Диссертация (Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте), страница 10

Поскольку заранее неизвестно, какие параметры модели соответствуют экспериментальному спектру мезонов, аналитическое решениедля некоторого класса этих параметров может оказаться полезным.В настоящей главе рассматривается низкоэнергетическая асимптотикаспектра уравнения ’т Хоофта в общем случае µ1 ̸= µ2 в пределе больших масскварков (µ1,2 ≫ 1). При этом используется метод, основанный на переходе к координатному пространству с помощью преобразования Фурье. Полученный в итогерезультат показывает, что уравнение ’т Хоофта сводится в первом приближениик аналогу уравнения Шредингера с линейно растущим потенциалом вида |x|, т. е.к уравнению для частицы в «треугольной» потенциальной яме.

Дальнейшие по-68правки к этому решению получаются посредством теории возмущений по маломупараметру 1/µ.3.2 Предел тяжелых кварковРассмотрим исходное уравнения ’т Хоофта (3.10). Для изучения его свойствв пределе больших масс кварков удобно ввести следующую параметризацию:µ1,2 = c1,2 µ,(3.15)µ = µ1 + µ2 ,1 = c1 + c2 .В рассматриваемом пределе µ будет стремиться к бесконечности, а c1 и c2 принимают значения от нуля до единицы.

Случаю равных масс кварков соответствуетc1 = c2 = 1/2. Стоит отметить, что µ1,2 имеют смысл обезразмеренной массыкварков в указанном пределе, поскольку µ1,2 ≈ m21,2 π/g 2 . Если сделать заменупеременных,ξ = ω + c1 ,(3.16)f (ξ) = f (ω + c1 ) = φ(ω),то уравнение (3.10) можно записать в следующем виде:(λφ(ω) =)∫c2c22c21φ(ω′ )2+µ φ(ω) − Pdω′ .′2c1 + ω c2 − ω(ω − ω)(3.17)−c1Рассмотрим это уравнение в пределе µ → ∞.

В главном порядке низшее(0)значение λ0 в спектре соответствует минимальному значению первого слагаемого правой части уравнения, которое при выбранном сдвиге (3.16) достигаетсяпри ω = 0, поэтому(0)λ0 = µ2 .(3.18)69При этом соответствующая собственная функция стремится к дельта функцииДирака δ(ω) при µ → ∞. Будем искать поправку к этому значению в виде(0)λ = λ0 + γ.(3.19)В результате соответствующей подстановки уравнение приобретает вид2ωµ2 φ(ω) − Pγφ(ω) =2c1 c2 − (c1 − c2 )ω − ω∫c2−c1φ(ω′ )dω′ .′2(ω − ω)(3.20)Далее, введя обозначенияµ2 = t−3 ,γ ≡ γt(3.21)и сделав «растяжение» независимой переменной,ω = st,φ(ω) = φ(st) = ψ(s),(3.22)можно получить уравнениеs2γψ(s) =ψ(s) − Pc1 c2 − (c1 − c2 )st − s2 t2∫c2 /t−c1 /tψ(s′ )ds′ .′2(s − s)(3.23)В этом уравнении можно сделать формальный переход к пределу t → 0, соответствующий пределу µ → ∞.

Для первого слагаемого в правой части уравнения (3.23) этот предельный переход хорошо определен, и нетрудно определить поправки к главному значению s2 /(c1 c2 ). Во втором слагаемом этому переходу соответствует замена конечных пределов интегрирования бесконечными:(−c1 /t, c2 /t) −→ (−∞, ∞). Однако поправки к главному значению в этом случае определить гораздо труднее. В работе [48] эти поправки оцениваются как величина, много меньшая t4 . После выполнения указанного предельного переходаполучится уравнение, уже не содержащее t и, таким образом, соответствующеепредельному случаю в первом приближении. Это уравнение имеет вид:s2ψ(s) − Pγψ(s) =c1 c2∫∞−∞ψ(s′ )ds′ .′2(s − s)(3.24)70В нем легко сделать преобразование Фурье,1ψ̂(x) =2π∫∞ψ(s)eisx ds,(3.25)−∞и получить уравнение в «координатной» областиγψ̂(x) = −1 ′′ψ̂ (x) + π|x|ψ̂(x).c1 c2(3.26)Стоит отметить, что если µ1 = µ2 (т.

