Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 19

9: Качественное поведение фондовооруженостей второго (при i = 2) и нулевого(при i = 0) секторов на заданном интервале времени.1072. Предположим теперь, что функция Q(t) удовлетворяет условию: Q(t) < 0,0 ≤ t ≤ T . Как было установлено, функция оптимального управления в этом случаеимеет вид u1∗ (t) = 0, 0 ≤ t ≤ T , переключений управления не происходит.При данном управлении функция k1 (t) является экспоненциально убывающей.

Единственное стационарное решение уравнения относительно k1 (t) являетсяфункцией, тождественно равной нулю.(0)t ∈ [0, T ]k1 (t) = k1 = 0,Подставляя данное стационарное значение в уравнения относительно k0 (t) и k2 (t)получаем, что единственные стационарные решения этих уравнений также являютсяфункциями, тождественно равными нулю(0)k0 (t) = k0 = 0,(0)k2 (t) = k2 = 0,t ∈ [0, T ].Таким образом, при больших значениях временного параметра t все функции фондовооруженности сходятся к своим стационарным значениям, равным нулю. Однако,если функция k1 (t) просто экспоненциально убывает, то поведение функций k0 (t)и k2 (t) при конечных значениях t является более сложными.

Проанализируем этоповедение.Рассмотрим поведение решений уравнения относительно k0 (t).(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 k1α1 (t).(3.10.4)Если правая часть уравнения (3.10.4) при некоторых значениях временного параметра t принимает положительные значения, то k̇0 (t) > 0 и функция k0 (t)возрастает. Если же правая часть этого уравнения при соответствующих значенияхвременного параметра t принимает отрицательные значения, то k̇0 (t) < 0, и функцияk0 (t) убывает. Как уже отмечалось выше, при заданном управлении функция k1 (t)известна явно, как решение дифференциального уравнения с заданным граничнымусловием:k1 (t) = k1,0 e−λ1 t .Подставим найденную функцию k1 (t) в уравнение (3.10.4) и получим(1)α1 −α1 λ1 tk̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 k1,0e.(3.10.5)Введем вспомогательную функцию(1)l ρA1 α1 −λ1 α1 tκ0 (t) = 0k1,0 eλ0108(3.10.6)Из приведенных выше рассуждений следует, что если для некоторых значений t выполняется неравенство k0 (t) < κ0 (t), то функция k0 (t) возрастает, а если присоответствующих значениях t выполняется неравенство k0 (t) > κ0 (t), то функцияk0 (t) убывает.

Учитывая, что функция κ0 (t) является монотонно убывающей, можносделать следующие выводы относительно поведения функции k0 (t).(1)Если k0,0 < κ0 (0) =l0 ρA1 α1k1,0 ,λ0то на интервале [0, t0 ] функция k0 (t) удовлетво-ряет неравенству k0 (t) < κ0 (t) и является возрастающей, а при t > t0 удовлетворяетнеравенству k0 (t) > κ0 (0)(t) и является монотонно убывающей.(1)Если k0,0 > κ0 (0) =l0 ρA1 α1k1,0 ,λ0то при всех значения t ≥ 0 функция k0 (t)удовлетворяет неравенству k0 (t) > κ0 (t) и является монотонно убывающей.Иллюстрация данных вариантов поведения функции k0 (t) изображены на рисунках 10 и 11.

При этом через t0 обозначено решение уравнения (3.7.18).k0 (t) = κ0 (t)При вышеуказанном условии k0,0 < κ0 данное уравнение имеет единственное решение, которое может быть найдено численным методом с учетом того, что представление для функций k0 (t) является известным (3.7.20).Рис. 10: Поведение функций k0 (t).Аналогичным образом можно исследовать поведение решения дифференциального уравнения (3.7.21) относительно k2 .(1)k̇2 = −λ2 k2 + l2 (1 − ρ)A1 k1α1109Рис. 11: Поведение функций k0 (t).Функция k2 (t) будет возрастающей, если ее производная положительна, то есть(1)−λ2 k2 + l2 (1 − ρ)A1 k1α1 > 0(3.10.7)(1)l2 (1 − ρ)A1 k1α1 > λ2 k2Воспользуемся вновь полученным представлением для функции k1 (t) (3.7.17)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t .Подставив это представление в неравенство в (3.10.7), получаем(1)α1 −λ1 α1 tl2 (1 − ρ)A1 k1,0e> λ2 k2 (t)Отсюда можно получить условия, связанные с поведением функции k2 (t).

Обозначимчерез κ2 (t) вспомогательную функцию(1)α1l2 (1 − ρ)A1 k1,0κ2 (t) =e−λ1 α1 t ,λ2(3.10.8)Тогда справедливы следующие утверждения. Если(1)α1l2 (1 − ρ)A1 k1,0κ2 (0) =< k2,0 ,λ2то при всех значениях t ≥ 0 выполняется неравенство k2 (t) > κ2 (t), и функция k2 (t)является убывающей. Если же имеет место соотношение(1)α1l2 (1 − ρ)A1 k1,0κ2 (0) => k2,0 ,λ2110то при t ∈ [0, t2 ] выполняется неравенство k2 (t) < κ2 (t) и функция k2 (t) являетсявозрастающей, а при t > t2 выполняется неравенство k2 (t) > κ2 (t), и функция k2 (t)является убывающей.

При этом величина t2 представляет собой корень уравненияk2 (t) = κ2 (t),который может быть найден численным методом, используя явное представлениедля функции k2 (t) (3.7.23).Теперь рассмотрим поведение функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t) при одномпереключении управления. Для этого воспользуемся уже полученными выше качественными результатами о поведении решений уравнений дифференциальной связи.Определим понятия переключений (+-) и (-+). Переключением управления сминимального на максимальное значение назовем переключением вида (-+). Функция управления при этом имеет вид0, при 0 ≤ t ≤ τ,u1∗ (t) =1, при τ ≤ t ≤ T.(3.10.9)Переключение управления с максимального на минимальное значение назовем (+-). Соответствующая функция управления имеет вид1, при 0 ≤ t ≤ τ.u1∗ (t) =0, при τ ≤ t ≤ T,(3.10.10)Проведем качественный анализ поведения функции k1 (t). При переключениивида (-+) на первом интервале [0, τ ] функция k1 (t) является экспоненциально убывающей, а на втором интервале [τ, T ] траектория уравнения относительно k1 (t) будетвести себя устойчиво, приближаясь к некоторому стационарному значению, которое(0)было обозначено через k1 .

При этом общий характер траектории будет зависетьот соотношения между начальным значением данной величины k1,0 , стационарным(0)значением k1 и значением в момент переключения τ . Имеют место следующие варианты.(0)1. Если k1,0 < k1 то функция k1 (t) экспоненциально убывает на интервале отt = 0 до момента переключения τ .

Далее на интервале [τ, T ] функция k1 (t) монотонно(0)возрастает, приближаясь к стационарному значению k1 (см. рисунок 12).(0)2. Если k1,0 > k1(0)и значение в момент переключения k1 (τ ) > k1 , то напервом интервале [0, τ ] функция k1 (t) экспоненциально убывает, а на втором интер111(0)Рис. 12: Переключение (-+). Поведение функции k1 (t), если k1,0 < k1 .вале [τ, T ] продолжает убывать, но медленее и приближается сверху к стационарному(0)значению k1 (см. рисунок 13).(0)Рис. 13: Переключение (-+).Поведение функции k1 (t), если k1,0 > k1момент переключения k1 (τ ) >и значение в(0)k1 .(0)(0)3.

Если k1,0 > k1 и значение в момент переключения k1 (τ ) < k1 , то на первом интервале [0, τ ] функция k1 (t) экспоненциально убывает, а на втором интервале(0)[τ, T ] возрастает и приближается к стационарному значению k1 снизу (см. рисунок14).При данном режиме переключения управления (-+) поведение функций k0 (t)и k2 (t) однотипно. На первом интервале [0, τ ] они могут определенное время возрас-112(0)Рис. 14: Переключение (-+).Поведение функции k1 (t), если k1,0 > k1и значение в(0)момент переключения k1 (τ ) < k1 .тать, а затем убывают до момента переключения τ . На втором интервале [τ, T ] этифункции заведомо экспоненциально убывают. При определенных соотношениях параметров возможно, что эти функции монотонно возрастают или монотонно убываютна всем интервале времени [0, τ ].Рассмотрим перечисленные варианты последовательно.

Воспользуемся приэтом результатами качественного анализа поведения функций k0 (t) и k2 (t) при значении управления u1 (t) = 0.Предположим, что выполняются условия(1)k0,0 <l0 ρA1 α1k1,0λ0;t01 < τ,(3.10.11)где t01 - корень уравненияk0 (t) = κ0 (t),(3.10.12)а функция κ0 (t) определяется соотношением (3.10.6). В этом случае на интервале[0, τ ], то есть до переключения, функция k0 (t) ведет себя как решение дифференциального уравнения (3.10.5) при соответствующих соотношениях параметров.

Наинтервале времени [0, t01 ] функция k0 (t) является возрастающей, на интервале [t01 , τ ]убывающей. После переключения, на интервале времени [τ, T ] функция k0 (t) экспоненциально убывает как решение дифференциального уравнения вида (3.10.5) ссоответствующим граничным условием в точке t = τ .113Если выполняются условия(1)k0,0 <l0 ρA1 α1k1,0λ0;t01 > τ,(3.10.13)где t01 - корень уравнения (3.10.12), то на всем интервале [0, τ ] до первого переключения управления функция k0 (t) сохраняет возрастающий характер. После переключения управления, на интервале времени [τ, T ], функция k0 (t) имеет вид, представленный на рисунке 15.Наконец, если выполняется условие(1)k0,0l ρA1 α1> 0k1,0λ0,(3.10.14)то на всем интервале [0, τ ] до первого переключения функция k0 (t) монотонно убывает.

Такое поведение функции k0 (t) определяется тем, что она является решением дифференциального уравнения вида (3.10.5) при соответствующих условиях напараметры. После переключения управления на интервале времени [τ, T ], функцияk0 (t) продолжает убывать, но это убывание имеет уже экспоненциальный характер.В данном варианте поведение функции k0 (t) качественно представлено на рисунке15.Рис. 15: Переключение (-+).Поведение функции k0 (t) при выполнении условий(3.10.13).Поведение функции k2 (t) описывается аналогичным образом.Предположим, что выполняются условия(1)k2,0 <l2 (1 − ρ)A1 α1k1,0 ;λ2t02 < τ,(3.10.15)где t02 - корень уравненияk2 (t) = κ2 (t),114(3.10.16)Рис. 16: Переключение (-+). Поведение функции k2 (t) при выполнении условий(3.10.14).а функция κ2 (t) определяется соотношением (3.10.8).В то же время, если выполняются условия(2)k2,0 <l0 (1 − ρ)A1 α1k1,0 ;λ2t02 > τ,(3.10.17)где t02 - корень уравнения (3.10.15), то поведение функции k2 (t) имеет качественныйхарактер, приведенный на рисунке (3.10.19).Рис.