Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 17

PDF-файл Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 17 Физико-математические науки (41891): Диссертация - Аспирантура и докторантураДиссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной эко2019-05-20СтудИзба

Описание файла

Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)". PDF-файл из архива "Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ ВШЭ. Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ ВШЭ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 17 страницы из PDF

Предположимчто заданы значения функций состояний в некоторой точке переключения t = τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m, m + 1, τ0 = 0. Именно,(2j−2)ki(0)(τ2j−2 ) = ki,τ2j−2 ,где ki (τ0 ) = ki,τ0 = ki,0 ,j = 1, 2, ..., m, m + 1,i = 0, 1, 2,(3.8.10)i = 0, 1, 2.Тогда решение системы уравнений дифференциальной связи определяется последующим формулам, аналогичным (3.8.6).(2j−2)(t) = k0,τ2j−2 e−λ0 (t−τ2j−2 ) ,k0(2j−2)1−αA1k1(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−2 ) k1,τ2j−2− λ11 +k (2j−2) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−2 ) , τ≤t≤τ22,τ2j−22j−2A1λ11 1−α1,(3.8.11)2j−1Полученные формулы (3.8.11) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−2 , τ2j−1 ], j = 1, 2, ..., m, m + 1,на которых функция управления принимает значения принимает значение u1∗ (t) = 1,t ∈ [τ2j−2 , τ2j−1 ), j = 1, 2, ..., m, m + 1.94Предположим , далее, что заданы значения функций состояний в точке переключения τ2j−1 , определяемые аналогично (3.8.7), (3.8.8)(2j−1)ki(τ2j−1 ) = ki,τ2j−1 ,(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ),(3.8.12)i = 0, 1, 2.В этом случае решения системы уравнений дифференциальной связи определяетсяпо формулам, аналогичным (3.8.9).α1(1)l0 ρA1 k1,τeλ1 α1 τ2j−1(2j−1)2j−1−λ0 tλ0 τ2j−1(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τ2j−1k0(t) = ek0,τ2j−1 ee−e,+λ0 −λ1 α1(2j−1)k1(t) = k1,τ2j−1 e−λ1 (t−τ2j−1 ) ,α(1)l2 (1−ρ)A1 k 1λ α τ1,τ2j−1 e 1 1 2j−1(2j−1)−λtλτ(λ−λα)t(λ−λα)τk2(t) = e 2 k2,τ2j−1 e 2 2j−1 +e 2 1 1 − e 2 1 1 2j−1λ2 −λ1 α1(3.8.13)τ2j−1 ≤ t ≤ τ2jПолученные формулы (13) определяют вид функций состояний исследуемойэкономической системы на интервалах времени [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m, на которыхфункция управления принимает значение u1∗ = 0, t ∈ [τ2j−1 , τ2j ), j = 1, 2, ..., m.Таким образом, формулы (3.8.11) и (3.8.13) полностью определяют аналитические представления для функций состояний в случае 2 раздела 3.6, когда функцияуправления задается равенством (3.6.2).Теорема 16 доказана.Теорема 17.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиям 3 раздела 3.6, а соответствующая функция управления u1∗ (t) задается формулой (3.6.3). Тогда решение системыуравнений дифференциальной связи определяется формуламиα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl0 ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λα(t−τ)0112j−22j−2k0(t) = ek0,τ2j−2 − λ0 −λ1 α1+e,λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 222j−2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1где значения ki,τ2j−2 , i = 0, 1, 2 определяются на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ] при t = τ2j−2 ,95j = 1, 2, 3, ..., m, причем ki,τ0 = ki,0 , i = 0, 1, 2 при j = 1;(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1A1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 )k1,τ2j−1 − λ1 + λ1k1(t) = e,k2(2j−1) (t) = k2,τ2j−1 e−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ2j−1 ≤ t ≤ τ2j .где значения ki,τ2j−1 определяются равенствами(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ), i = 0, 1, 2, j = 1, 2, ..., m.Доказательство.

