Диссертация (Ренормгрупповой анализ моделей турбулентного переноса и магнитной гидродинамики)

САНКТ–ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиГулицкий Николай МихайловичРЕНОРМГРУППОВОЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА И МАГНИТНОЙГИДРОДИНАМИКИ01.04.02 — теоретическая физикаДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физико–математических наукАнтонов Н. В.Санкт–Петербург — 20142ОглавлениеВведение81 Модель Крейчнана и стохастические дифференциальныеуравнения переноса пассивного поля181.1 Введение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2 Изотропная модель Крейчнана . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3 Стохастическое уравнение переноса векторного поля . . . . .221.4 Анизотропная модель Крейчнана . . . . . . . . . . . . . .

. .241.5 Стохастическое уравнение Навье–Стокса . . . . . . . . . . .252 Квантово–полеваяформулировкамоделей,УФ–расходимости и уравнение Дайсона272.1 Функционал действия S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2 Перенос пассивного векторного поля сильно анизотропнымполем скорости (модель №1) . . . .

. . . . . . . . . . . . . .282.2.1Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282.2.2Квантово–полевая формулировка . . . . . . . . . . . .302.2.3Канонические размерности . . . . . . . . . . . . . . .332.2.4Уравнение Дайсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372.3 МГД модель Крейчнана (модель №2) . . . . . . . . . . . . .412.3.1Постановка задачи. Функционал, диаграммная техника 4132.3.2Канонические размерности . .

. . . . . . . . . . . . .432.3.3Уравнение Дайсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.4 Перенос пассивного векторного поля полем скорости, подчиняющимся стохастическому уравнению Навье–Стокса (модель №3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.4.1Постановка задачи . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .492.4.2Квантово–полевая формулировка . . . . . . . . . . . .502.4.3Канонические размерности . . . . . . . . . . . . . . .532.4.4Уравнение Дайсона для функции hvα′ vβ i1-непр . . . . .562.4.5Уравнение Дайсона для функции hθα′ θβ i1-непр . . . . .592.4.6Вычисление расходящейся части диаграммы hθα′ θγ vβ i613 Ренормировка моделей3.1 Модель №1 . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66663.1.1Уравнение РГ. β– и γ–функции. . . . . . . . . . . . .663.1.2ИК–притягивающая неподвижная точка . . . . . . . .693.1.3Критические размерности . . . . . . . . . . . . . . . .703.1.4Уравнение Дайсона и точные выражения для пропагаторов . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .723.2 Модель №2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753.2.1Уравнение РГ. β– и γ–функции . . . . . . . . . . . . .753.2.2ИК–притягивающая неподвижная точка . . . . . . . .773.2.3Критические размерности . . . . .

. . . . . . . . . . .783.3 Модель №3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7943.3.1Стохастическое уравнение Навье–Стокса. Ренормировка параметра ν0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.3.1.1Уравнение РГ. β– и γ–функции . . . . . . . .793.3.1.2ИК–притягивающая неподвижная точка . .813.3.1.3Критические размерности . . . . . .

. . . . .823.3.2Ренормировка параметра A0 . . . . . . . . . . . . . .833.3.3Стохастическое уравнение конвекции–диффузии. Ренормировка параметра κ0 . . . . . . . . . . . . . . . .843.3.3.1Уравнение РГ. β– и γ–функции . . . . . . . .843.3.3.2ИК–притягивающая неподвижная точка . .863.3.3.3Критические размерности . . . . . . . . . . .884 Ренормировка составных операторов. Модель №14.1 Критические размерности составных операторов . . . .

. . .89894.1.1Общая схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .894.1.2Однопетлевая диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . .904.1.3Многопетлевые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . .924.1.4Аномальные размерности . . . . . . . . . . . . . . . .934.1.5Матрица критических размерностей и ее собственные4.1.6значения . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96Асимптотика среднего значения оператора FN, p . . .994.2 Асимптотика корреляционной функции G = hF1F2 i . . . . . 1024.3 Операторное разложение и асимптотика инерционнного интервала . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 1094.4 Нильпотентность матрицы аномальных размерностей . . . . 11154.4.1Определения и цели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.2Основная идея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.4.3Явный вид матрицы UN . . .

. . . . . . . . . . . . . . 1184.4.4Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.4.54.4.4.1Столбец №1 (C = 0) . . . . . . . . . . . . . . 1204.4.4.2Столбец №2 (C = 1) . . . . . . . . . . . . . . 1204.4.4.3Три нижние диагонали . . . . . . . . . . . . 1234.4.4.4Все остальные элементы . . . . . . . .