е. c1 = c2 = 1/2), то переменная x пропорциональна расстоянию между кварком и антикварком в x− направлении.Полученное уравнение есть не что иное, как уравнение Шредингера для частицы в «треугольной» потенциальной яме, т. е. с потенциалом вида |x|. Оно имеет следующее решение:()1/3π2γn = −zn , n = 0, 1, . .

. ,c1 c2 []Ai (πc1 c2 )1/3 x + zn , если x ⩾ 0ψ̂n (x) =(−1)n ψ̂ (−x),если x < 0.(3.27)(3.28)nЗдесь через z2k+1 обозначены нули функции Эйри, а через z2k –– нули ее производной (k = 0, 1, . . .). Существует асимптотика величин zn для больших n [49]:[]2/33 (1).zn ≈ − π n +42(3.29)Эта формула обладает точностью в 1 % уже для n = 1 и гораздо лучшей длябольших n. Таким образом, можно написать[(γn ≈3 2π4)21c1 c2]1/3(1 )2/3n+,2n = 0, 1, .

. . .(3.30)Теперь, возвращаясь к исходным переменным, можно получить выражения для квадратов масс λn связанных состояний и соответствующих им функцийφn (ω), являющихся при большом µ в первом приближении решением уравнения71’т Хоофта (3.10):)1/3π2 µ2zn + µ2 ≈λn = −c1 c2[()2 2 ]1/3 (µ3 21 )2/3≈πn++ µ2 ,4c1 c22∫∞φn (ω) =ψ̂n (x/µ2·3 )e−iωx dx,((3.31)(3.32)−∞где n = 0, 1, .

. .. В случае равных масс µ1 = µ2 (т. е. c1 = c2 = 1/2) и высокихвозбуждений в спектре (n ≫ 1) формула (3.31) для квадрата массы принимаетособенно простой вид:(λn ≈)2/33π2µn+ µ2 .2(3.33)Таким образом, получено решение уравнения ’т Хоофта с неравными массами кварков в первом приближении в пределе больших масс. Чтобы найти поправки к этому решению, нужно разложить все члены в уравнении (3.23) по степеням tи решить полученное уравнение по теории возмущений. Разложение для первогочлена выглядит следующим образом:)∞ (∑c1s2 t2c2=+ n (st)n .22nc1 c2 − (c1 − c2 )st − s t(−c1 )c2n=2(3.34)Если ограничиться порядком точности O(t4 ) [48], то в интеграле в (3.23) можнозаменить пределы (−c1 /t, c2 /t) на (−∞, ∞) и, таким образом, написать:[1 2 c1 − c2 3c31 + c32 4 2γψ(s) =s + 2 2 s t+ 3 3 s t(3.35)c1 c2c1 c2c1 c2]∫∞4455c1 − c2 5 3 c1 + c2 6 4ψ(s′ )+ 4 4 s t + 5 5 s t ψ(s) − Pds′ + O(t5 ).c1 c2c1 c2(s′ − s)2−∞72Совершая преобразование Фурье (3.25), можно получить уравнение в «координатном» пространстве:[1 d2c 1 − c 2 d3γψ(s) = |x| −+i 2 2 t 3(3.36)c1 c2 dx2c1 c2 dx]c31 + c32 2 d4c41 − c42 3 d5c51 + c52 4 d6+ 3 3 t−i 4 4 t− 5 5 t+ O(t5 ) ψ(s).456c1 c2dxc1 c2dxc1 c2dxОно решается по теории возмущений способом, в целом аналогичным использованному в работах [41; 48].3.3 ЗаключениеВ данной главе анализируется частный случай уравнения (2.97) на спектрмасс связанных состояний кварка и антикварка, полученного в рамках предложенной в настоящей диссертации модели.

В этом частном случае поперечныестепени свободы не играют существенной роли, а указанное уравнение сводится к уравнению ’т Хоофта в двухмерной КХД. В результате численных экспериментов было обнаружено, что асимптотика решений этого уравнения в пределебольших масс кварков имеет вид, схожий со специальными функциями Эйри.

