Диссертация (Точные решения в теории локализованных волн)
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Точные решения в теории локализованных волн". PDF-файл из архива "Точные решения в теории локализованных волн", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве СПбГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с СПбГУ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Санкт-Петербургский Государственный УниверситетНа правах рукописиТагирджанов Азат МухаммедовичТочные решения в теории локализованных волнСпециальность 01.01.03 —«Математическая физика»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорКиселев Алексей ПрохоровичСанкт-Петербург — 20162ОглавлениеВведение .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Краткий обзор известных простых сильно локализованных решений . . . 101.1Гармонические по времени решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.11.3Метод параболического уравнения. Приближенное параксиальное решение . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10“Комплексный источник” в гармоническом случае . . . . . . . . . . . .12Нестационарные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.1Относительно неискажающиеся решения . . . . . . . . . . . . .
. . . . .131.2.2Решение Бейтмена-Ильона. Focus wave modes . . . . . . . . . . . . . . .141.2.3Бейтменовский гауссовский пакет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2.4Некоторые другие обобщения решения Бейтмена . . . . . . . . . . . . .161.2.5Комплексифицированные сферические волны . . . . .
. . . . . . . . . .161.1.21.210Нестационарные решения обладающие сингулярностью, локализованной в бегущей точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 Гармонический “комплексный источник” в трехмерном случае . . . . . . . 18Функция источника в случае beam choice . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .192.1.1Скачки поля на антенне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.1.2Регуляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.1.3Функция источника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .222.2Функция источника в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.3Функция источника для произвольной антенны . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.3.1Выбор разреза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242.3.2Антенна . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.3.3Фиксация ветви корня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.3.4Простейшие разрезы и соответствующие им антенны . . . . . . . . . . .282.3.5Скачки поля на антенне. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302.3.6Регуляризация интегралов в (2.3.34) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .312.3.7Интеграл по тору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.3.8Интеграл по антенне без окрестности края . . . . . . . . . . .
. . . . . .332.3.9Явный вид токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.132.42.52.62.3.10 Примеры. Токи на простейших антеннах . . . . . . . . . . . . . . . . . .35Асимптотическое поведение * в случае beam choice . . . . . . .
. . . . . . . .362.4.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . . . . . . . . . . . . . . . .362.4.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37Асимптотическое поведение * в случае source choice. . . . . . . . . . . . . .382.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . . . . . . . . . . . . . . . .382.5.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .39Асимптотическое поведение * в случае произвольной антенны. . . . . . . .402.6.1Некомпактная антенна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.6.2Компактная антенна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .403 Гармонический “комплексный источник” в двумерном случае . . . . . . . . 41Функция источника в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.1.1Регуляризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423.1.2Функция источника . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453.2Функция источника в случае beam choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.3Функция источника для произвольной антенны . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.3.1Выбор разреза . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.3.2Антенна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473.3.3Функция источника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473.13.43.53.6Асимптотическое поведение g* в случае beam choice. . . . . . . . .
. . . . . .483.4.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . . . . . . . . . . . . . . . .483.4.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49Асимптотическое поведение g* в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . .493.5.1Параксиальная асимптотика в ближней зоне . .
. . . . . . . . . . . . . .503.5.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50Асимптотическое поведение g* в случае произвольной антенны . . . . . . . . .504 Нестационарный “комплексный источник” в трехмерном случае . .
. . . . 514.1Функция источника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .514.2Гауссовский пакет в случае beam choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524.2.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстояниях . . . . . . . . .
.534.2.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .544.2.3Асимптотика вблизи пика на больших расстояниях . . . . . . . . . . . .55Гауссовский пакет в случае source choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .554.3.1Асимптотика вблизи пика на умеренных расстояниях . . . . . . . . . .554.3.2Асимптотика в дальней зоне . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .56Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .574.34.445 Простые решения волнового уравнения с сингулярностью в бегущей точке, основанные на комплексифицированном решении Бейтмена . . . . . . 585.1Комплексифицированное решение Бейтмена . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .585.2Простейшая сингулярная форма волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595.3Исследование вещественной и мнимой частей функции (5.2.1) . . . . . . . . . .625.4Обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .64Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665ВведениеАктуальность темы исследования. Интерес к построению локализованных решенийлинейных уравнений, описывающих волновые процессы, можно проследить начиная с работБейтмена начала XX века [33,34].
В 1960-е годы в связи с развитием лазерной техники в оптике возник запрос на построение простых явных решений уравнений Максвелла и, в качествеих упрощенной модели, волнового уравнения. Почти сразу же в рамках коротковолновогоприближения для гармонического режима были получены асимптотические выражения, обладающие гауссовской локализацией в окрестности фиксированного луча (оси пучка). Ониполучили название гауссовских пучков. Особенное внимание уделялось так называемой осесимметрической фундаментальной моде. Построения основывались на методе параболического уравнения (см., например, [2, 5, 14, 30, 51] и др.).
Следом за этим Изместьев [12] в 1970г. и Дешамп [38] в 1971 г. независимо построили точное решение уравнения Гельмгольцадля постоянной скорости распространения, демонстрирующие гауссовскую локализацию вокрестности оси. Это решение возникло в результате комплексного сдвига по одной из координат точки источника в ненаправленной гармонической по времени сферической волне.Оно было названо “полем комплексного источника”.“Поля комплексных источников” привлекли большое внимание в разных разделах теориидифракции и распространения волн.
В частности, они, как и их двумерные [39] и нестационарные аналоги, нашли применение в качестве падающего поля в задачах дифракции вугловых областях [39,40,52,55], в численных методах [11,61], в построении вейвлетов [46,47],в моделировании излучателей упругих волн [41, 53, 63] и ряде других вопросов. Рассматривались также мультипольные обобщения (см., например, [54, 57]) и статические1 версии [52].Эти решения изначально были окружены некоторым ореолом таинственности как “возбуждаемые источниками в комплексном пространстве” (и в этой связи было предпринятоизучение обобщенных функций в комплексном пространстве [45, 46]).Комплексифицированная сферическая волна не является однозначно определенной функцией в физическом пространстве R3 .
Однозначное ее определение требует проведения разреза. В результате поле имеет скачки на некоторых поверхностях — антеннах, на которыхсосредоточены функции источника — токи (правые части в волновом уравнении в нестационарном случае или в уравнении Гельмгольца в гармоническом).
