Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 17

Предположимчто заданы значения функций состояний в некоторой точке переключения t = τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m, m + 1, τ0 = 0. Именно,(2j−2)ki(0)(τ2j−2 ) = ki,τ2j−2 ,где ki (τ0 ) = ki,τ0 = ki,0 ,j = 1, 2, ..., m, m + 1,i = 0, 1, 2,(3.8.10)i = 0, 1, 2.Тогда решение системы уравнений дифференциальной связи определяется последующим формулам, аналогичным (3.8.6).(2j−2)(t) = k0,τ2j−2 e−λ0 (t−τ2j−2 ) ,k0(2j−2)1−αA1k1(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−2 ) k1,τ2j−2− λ11 +k (2j−2) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−2 ) , τ≤t≤τ22,τ2j−22j−2A1λ11 1−α1,(3.8.11)2j−1Полученные формулы (3.8.11) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−2 , τ2j−1 ], j = 1, 2, ..., m, m + 1,на которых функция управления принимает значения принимает значение u1∗ (t) = 1,t ∈ [τ2j−2 , τ2j−1 ), j = 1, 2, ..., m, m + 1.94Предположим , далее, что заданы значения функций состояний в точке переключения τ2j−1 , определяемые аналогично (3.8.7), (3.8.8)(2j−1)ki(τ2j−1 ) = ki,τ2j−1 ,(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ),(3.8.12)i = 0, 1, 2.В этом случае решения системы уравнений дифференциальной связи определяетсяпо формулам, аналогичным (3.8.9).α1(1)l0 ρA1 k1,τeλ1 α1 τ2j−1(2j−1)2j−1−λ0 tλ0 τ2j−1(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τ2j−1k0(t) = ek0,τ2j−1 ee−e,+λ0 −λ1 α1(2j−1)k1(t) = k1,τ2j−1 e−λ1 (t−τ2j−1 ) ,α(1)l2 (1−ρ)A1 k 1λ α τ1,τ2j−1 e 1 1 2j−1(2j−1)−λtλτ(λ−λα)t(λ−λα)τk2(t) = e 2 k2,τ2j−1 e 2 2j−1 +e 2 1 1 − e 2 1 1 2j−1λ2 −λ1 α1(3.8.13)τ2j−1 ≤ t ≤ τ2jПолученные формулы (13) определяют вид функций состояний исследуемойэкономической системы на интервалах времени [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m, на которыхфункция управления принимает значение u1∗ = 0, t ∈ [τ2j−1 , τ2j ), j = 1, 2, ..., m.Таким образом, формулы (3.8.11) и (3.8.13) полностью определяют аналитические представления для функций состояний в случае 2 раздела 3.6, когда функцияуправления задается равенством (3.6.2).Теорема 16 доказана.Теорема 17.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиям 3 раздела 3.6, а соответствующая функция управления u1∗ (t) задается формулой (3.6.3). Тогда решение системыуравнений дифференциальной связи определяется формуламиα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl0 ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λα(t−τ)0112j−22j−2k0(t) = ek0,τ2j−2 − λ0 −λ1 α1+e,λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 222j−2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1где значения ki,τ2j−2 , i = 0, 1, 2 определяются на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ] при t = τ2j−2 ,95j = 1, 2, 3, ..., m, причем ki,τ0 = ki,0 , i = 0, 1, 2 при j = 1;(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1A1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 )k1,τ2j−1 − λ1 + λ1k1(t) = e,k2(2j−1) (t) = k2,τ2j−1 e−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ2j−1 ≤ t ≤ τ2j .где значения ki,τ2j−1 определяются равенствами(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ), i = 0, 1, 2, j = 1, 2, ..., m.Доказательство.

Рассмотрим случай , когда количество переключений нечетно n = 2m − 1 и функция управления задается формулой (3.6.3). С учетом заданныхначальных условий в точке t = 0 решение системы уравнений дифференциальнойсвязи (3.3.14) на начальном интервале времени [0, τ1 ] имеет видα1α(1)(1)l0 ρA1 k1,0l ρA1 k 1(0)−λtk0 (t) = e 0 k0,0 − λ0 −λ1 α1 + e−λ1 α1 t 0λ0 −λ1 α1,0,1(0)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,α1α(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0l (1−ρ)A1 k 1(0)−λ2 tk2,0 − λ2 −λ1 α1+ e−λ1 α1 t 2 λ2 −λ1 α1 1,0 .k2 (t) = e(3.8.14)Зафиксируем значения функций состояний в точке первого переключения t = τ1 .Имеем(0)k0 (τ1 ) = k0,τ1 ,(0)k1 (τ1 ) = k1,τ1 ,(0)k2 (τ1 ) = k2,τ1(3.8.15)Полученные значения k0,τ1 , k1,τ1 , k2,τ1 будут задавать граничные условия для уравнений дифференциальной связи на интервале времени [τ1 , τ2 ]. Решение уравненийдифференциальной связи на этом интервале имеет вид(1)k0 (t) = k0,τ1 e−λ0 (t−τ1 ) ,(1)1−α1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ1 )k1 (t) = ek1,τ1 − λ1 +k (1) (t) = k e−λ2 (t−τ1 ) ,τ <t≤τ .22,τ11A1λ11 1−α1,(3.8.16)2Теперь получим явные представления для функции состояний на произвольных интервалах между переключениями [τ2j−2 , τ2j−1 ], [τ2j−1 , τ2j ].

