Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 15

В данномварианте необходимо учесть зависимость решения от начальной точки t = τ и на(1)чального условия k1 (τ ) = k1,τ . В результате получаем явное представление дляфункции состояния(1)k1 (t) = k1,τ e−λ1 (t−τ ) , t ∈ [τ, T ].(3.7.30)(1)2. Рассмотрим теперь уравнение относительно функции k0 (t)(1)(1)(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 [k1 (t)]α1 .Данное дифференциальное уравнение по форме совпадает с уравнением (3.7.18),решение которого задается формулой (3.7.19). С учетом новых пределов интегриро(0)(1)вания и новых начальных условий k0 (τ ) = k0 (τ ) = k0,τ , где величина k0,τ определяется формулой (3.7.28), решение дифференциального уравнения относительно(0)функции k0 (t) на интервале τ ≤ t ≤ T имеет видZ t(1)(1)(1)−λ0 tλ0 τα1 λ0 zk0 (t) = ek0,τ e +l0 ρA1 [k1 (z)] e dz .(3.7.31)τ(1)Подставим в полученное выражение (3.7.31) формулу для функции k1 (t)(3.7.30) и получим(1)k0 (t)−λ0 t=eZ t(1)α1 −λ1 α1 (z−τ ) λ0 zλ0 τe dz .k0,τ e +l0 ρA1 k1,τ eτВычислим интеграл, в правой части последней формулы.

Имеем(1)k0 (t)=e−λ0 tλ0 τk0,τ e(1)α 1 λ1 τ l0 ρA1 k1,τe(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τ+e−e.λ0 − λ1 α1(3.7.32)Таким образом, мы получили решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции состояния исследуемой экономической системы(1)k0 (t) в явном виде.(1)3. Найдем решение уравнения относительно функции k2 (t).(1)(1)(1)(1)k̇2 (t) = −λ2 k2 (t) + l2 (1 − ρ)A1 [k1 (t)]α1 .Данное неоднородное дифференциальное уравнение уже встречалось в нашем исследовании как уравнение (3.7.21). По аналогии с найденным решением указанногоуравнения (3.7.22), изменив пределы интегрирования и использовав новые гранич(0)(1)ные условия k2 (τ ) = k2 (τ ) = k2,τ , где величина k2,τ определяется формулой (3.7.28),83(1)получаем решение дифференциального уравнения относительно функции k2 (t) наинтервале τ ≤ t ≤ T в виде(1)k2 (t)−λ2 t=eZ t(1)(1)α 1 λ2 z 1λ2 τdz1 .l2 (1 − ρ)A1 [k1 (z1 )] ek2,τ e +(3.7.33)τ(1)Подставим в полученное выражение (3.7.33) формулу для функции k1 (t)(3.7.30) и вычислим соответствующий интеграл.

