Диссертация (Числа Бетти и трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многообразий)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образования«Национальный исследовательский университет«Высшая школа экономики»На правах рукописиУДК 512.742.3, 514.154.4, 514.164.4, 515.142.211, 515.165.4Курносов Никон МихайловичЧисла Бетти и трианалитические подмногообразиягиперкэлеровых многообразий01.01.04 — геометрия и топологияДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:Ph.D.,проф.

М. С. ВербицкийМосква — 2016Оглавление. . . . . . . . .Постановка задачи . . . . . .Краткое содержание работыОбозначения и сокращения ...................................... 3. 3. 8. 13. . . . . . . .Гиперкэлеровые многообразия и их примеры . .Абсолютно трианалитические подмногообразияИнварианты Розанского-Виттена . . . . . .

. .Когомологии гиперкэлеровых многообразий . ..............................................Глава 1.1.1.1.2.1.3.Глава 2.2.1.2.2.2.3.2.4.Глава 3.Введение....................Предварительные сведения................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Четырёхмерные гиперкэлеровы многообразия . . . .

. .Инварианты Розанского-Виттена для некоторых графовОсновное неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Применения Основного неравества . . . . . . . . . . . .Ограничения на 2 в размерностях восемь и десять . . .Глава 4.1414232628Ограничения на числа Бетти гиперкэлеровых много­образий3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.............................343438424651Абсолютно трианалитические подмногообразия гипер­. .

. . . . .4.1. Трианалитические подмногообразияперкэлеровых многообразий . . . .4.2. Калибрации . . . . . . . . . . . . .4.3. Основная теорема . . . . . . . . . .Публикации по теме диссертации . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . .кэлеровых многообразий2.в...... .

. . . . . . . . . .известных примерах. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .ги­. .. .. .. .. .. 58.....5863667475Глава 1Введение1.1. Постановка задачиДанная работа посвящена изучению когомологий и абсолютно триана­литических подмногообразий гиперкэлеровых многообразий. Этим вопросыизучаются в большом числе работ, например, [KV], [V1], [V2], [SV], [Gu], [Gu2],[HS] и многих других. Гиперкэлерово многообразие – это риманово многооб­разие с тройкой согласованых с метрикой комплексных структур, удовлетво­ряющих кватернионным соотношениям, кэлеровы формы которых замкну­ты.

Такие многообразия являются также голоморфно симплектическими, аобратное верно при условии кэлеровости [Y]. Согласно теореме Богомоло­ва [B] любое компактное гиперкэлерово многообразие накрывается произве­дением торов и гиперкэлеровых многообразий с максимальной голономией(простых). Общая теория гиперкэлеровых многообразий была разработанаБогомоловым, Бовилем и Фуджики (см. [B, Bea2, F]). Затем значительныерезультаты получили Хойбрехтс [H1] и Вербицкий [V7], доказавший, в част­ности, глобальную Теорему Торелли. Обзор известных результатов о гиперк­элеровых многообразиях можно найти в главе 2.Понятие трианалитических и абсолютно трианалитических подмного­бразий было введено Вербицким ([V1]).Определение 1.1.1. Пусть (, , , ) является компактным голоморфно сим­плектическим кэлеровым многообразием и ⊂ (, ) комплексное подмного­образие, которое является комплексно-аналитическим по отношению к любойгиперкэлеровой структуре, совместимой с .

Тогда называется абсолютнотрианалитическим подмногообразием.Ранее Вербицкий, Каледин [KV], [KV-book] доказали отсутствие абсо­лютно трианалитических подмногообразий в схемах Гильберта точек на3, а также заметили, что схема Гильберта является абсолютно трианалити­ческим подмногообразием в обобщённом многообразии Куммера. Считается,что других нетривиальных примеров абсолютно трианалитических подмно­3гообразий для известных примеров простых гиперкэлеровых многообразийнет. Недавно Вербицкий и Солдатенков доказали отсутствие известных при­меров гиперкэлеровых многообразий как абсолютно трианалитических под­многообразий в многообразиях О’Грэди [SV].

Тем не менее, вопрос наличияабсолютно трианалитических торов в обобщённом куммеровом многообразиидолгое время был открытым.В данный момент известно всего четыре примера простых гиперкэле­ровых многообразий с точностью до деформационной эквивалентности. Аименно, схемы Гильберта точек над 3, обобщённые многообразия Куммера[Bea2] и два примера О’Грэди [O1, O2].

В своё время Каледин, Лен, Зор­гер в работе [KLS] показали, что для всех векторов Мукаи соответствующеепространство модулей полустабильных пучков ранга 2 на 3 или абелевойповерхности либо не имеет симплектического разрешения особенностей, либо,если оно есть, то полученное гиперкэлерово многообразие деформационно эк­вивалентно схеме Гильберта над 3 или спорадическим примерам О’Грэди.Бовиль сформулировал гипотезу [Bea1]:Гипотеза 1.1.2.

Существует только конечное число простых компактных ги­перкэлеровых многообразий в каждой размерности с точностью до деформа­ционной эквивалентности.Важным шагом в направлении доказательства этой гипотезы служатрезультаты, связанные с ограниченностью возможных чисел Бетти гиперк­элеровых многообразий.Гуан в своей работе [Gu] доказал, что существует конечное число воз­можностей для наборов чисел Бетти для гиперкэлеровых многообразий вкомплексной размерности четыре, в частности, второе число Бетти 2 не пре­вышает 23.

Его результаты не обобщаются напрямую в большие размерности.Однако, они тесно связаны с инвариантами Розанского-Виттена. Эти инвари­анты изучались в работах [S], [HS] и определяются они как свёртка по всемрёбрам тривалентного графа с 2 вершинами голоморфно-симплектическойформы и тензора, состоящего из прозведения 2 -копий тензора кривизны.В работах Сейвона и Хитчина были подсчитаны инварианты для наиболеепростых графов.Сейвону [S-b2] удалось получить точную оценку на второе число Бетти4гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть, используя результатыВербицкого [V9] и Луенги-Лунца [LL]. В настоящей диссертации полученыобобщения результатов Гуана и оценки на второе число Бетти в размерностяхвосемь и десять.Цель работыЦель работы состоит в доказательстве отсутствия абсолютно трианали­тических торов в обобщённом многобразии Куммера.

Также целью являет­ся обобщение результатов Гуана для гиперкэлеровых многообразий большейразмерности и получении ограничений на числа Бетти гиперкэлеровых мно­гоообразий.Методы исследованияВ диссертации использованы методы комплексной алгебраической гео­метрии – разрешение особенностей, теория калибраций. Применяется теоремаКаледина о разрешении симплектических особенностей для доказательстваизогенности трианалитического тора компоненте торов в произведении.Применяются инварианты Розанского-Виттена, для получения обобще­ния результатов Гуана используются формула Саламона и теоремы Вербиц­кого и Луенги-Лунца, а также результаты Сейвона о строении кольца кого­мологий гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть.Основные результаты диссертацииДиссертация содержит следующие новые определения, результаты и ме­тоды:∙ Получено неравенство на числа Бетти гиперкэлеровых многообразий вразмерности шесть.∙ Получены следствия основного неравенства, включающие конечностьчисла гиперкэлеровых многообразий в размерности шесть с 2 = 23.∙ Доказано отсутствие абсолютно трианалитических торов в обобщённоммногообразии Куммера.5Научная новизнаУтверждения 3.2.5, 3.3.3, 3.4.1, 3.4.4, 3.5.1, 4.3.1, 4.3.4, 4.3.5, 4.3.8 явля­ются новыми.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер.

Результаты диссертации мо­гут быть полезны математикам, занимающимся комплексной алгебраическойгеометрией, гиперкэлеровой геометрией, изучающих многообразия Калаби­Яу.Апробация работыРезультаты диссертации докладывались на следующих научно-исследо­вательских семинарах:– семинар Геометрические структуры на многообразиях;– семинар Постникова;– семинар Лаборатории Понселе, НМУ и сектора 4.1 ИППИ РАН;– Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer varieties”,MAGIC seminar, Imperial College, 28.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, Algebra/AlgebraicGeometry seminar, University of Sheffield, 29.09.2015.;– Доклад “Betti numbers of hyperkahler manifolds”, ULB Geometry seminar,ULB, Brussels, 10.11.2015.;– Доклад “On the boundness of the second Betti number of hyperkählermanifolds”, Algebraic Geometry Seminar, NYU, 02.02.2016.;Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:1.

Доклад “Connections on nilmanifolds”, Geometric structures on manifoldsand their applications, Marburg, Germany, 1-7.07.2012.2. Доклад “On the dynamics of codimension one holomorphic foliations withample normal bundle”, Workshop on complex geometry and foliations, dedicatedto the memory of Marco Brunella, September 17-21, 2012.3. Доклад “Связности на нильмногообразиях”, Летняя школа-конферен­ция по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа, Яро­славль, 20-25.05.2013.64.

Доклад “The second Betti number of hyperkähler manifolds”, The School“Carnival Differential Geometry” (Torino), 24-27.02.2014.5. Доклад “The inequalities involving the Betti numbers of hyperkahlermanifolds”, Геометрическая теория управления и анализ на метрическихструктурах, 3-8.08.2014.6. Постер “Inequalities with Betti and Hodge numbers for hyperkaehlermanifolds”, British Algebraic Geometry meeting (BrAG) (Warwick),19-21.09.2014.7. Постер “Trianalytic subvarities in hyperkahler manifolds”,Hyperbolicity-2015, Ilhabela, Brazil, 5-15.01.2015.8. Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety”,Conference “Hyperkahler Saturday”, Moscow, Russia, 23.05.2015.9. Доклад “Absolutely trianalytic tori in the generalized Kummer variety”,V школа-конференция по алгебраической геометрии и комплексному анализудля молодых математиков России, 17-22.08.2015.10.