Всвязи с этим проводится поиск аналитического решения для этого предельногослучая.В результате в данной главе получено решение уравнения ’т Хоофта в пределе больших и при этом неравных масс кварков. Путем перехода к пределу висследуемом интегральном уравнении показано, что спектр и набор волновыхфункций рассматриваемой модели совпадают (после некоторых «перерастяжений») со спектром и волновыми функциями уравнения Шредингера с линейнорастущим потенциалом вида |x|, т. е. квантового уравнения для частицы в «треугольной» потенциальной яме.Уравнение ’т Хоофта может быть решено численно с любой степенью точности, и к нынешнему моменту существуют различные способы это сделать [24;42; 50—53]. Поскольку проведенные численные расчеты совпадают с получен-73ным в данной главе результатом, это можно рассматривать в качестве дополнительной проверки проделанного анализа.Рассматриваемое уравнение представляет интерес для различных областейфизики [27; 40—47], поэтому полученное аналитическое решение может бытьприменено и к другим задачам.

В работах [45; 48; 54—58] проводится анализуравнения ’т Хоофта для некоторых частных случаев. Так, в работе [58] рассматривается специальный случай µ1 = µ2 = 0, а также приводятся предварительныерезультаты для более общего случая µ1 = µ2 = µ. В работе [48] исследуютсяасимптотические свойства уравнения ’т Хоофта в аналогичном рассматриваемому здесь пределе µ → ∞. В зависимости от рассматриваемой области спектра, получаются разные асимптотики: низкоэнергетическая (для низших возбуждений вспектре) и полуклассическая (для больших собственных значений).

Однако методэтой работы оказывается применимым только для случая равных масс кварков.Полученные в данной главе выражения можно рассматривать как асимптотику целого класса решений уравнений, задаваемых предлагаемой моделью приразличных значениях феноменологических параметров. Поскольку заранее не известно, какой именно набор параметров соответствует реальной физике, полученный результат может оказаться полезным для описания экспериментально наблюдаемого спектра мезонов.74ЗаключениеОсновные результаты работы заключаются в следующем.1.

В рамках гамильтонова подхода на СФ с динамическими нулевыми модами получен гамильтониан кварк–антикварковой модели, в которойфермионы взаимодействуют только посредством нулевой моды глюонного поля.2. Получено уравнение на собственные значения оператора квадрата массы в данной модели. Из этого уравнения следует наличие конфайнментав теории по всем пространственным направлениям. При этом обнаружено, что конфайнмент в поперечном направлении обеспечивается взаимодействием кварка и антикварка посредством нулевой глюонной моды.

Впродольном направлении конфайнмент проявляется в наличии членовуравнения ’т Хоофта в полученном спектральном уравнении.3. Рассчитан спектр этого уравнения для различных наборов параметровмодели. Для некоторых наборов параметров спектр обладает рядом характерных особенностей, присущих реальному спектру мезонов. К этимособенностям относятся вырожденность состояний по массе, а также наличие траекторий Редже, проявляющееся в эквидистантности уровнейвырожденной массы.4. В предельном случае, когда поперечными степенями свободы в спектральном уравнении можно пренебречь, показано, что оно сводится куравнению ’т Хоофта в (1+1)-мерной КХД.

Для этого уравнения доказано, что в пределе больших масс фермионов оно сводится к уравнению,аналогичному уравнению Шредингера для частицы в потенциальной ямес линейно растущим потенциалом. Метод доказательства применим кслучаю фермионов разной массы и представляет новый результат в теории уравнения ’т Хоофта.Можно предложить несколько путей дальнейшего развития модели и ееусложнения. Один из них –– это добавить в рассмотрение ненулевые моды глюоного поля. При этом можно по-прежнему использовать ограниченный базис пространства Фока на СФ так, чтобы он включал только небольшое конечное числооператоров ненулевых глюонных мод в точках поперечного пространства, при-75надлежащих калибровочно-инвариантной «струне» базисного состояния.