Диссертация (Свойства периодических и близких к периодическим решений в общей задаче трех тел)

Санкт–Петербургский государственный университетНа правах рукописиЯсько Павел ПетровичСВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ИБЛИЗКИХ К ПЕРИОДИЧЕСКИМРЕШЕНИЙ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХТЕЛСпециальность 01.03.01 – астрометрия и небесная механикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководитель:доктор физ.–мат. наук,профессор В.В. ОрловСанкт–Петербург – 2016ОглавлениеВВЕДЕНИЕ31 КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ИЗУЧЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ1.1 История и достижения в изучении задачи трех тел . . .1.2 Постановка задачи . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Частные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Исследование периодических орбит . . . . . . . . . . . .ТЕЛ. . . .. . . .. . . .. . . .....................2 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С НУЛЕВЫМ УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ ИНЕНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ СКОРОСТЯМИ2.1 Введение и постановка задачи . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .2.2 Результаты исследования переходных областей между известными периодическими орбитами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Метод поиска близких к периодическим орбит . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Результаты сканирования . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.4.1 Периоды T < 10τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.2 Периоды T < 100τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Тонкая структура перехода между орбитой Шубарта и S-орбитой . .

.2.6 Основные выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ С НУЛЕВЫМИСТЯМИ3.1 Постановка задачи и общие результаты .3.2 Прямолинейный случай . . . . . . . . . .3.3 Равнобедренный случай . . . . . . . . . .3.4 Общий случай . . . .

. . . . . . . . . . .3.5 Основные выводы . . . . . . . . . . . . .1213182224282831394141536067НАЧАЛЬНЫМИ СКОРО..........................................................................................696972788892ЗАКЛЮЧЕНИЕ93СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ952ВВЕДЕНИЕЗадача трех тел является классической задачей небесной механики. Сформулированная в 1687 году Ньютоном, она привлекала внимание многих выдающихся математиков, механиков и астрономов. Эйлер, Лагранж, Лаплас, Якоби, Хилл, Пуанкаре,Сундман, Биркхофф, Ляпунов, Колмогоров, Арнольд, Мозер и многие другие ученые посвятили этой задаче годы своих исследований. Общее решение задачи трех телбыло получено в 1912 году Сундманом в виде равномерно и абсолютно сходящихсярядов.

Однако, эти ряды сходятся чрезвычайно медленно, что означает их практическую непригодность. Отметим также, что ни одно свойство решений в задаче трехтел не было доказано с помощью этих рядов.Наряду с попытками найти общее решение задачи, предпринимались попыткиполучить решения в различных частных случаях, в которых накладываются дополнительные условия симметрии и упрощающие предположения. Таким частнымслучаем является система трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.

Изучению именно таких систем посвящена данная диссертационная работа.Важную роль в динамике тройных систем играют периодические орбиты. Устойчивые периодические орбиты притягивают“ к себе множества орбит с ограничен”ными движениями, а неустойчивые орбиты порождают хаос. Первые периодическиерешения в задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом были найденыв 1956 году Шубартом в прямолинейном случае, в 1979 году Бруком для равнобедренной задачи и в 1993 году Муром в общем случае.

В 2009 году Мартыновой, Орловыми Рубиновым была обнаружена новая близкая к периодической орбита, названнаяиз-за своей формы S-орбитой. В 2013 году исследования этой задачи Шуваковым иДмитрашиновичем привели к обнаружению 15 новых периодических орбит.Настоящая работа посвящена поиску периодических и близких к периодическиморбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.

Выполнено описание найденных орбит, и проведена их классификация по динамическим игеометрическим свойствам.3Актуальность работыИсследования периодических орбит в задаче трех тел проводятся регулярно со времен Пуанкаре. В последние десятилетия интерес к этой тематике существенно вырос — появилось много работ, использующих качественные, аналитические и численные методы исследований. Непрерывный прогресс в вычислительной технике позволяет разрабатывать и применять все новые методы и подходы в поиске и изучении периодических решений.

Совместное использование численных экспериментов и аналитических методов современной математики (вариационное исчисление,теория групп, функциональный анализ и др.) позволяет эффективно применятьчисленно–аналитический подход для поиска периодических решений и исследованияих свойств. Однако, в основном, в предыдущих работах рассматривались отдельныепериодические орбиты в ограниченных областях начальных условий в различныхчастных случаях задачи трех тел. Например, в прямолинейной и равнобедренной задачах.

Таким образом, представляется актуальным рассмотрение обобщающих случаев в задаче трех тел, локализация и классификация периодических орбит, выделение отдельных семейств периодических орбит, изучение зависимостей устойчивости,топологии, характера эволюции и динамики от начальных условий и параметровзадачи.Цели работыОсновной целью работы является поиск и исследование периодических и близких кпериодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие частныезадачи:1. исследование промежуточных областей между известными устойчивыми периодическими орбитами в пространстве начальных условий;2.

разработка и апробация нового алгоритма, позволяющего определять областиначальных условий для близких к периодическим орбит с заданной точностью;3. применение разработанного алгоритма для локализации начальных условийблизких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом;4. проведение классификации обнаруженных орбит на основе их геометрическихи динамических свойств, выделение семейств периодических орбит на основеэтих свойств.4Научная новизна1. Для двух переходных областей между устойчивыми периодическими орбитамипоказано отсутствие траекторий с ограниченными движениями и установлено, что время жизни долгоживущих тройных систем подчиняется степенномузакону f (Te ) ∝ Te−α с показателем α ≈ 2.2. Разработан новый метод поиска периодических орбит, основанный на минимизации безразмерной функции, определяющей близость начальных и текущихкоординат в фазовом пространстве.3. Впервые локализованы начальные условия для десятков близких к периодическим орбит в общей задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом.4.

Обнаружены новые семейства близких к периодическим орбит и определеныпорождающие их орбиты.5. Выполнена классификация орбит на основе сходства топологических свойстворбит.6. Обнаружена и детально исследована переходная область от орбит типа орбитыШубарта к орбитам типа S-орбиты.Научная и практическая ценность работыВ диссертационной работе предложен метод, позволяющий эффективно локализовывать начальные условия для периодических решений и близких к ним в общейзадаче трех тел.

Кроме того, его можно применять для определения начальных условий близких к периодическим орбит в задаче N тел. Предложенный метод дополняетимеющиеся инструменты для поиска и исследования периодических орбит и близкихк ним. Обнаруженные области начальных условий для близких к периодическим орбит представляют самостоятельную ценность для небесной механики и динамическойастрономии. Предложенная в работе классификация периодических орбит позволяет проследить изменение топологии и геометрии орбит в зависимости от начальныхусловий и параметров задачи.Результаты, выносимые на защиту1.

Предложен метод локализации начальных условий для близких к периодическим орбит.52. Локализовано несколько десятков областей начальных условий, соответствующих орбитам, близким к периодическим.3. Разработана классификация периодических орбит, основанная на их динамических и геометрических свойствах.4. Показано, что в переходных областях между устойчивыми периодическими орбитами динамическая эволюция тройных систем завершается распадом системы, причем для долгоживущих систем распределение времени распада подчиняется степенному закону.Достоверность результатовВ качестве критерия близости найденного решения к истинному периодическомупринимается значение безразмерной функции, вычисленное в процессе численногоинтегрирования. По определению значение этой функции для точной периодическойорбиты равно нулю.

Достоверность полученных результатов подтверждается согласием в сопоставимых случаях найденных нами решений с решениями, обнаруженными другими авторами, в том числе с использованием других методов и других способов задания начальных условий. Используемая в исследовании программа TRIPLEпоказала свою эффективность в многочисленных работах других авторов.Апробация работыОсновные результаты работы неоднократно докладывались на семинаре Кафедрынебесной механики СПбГУ, общегородском семинаре по звездной динамике и галактической астрономии, семинаре отдела небесной механики и динамической астрономии ГАО РАН.Результаты работы докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях:1.