Рассмотрим случай , когда количество переключений нечетно n = 2m − 1 и функция управления задается формулой (3.6.3). С учетом заданныхначальных условий в точке t = 0 решение системы уравнений дифференциальнойсвязи (3.3.14) на начальном интервале времени [0, τ1 ] имеет видα1α(1)(1)l0 ρA1 k1,0l ρA1 k 1(0)−λtk0 (t) = e 0 k0,0 − λ0 −λ1 α1 + e−λ1 α1 t 0λ0 −λ1 α1,0,1(0)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,α1α(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0l (1−ρ)A1 k 1(0)−λ2 tk2,0 − λ2 −λ1 α1+ e−λ1 α1 t 2 λ2 −λ1 α1 1,0 .k2 (t) = e(3.8.14)Зафиксируем значения функций состояний в точке первого переключения t = τ1 .Имеем(0)k0 (τ1 ) = k0,τ1 ,(0)k1 (τ1 ) = k1,τ1 ,(0)k2 (τ1 ) = k2,τ1(3.8.15)Полученные значения k0,τ1 , k1,τ1 , k2,τ1 будут задавать граничные условия для уравнений дифференциальной связи на интервале времени [τ1 , τ2 ]. Решение уравненийдифференциальной связи на этом интервале имеет вид(1)k0 (t) = k0,τ1 e−λ0 (t−τ1 ) ,(1)1−α1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ1 )k1 (t) = ek1,τ1 − λ1 +k (1) (t) = k e−λ2 (t−τ1 ) ,τ <t≤τ .22,τ11A1λ11 1−α1,(3.8.16)2Теперь получим явные представления для функции состояний на произвольных интервалах между переключениями [τ2j−2 , τ2j−1 ], [τ2j−1 , τ2j ].

Предположим, чтозаданы значения функций состояний в некоторой точке переключения t = τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m, τ0 = 0.(2j−2)ki(τ2j−2 ) = ki,τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m,96i = 0, 1, 2,(3.8.17)(0)где ki (τ0 ) = ki,τ0 = ki,0 ,i = 0, 1, 2.Управление на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ) определяется из формулы (3.6.3). Сучетом заданных граничных условий (3.8.17) решение системы уравнений дифференциальной связи на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ] имеет видα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 002j−2k−k(t)=e+e,0,τ2j−20λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ2 (t−τ2j−2 )−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k 2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1(3.8.18)τ2j−2 ≤ t ≤ τ2j−1 .Полученные формулы (3.8.18) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−2 , τ2j−1 ], j = 1, 2, ..., m, на которыхфункция управления принимает значение u1∗ (t) = 0, t ∈ [τ2j−2 , τ2j−1 ), j = 1, 2, ..., m.Предположим , далее, что заданы значения функций состояний в точке переключения τ2j−1 , определяемые аналогично (3.8.7), (3.8.8), а именно:(2j−1)ki(τ2j−1 ) = ki,τ2j−1 ,(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ),i = 0, 1, 2;(3.8.19)i = 0, 1, 2.Управление на интервале [τ2j−1 , τ2j ) определяется из формулы (3.6.3).

С учетом граничных условий (3.8.19) решение системы уравнений дифференциальной связи на интервале [τ2j−1 , τ2j ] имеет вид(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1k1(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 ) k1,τ− Aλ11 + Aλ11,2j−1k2(2j−1) (t) = k2,τ2j−1 e−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ2j−1 ≤ t ≤ τ2j .(3.8.20)Полученные формулы (3.8.20) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m на которых функция управления u1∗ (t) = 1, t ∈ [τ2j−1 , τ2j ), j = 1, 2, ..., m.Таким образом, формулы (3.8.18) и (3.8.20) полностью определяют аналитические представления для функций состояний в случае 3 раздела 3.6, когда функцияуправления задается равенством (3.6.3).97Теорема 16 доказана.Теорема 17.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиям 4 раздела 3.6, а соответствующая функция управления u1∗ (t) задается формулой (3.6.4). Тогда решение системыуравнений дифференциальной связи определяется формуламиα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl0 ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λα(t−τ)0112j−22j−2k 0(t) = ek0,τ2j−2 − λ0 −λ1 α1+e,λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ(t−τ)−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 222j−2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k 2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1τ2j−2 ≤ t ≤ τ2j−1 .где значения ki,τ2j−2 , i = 0, 1, 2 определяются на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ] при t = τ2j−2 ,j = 2, 3, ..., m + 1, причем ki,τ0 = ki,0 , i = 0, 1, 2 при j = 1;(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1k1(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 ) k1,τ− Aλ11 + Aλ11,2j−1k2(2j−1) (t) = k2,τ2j−1 e−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ2j−1 ≤ t ≤ τ2j .где значения ki,τ2j−1 определяются равенствами(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ), i = 0, 1, 2, j = 1, 2, ..., m.Доказательство.