. . . . 126Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305 Ренормировка составных операторов. Модели №2 и №31315.1 Аномальный скейлинг для корреляционных функций в инерционном интервале, составные операторы и операторное разложение . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2 Скаляризация диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3 Модель №2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3.1Однопетлевая диаграмма . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.3.2Двухпетлевые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.3.3Аномальная размерность γF∗ N, l .

. . . . . . . . . . . . 1505.3.4Сравнение результатов с точным решением в частномслучае парной корреляционной функции . . . . . . . 1535.4 Модель №3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4.1Аномальный скейлинг и аномальные показатели в однопетлевом приближении .

. . . . . . . . . . . . . . . 154Основные результаты и выводы1596A Приложения к Главе 1163A.1 Галилеева инвариантность и ее следствия . . . . . . . . . . . 163A.1.1 Галилеево–ковариантная производная . . . . . . . . . 163A.1.2 Наличие δ–функции как следствие требования галилеевой инвариантности.

. . . . . . . . . . . . . . . . 164A.2 Модель магнитной гидродинамики Казанцева–Крейчнана . . 165A.3 Согласование динамики с условием поперечности . . . . . . 167B Приложения к Главе 2169B.1 Доопределение Θ(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169B.2 О невозможности существования двух пространственныхмасштабов в модели №1 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 170B.3 Вычисление канонических размерностей в модели №3 . . . . 172C Приложения к Главе 3177C.1 Оператор DRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177C.2 Связь констант ренормировки Z, β– и γ–функций . . . . . . 179C.2.1 Вычисление констант ренормировки Z . . . . .

. . . . 179C.2.2 Вычисление аномальной размерности и β–функциизаряда g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180C.2.3 Вычисление аномальной размерности и β–функциизаряда u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182C.3 ИК–асимптотика функций Грина. Инвариантный заряд,неподвижная точка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 183C.3.1 Уравнение РГ как дифференциальное уравнение вчастных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837C.3.2 Решение однородного дифференциального уравнения.Инвариантный заряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184C.3.3 Решение неоднородного дифференциального уравнения 186Литература1888ВведениеАктуальность темы.На данный момент теоретическое описание развитой турбулентностии, в частности, аномального скейлинга в ней, в значительной степени остается нерешенной задачей; см. [1–8]. Натурные эксперименты и численноемоделирование показывают, что отклонения от предсказаний классическойтеории Колмогорова — Обухова для переноса пассивного скаляра проявляются даже более сильно, чем для самого переносящего его поля скорости.Кроме того, оказывается, что проблема переноса достаточно просто поддается теоретическому описанию: даже упрощенные модели, описывающиеперенос каким–либо «синтетическим» ансамблем скорости с заданной гауссовой статистикой, воспроизводят многие из аномальных свойств реального турбулентного переноса массы или тепла, наблюдаемые в эксперименте.Поэтому проблема турбулентного переноса, сама по себе имеющая важноепрактическое значение, может рассматриваться как исходная точка приизучении развитой гидродинамической турбулентности в целом [9].Наиболее значительные успехи на этом пути были достигнуты для модели Крейчнана с нулевым временем корреляции, в которой корреляционная функция поля скорости выбрана в виде hvvi ∝ δ(t − t′ ) · k −d−ξ , где k является волновым числом, d — размерностью пространства, а ξ — произвольным показателем, являющимся характеристикой вещества.

Впервые бесконечный набор аномальных показателей был вычислен на основе микроско-9пической модели в рамках регулярной теории возмущений; см. [10–23], атакже обзоры [24, 25].Степень разработанности темы исследования. Наибольшиеуспехи при изучении аномального скейлинга в статистических моделяхтурбулентного переноса были достигнуты с помощью применения методов ренормализационной группы (РГ) и операторного разложения (ОР);см.

монографии [26, 27]. При таком подходе аномальный скейлинг является следствием существования составных полей («составных операторов» втерминологии квантовой теории поля) с отрицательными критическимиразмерностями; см. обзор [25]. В работах [28–33] методы РГ + ОР былиприменены к различным задачам турбулентного переноса пассивных векторных полей — как непосредственно к модели Крейчнана, так и к различным ее обобщеням — конечному времени корреляции, анизотропии,сжимаемости, нелинейности наиболее общего вида и т. д.