Предположим, чтозаданы значения функций состояний в некоторой точке переключения t = τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m, τ0 = 0.(2j−2)ki(τ2j−2 ) = ki,τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m,96i = 0, 1, 2,(3.8.17)(0)где ki (τ0 ) = ki,τ0 = ki,0 ,i = 0, 1, 2.Управление на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ) определяется из формулы (3.6.3). Сучетом заданных граничных условий (3.8.17) решение системы уравнений дифференциальной связи на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ] имеет видα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 002j−2k−k(t)=e+e,0,τ2j−20λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ2 (t−τ2j−2 )−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k 2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1(3.8.18)τ2j−2 ≤ t ≤ τ2j−1 .Полученные формулы (3.8.18) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−2 , τ2j−1 ], j = 1, 2, ..., m, на которыхфункция управления принимает значение u1∗ (t) = 0, t ∈ [τ2j−2 , τ2j−1 ), j = 1, 2, ..., m.Предположим , далее, что заданы значения функций состояний в точке переключения τ2j−1 , определяемые аналогично (3.8.7), (3.8.8), а именно:(2j−1)ki(τ2j−1 ) = ki,τ2j−1 ,(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ),i = 0, 1, 2;(3.8.19)i = 0, 1, 2.Управление на интервале [τ2j−1 , τ2j ) определяется из формулы (3.6.3).

С учетом граничных условий (3.8.19) решение системы уравнений дифференциальной связи на интервале [τ2j−1 , τ2j ] имеет вид(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1k1(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 ) k1,τ− Aλ11 + Aλ11,2j−1k2(2j−1) (t) = k2,τ2j−1 e−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ2j−1 ≤ t ≤ τ2j .(3.8.20)Полученные формулы (3.8.20) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m на которых функция управления u1∗ (t) = 1, t ∈ [τ2j−1 , τ2j ), j = 1, 2, ..., m.Таким образом, формулы (3.8.18) и (3.8.20) полностью определяют аналитические представления для функций состояний в случае 3 раздела 3.6, когда функцияуправления задается равенством (3.6.3).97Теорема 16 доказана.Теорема 17.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиям 4 раздела 3.6, а соответствующая функция управления u1∗ (t) задается формулой (3.6.4). Тогда решение системыуравнений дифференциальной связи определяется формуламиα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl0 ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λα(t−τ)0112j−22j−2k 0(t) = ek0,τ2j−2 − λ0 −λ1 α1+e,λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 222j−2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k 2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1τ2j−2 ≤ t ≤ τ2j−1 .где значения ki,τ2j−2 , i = 0, 1, 2 определяются на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ] при t = τ2j−2 ,j = 2, 3, ..., m + 1, причем ki,τ0 = ki,0 , i = 0, 1, 2 при j = 1;(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1k1(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 ) k1,τ− Aλ11 + Aλ11,2j−1k2(2j−1) (t) = k2,τ2j−1 e−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ2j−1 ≤ t ≤ τ2j .где значения ki,τ2j−1 определяются равенствами(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ), i = 0, 1, 2, j = 1, 2, ..., m.Доказательство.

Рассмотрим последний из возможных вариантов для конечного числа переключений n. В этом случае количество переключений четно n =2m и функция управления задается формулой (3.6.4). На начальном интервале функция управления принимает значение u1∗ (t) = 0, t ∈ [0, τ1 ), как и в случае 3. С учетомзаданных начальных условий в точке t = 0 решение системы уравнений дифференциальной связи (3.3.14) на начальном интервале времени [0, τ1 ] имеет вид, аналогичный(3.8.14).Как и в предыдущих случаях, получим представления для функций состояний на произвольных интервалах между переключениями [τ2j−2 , τ2j−1 ], [τ2j−1 , τ2j ].Предположим что заданы значения функций состояний в некоторой точке переключения t = τ2j−2 , j = 1, 2, ..., m + 1, τ0 = 0.

Аналогично (3.8.10), (3.8.17)(2j−2)ki(τ2j−2 ) = ki,τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m + 198i = 0, 1, 2;(3.8.21)(0)ki (τ0 ) = ki,τ0 = ki,0 ,i = 0, 1, 2.Тогда решение системы уравнений дифференциальной связи определяется по следующим формулам, аналогичным (3.8.18).α1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 0−λ(t−τ)02j−2+e,k(t)=ek−0,τ2j−20λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ2 (t−τ2j−2 )−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k 2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1(3.8.22)τ2j−2 ≤ t ≤ τ2j−1 .Полученные формулы (3.8.22) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−2 , τ2j−1 ], j = 1, 2, ..., m, m + 1, накоторых функция управления принимает значение u1∗ (t) = 0, t ∈ [τ2j−2 , τ2j−1 ), j =1, 2, ..., m, m + 1.Предположим , далее, что заданы значения функций состояний в точке переключения τ2j−1 , определяемые аналогично (3.8.7), (3.8.8)(2j−1)ki(τ2j−1 ) = ki,τ2j−1 ,(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ),i = 0, 1, 2.(3.8.23)i = 0, 1, 2.(3.8.24)При заданных граничных условиях (3.8.23) решения система уравнений дифференциальной связи определяется по формулам, аналогичным (3.8.20).(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1A1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 )k1(t) = ek1,τ2j−1 − λ1 + λ1,k (2j−1) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ≤t≤τ .22,τ2j−12j−1(3.8.25)2jФормулы (3.8.25) определяют вид функций состояний исследуемой системына интервалах времени [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m, на которых функция управленияпринимает значение u1∗ (t) = 1, t ∈ [τ2j−1 , τ2j ), j = 1, 2, ..., m.Теорема 17 доказана.Таким образом, в данном разделе получены явные представления для функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t) исследуемой экономической системы для всех вариантов поведения функции управления u1∗ (t), имеющей произвольное конечное числоточек переключения.993.9Аналитические представления для сопряженных переменныхЗаметим, что полученные в разделах 3.5 и 3.6 решения системы сопряженных уравнений зависят от параметров состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t).