Рассмотрим последний из возможных вариантов для конечного числа переключений n. В этом случае количество переключений четно n =2m и функция управления задается формулой (3.6.4). На начальном интервале функция управления принимает значение u1∗ (t) = 0, t ∈ [0, τ1 ), как и в случае 3. С учетомзаданных начальных условий в точке t = 0 решение системы уравнений дифференциальной связи (3.3.14) на начальном интервале времени [0, τ1 ] имеет вид, аналогичный(3.8.14).Как и в предыдущих случаях, получим представления для функций состояний на произвольных интервалах между переключениями [τ2j−2 , τ2j−1 ], [τ2j−1 , τ2j ].Предположим что заданы значения функций состояний в некоторой точке переключения t = τ2j−2 , j = 1, 2, ..., m + 1, τ0 = 0.

Аналогично (3.8.10), (3.8.17)(2j−2)ki(τ2j−2 ) = ki,τ2j−2 ,j = 1, 2, ..., m + 198i = 0, 1, 2;(3.8.21)(0)ki (τ0 ) = ki,τ0 = ki,0 ,i = 0, 1, 2.Тогда решение системы уравнений дифференциальной связи определяется по следующим формулам, аналогичным (3.8.18).α1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,τl ρA1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 0−λ(t−τ)02j−2+e,k(t)=ek−0,τ2j−20λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(2j−2)k1(t) = k1,τ2j−2 e−λ1 (t−τ2j−2 ) ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,τl (1−ρ)A1 k1,τ(2j−2)2j−22j−2−λ2 (t−τ2j−2 )−λ1 α1 (t−τ2j−2 ) 2(t) = ek2,τ2j−2 −+e,k 2λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1(3.8.22)τ2j−2 ≤ t ≤ τ2j−1 .Полученные формулы (3.8.22) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−2 , τ2j−1 ], j = 1, 2, ..., m, m + 1, накоторых функция управления принимает значение u1∗ (t) = 0, t ∈ [τ2j−2 , τ2j−1 ), j =1, 2, ..., m, m + 1.Предположим , далее, что заданы значения функций состояний в точке переключения τ2j−1 , определяемые аналогично (3.8.7), (3.8.8)(2j−1)ki(τ2j−1 ) = ki,τ2j−1 ,(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ),i = 0, 1, 2.(3.8.23)i = 0, 1, 2.(3.8.24)При заданных граничных условиях (3.8.23) решения система уравнений дифференциальной связи определяется по формулам, аналогичным (3.8.20).(2j−1)k0(t) = k0,τ2j−1 e−λ0 (t−τ2j−1 ) ,1 1−α1(2j−1)1−α1A1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−1 )k1(t) = ek1,τ2j−1 − λ1 + λ1,k (2j−1) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−1 ) ,τ≤t≤τ .22,τ2j−12j−1(3.8.25)2jФормулы (3.8.25) определяют вид функций состояний исследуемой системына интервалах времени [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m, на которых функция управленияпринимает значение u1∗ (t) = 1, t ∈ [τ2j−1 , τ2j ), j = 1, 2, ..., m.Теорема 17 доказана.Таким образом, в данном разделе получены явные представления для функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t) исследуемой экономической системы для всех вариантов поведения функции управления u1∗ (t), имеющей произвольное конечное числоточек переключения.993.9Аналитические представления для сопряженных переменныхЗаметим, что полученные в разделах 3.5 и 3.6 решения системы сопряженных уравнений зависят от параметров состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее