a2 = a,(1.9)где Uα (y) –– унитарные N ×N матрицы, отнесенные к ребрам (y − aα eα , y) решетeα (y) –– эрмитовы N × N матрицы,ки, eα –– единичные векторы вдоль осей y α , а Aотнесенные к соответствующим узлам решетки.Для этих переменных закон калибровочных преобразований определяетсяследующим образом:eα (y) → Ω(y)Aeα (y)Ω† (y),AUα (y) → Ω(y)Uα (y)Ω† (y − aα eα ),(1.10)где Ω(y) –– матрица калибровочного преобразования. Для матриц Mα (y) преобразование имеет следующий вид:Mα (y) → Ω(y)Mα (y)Ω† (y − aα eα ).(1.11)При этом для переменных A3 и ψ сохраняется обычный закон преобразования:iA3 (y) → Ω(y)A3 (y)Ω† (y) + Ω(y)∂3 Ω† (y),gψ(y) → Ω(y)ψ(y).(1.12)14Далее вводится оператор D3 , определенный следующими равенствами:[]eeeD3 Aα (y) = ∂3 Aα (y) − ig A3 (y), Aα (y) ,(1.13)D3 Uα (y) = ∂3 Uα (y) − igA3 (y)Uα (y) + igUα (y)A3 (y − aα eα ),(1.14)D3 Mα (y) = ∂3 Mα (y) − igA3 (y)Mα (y) + igMα (y)A3 (y − aα eα ),(1.15)D3 ψ(y) = (∂3 − igA3 (y)) ψ(y).(1.16)Эти равенства обеспечивают перестановочность операции D3 с калибровочнымипреобразованиями.

С помощью этого оператора матрицы Uα (y) доопределяютсяследующим калибровочно-инвариантным условием:D3 Uα (y) = 0,(1.17)eα (y) накладывается требование отсутствия в них части, удовлеа на матрицы Aeα (y) = 0. В калибровке A3 = 0 эти условия простотворяющей условию D3 Aозначают разделение нулевых и ненулевых мод Фурье по y 3 матриц Mα (y), гдеeα (y)Uα (y) описывают нулевые и ненулевые моды соответственно.Uα (y) и igaα AВ термина переменных Mα можно определить решеточные аналоги полейFµν (y) теории в непрерывном пространстве следующим образом:G12 (y) = −1(M1 (y)M2 (y − ae1 ) − M2 (y)M1 (y − ae2 )) ,ga21(Mk (y)M0 (y − aek ) − M0 (y)Mk (y − a0 e0 )) ,ga0 a1G3α (y) =D3 Mα (y),gaαG0k (y) =(1.18)k = 1, 2,для которых в наивном пределе a → 0, a0 → 0 верно Gµν (y) → iFµν (y).

Эти решеточные поля Gµν (y) при калибровочных преобразованиях ведут себя следующимобразом:G3α (y) → Ω(y)G3α (y)Ω† (y − aα eα ),Gαβ (y) → Ω(y)Gαβ (y)Ω† (y − aα eα − aβ eβ ).(1.19)15Если далее в качестве ультрафиолетовой регуляризации, использовать обрезание по собственным значениям q3 оператора D3 ,|q3 | ⩽ Λ,(1.20)то регуляризации теории можно придать полностью калибровочноинвариантный вид. Действие так регуляризованной теории в записываетсяв следующем виде:S(η) =L∑∫{ (dy 3 a2 a0 Tr G†03 (y) G03 (y) + η2 G†0k (y) G0k (y) +y ⊥ ,y 0−LG†0k (y) G3k (y)G†3k (y) G0k (y)G†12 (y) G12 (y)(1.21))−++−)i ( †− √ ψ+ (y)M0 (y) ψ+ (y − a0 e0 ) − э.с.

−a0 2)iη2 ( †− √ψ− (y)M0 (y)ψ− (y − a0 e0 ) − э.с. −2 2 a0i ( †−ψ (y)Mk (y) σk ψ+ (y − aek ) +2a −)†+ ψ+ (y)Mk (y) σk ψ− (y − aek ) − э.с. +}()√ †+ i 2 ψ− (y)D3 ψ− (y) − im ψ†− (y) ψ+ (y) − ψ†+ (y) ψ− (y) .Здесь символ «э.с.» означает эрмитово-сопряженные члены. Далее для краткостибудет принята следующая сокращенная запись аргументов у функций поля: полев точке y пишется без указания на аргумент, а поле в смещенной точке y ± aα eαпишется с указанием только на величину и направление сдвига, например:f (y) = f,f (y ± aα eα ) = f (±aα ).(1.22)При конечном значении η ̸= 0 нулевые моды являются независимыми динамическими переменными. Чтобы сохранить это свойство в пределе η → 0, действие (1.21) модифицируется. В соответствующих членах действия параметр η16фиксируется равным η0 ̸= 0:S(η, η0 ) = S(η) +2L(η20−η )2∑y ⊥ ,y 0{]i [ †ψ−,0 U0 ψ−,0 (−a0 ) − э.с.

+− √2 2a0(1.23)}[()()]1+ 2 Tr Uk U0 (−ak ) − U0 Uk (−a0 ) U0† (−ak )Uk† − Uk† (−a0 )U0†.g a0Здесь ψ−,0 обозначает нулевую моду фермионного поля, т. е. определенную равенством D3 ψ−,0 = (∂3 − igA3 )ψ−,0 = 0. Пока параметр L конечен и фиксирован, предельный переход на СФ совершается так, чтобы нулевые моды оставалисьнезависимыми динамическими переменными, какими они являются до переходана СФ. В этом смысле для нулевых мод предельный переход на СФ «замораживается». Таким образом, члены гамильтониана на СФ, содержащие только нулевыемоды, сохраняются в виде, соответствующем теории на поверхности близкой кСФ.Идея рассматривать предельный переход на СФ отдельно для нулевых иненулевых мод была впервые высказана и исследована в работах [15; 22] на примере массивной модели Швингера, т.

е. квантовой электродинамики в 1+1 измерениях. В этой модели была обнаружена зависимость получаемых результатов отспособа предельного перехода η0 → 0 на СФ для нулевых мод. Например, еслипереходить на СФ, сохраняя размер 2L пространства по x− конечным, то становится невозможным описать фермионный конденсат, характерный для данноймодели. Однако приближенно значение конденсата удается получить, если рассматривать предел L → ∞ одновременно с предельным переходом на СФ, фиксируя параметр Lη0 и делая его конечным. Этот параметр связывает величину L иугол η20 /2 отклонения от СФ плоскости, на которой определены «замороженные»члены гамильтониана с нулевыми модами. Получаемый в результате эффективный гамильтониан позволяет для модели Швингера вычислять в пределе L → ∞как спектр масс, так и величину конденсата при надлежащем выборе параметраLη0 . Таким образом, нулевые моды, моделирующие динамику в инфракраснойобласти, дают полуфеноменологический способ описания вакуумных конденсатов и правильного описания спектра масс в пределе снятия регуляризации [22].

Вданной диссертации предельный переход η0 → 0 на СФ совершается аналогичным образом при фиксированном параметре Lη0 и стремлении L к бесконечности.17Далее в этой главе формулируется модель взаимодействия кварка и антикварка и, с использованием решеточного действия КХД в форме (1.21), (1.23),вычисляется ее эффективный гамильтониан.1.2Формулировка кварк–антикварковой модели и вычисление еегамильтонианаВ настоящей диссертации предлагается модель взаимодействия кварка иантикварка в рамках формализма квантования на СФ с динамическими нулевыми модами [23]. Данная модель формулируется как определенное приближениек полной КХД на СФ с некоторыми феноменологическими модификациями.

Поскольку рассматриваемый метод представляет основной интерес для низкоэнергетической физики, в предлагаемой модели предполагается, что основную информацию об этой области энергий несет в себе динамика нулевых мод. Такоепредположение значительно упрощает исходную формулировку теории, а такжепозволяет вычислять спектр масс легких мезонов как спектр связанных состоянийкварк–антикварковой пары, взаимодействующей через нулевые моды глюонногополя.Модель формулируется следующим образом:1. Пространство Фока на СФ, в котором действует эффективный гамильтониан, ограничивается и включает только состояния с одной кварк–антикварковой парой.2.