Получим(1)k2 (t)−λ2 t=e(1)α 1 λ1 τ el2 (1 − ρ)A1 k1,τλ2 τ(λ2 −λ1 α1 )t(λ2 −λ1 α1 )τk2,τ e +.e−eλ0 − λ1 α1(3.7.34)Теперь выпишем явные аналитические представления для функций фондовооруженности k0 (t), k1 (t), k2 (t) на всем интервале времени 0 ≤ t ≤ T при наличииодной точки переключения управления в момент времени τ , 0 < τ < T с максимального на минимальное значение(0)k0 (t) = k0,0 e−λ0 t ,(0)1−α1−λ1 (1−α1 )tk1 (t) = ek1,0−k (0) (t) = k e−λ2 t ,2A1λ1+A1λ11 1−α1,2,00 ≤ t ≤ τ;(1)−λt0k0 (t) = ek0,τ eλ0 τ +(1)k1 (t) = k1,τ e−λ1 (t−τ ) ,(1)−λtk2 (t) = e 2 k2,τ eλ2 τ +(3.7.35)α1 λ τ(1)l0 ρA1 k1,τe 1(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τe−e,λ0 −λ1 α1(1)α1 eλ1 τl2 (1−ρ)A1 k1,τλ0 −λ1 α1(λ2 −λ1 α1 )t(λ2 −λ1 α1 )τe−e.τ ≤ t ≤ T,где величины k0,τ , k1,τ , k2,τ заданы соотношениями (3.7.28).Теорема 13 доказана.Теорема 14.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиюQ(t) < 0,0 ≤ t < τ;Q(t) > 0,84τ < t ≤ T.Тогда решение системы уравнений дифференциальной связи имеет видα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,0(0)−λt−λ1 α1 t l0 ρA1 k1,00k(t)=ek−+e,0,00λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(0)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,αα1(1)(1)(1−ρ)Akl (1−ρ)A1 k 1l1(0)1,02+ e−λ1 α1 t 2 λ2 −λ1 α1 1,0 .k2 (t) = e−λ2 t k2,0 − λ2 −λ1 α10 ≤ t < τ;(1)k0 (t) = k0,τ e−λ0 (t−τ ) , 1A1(1)−λ1 (1−α1 )(t−τ ) 1−α1λ1 (1−α1 )(t−τ ) 1−α1+k(t)=ek[1−e],1,τ1λ1k (1) (t) = k e−λ1 (t−τ ) ,22,ττ < t ≤ T,где величины k0,τ , k1,τ , k2,τ заданы равенствамиα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,0(0)−λτ−λ1 α1 τ l0 ρA1 k1,00k(τ)=ek−+e= k0,τ ,0,00λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(0)k1 (τ ) = k1,0 e−λ1 τ = k1,τ ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0(0)−λτ−λ1 α1 τ l2 (1−ρ)A1 k1,02= k2,τ .k(τ)=ek−+e 22,0λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1Доказательство. Рассмотрим вариант, когда функция Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t))удовлетворяет условию 4Q(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) < 0при 0 ≤ t < τ,Q(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) > 0при τ < t ≤ T.С учетом структуры оптимального управления (3.4.16) функция управленияu1 (t) на интервале 0 ≤ t ≤ T задается формулой (3.5.30)0, 0 ≤ t < τ,u1 (t) =1, τ ≤ t ≤ T.Тогда система дифференциальных уравнений (3.3.14) (дифференциальная связь) на85интервале времени t ∈ [0, τ ] принимает вид(0)(0)(1)(0)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 [k1 (t)]α1 ,(0)(0)(3.7.36)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t),k̇ (0) (t) = −λ k (0) (t) + l(1) (1 − ρ)A [k (0) (t)]α1 .2 21 122Начальные условия к системе (3.7.36) определяются условиями на функцииk0 (t), k1 (t), k2 (t) в момент t = 0, то есть граничными условиями исходной задачи.Данная система совпадает по форме с системой (3.7.15), заданной на всеминтервале времени 0 ≤ t ≤ T .

Таким образом, решение системы (3.7.36) совпадаетс решением указанной системы (3.7.24), однако определяется на интервале временидо переключения 0 ≤ t ≤ τ(0)−λt0k0,0 −k0 (t) = e(0)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,(0)−λtk2 (t) = e 2 k2,0 −(1)α1l0 ρA1 k1,0λ0 −λ1 α1α(1)+ e−λ1 α1 t1l0 ρA1 k1,0,λ0 −λ1 α1(3.7.37)α(1)1l2 (1−ρ)A1 k1,0λ2 −λ1 α1(1)+ e−λ1 α1 tα1l2 (1−ρ)A1 k1,0.λ2 −λ1 α1Учитывая изменение характера управления на интервале после переключения u1 (t) = 1, τ ≤ t ≤ T , получаем систему уравнений относительно траекторий(1)(1)(1)системы k0 (t), k1 (t), k2 (t) в виде(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t),(1)(1)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + A1 [k (1) (t)]α1 1 ,k̇ (1) (t) = −λ k (1) (t).2(3.7.38)2 2Начальные условия к системе (3.7.38) в момент времени t = τ определяются,как и ранее, из условия непрерывности траекторий k0 (t), k1 (t), k2 (t) при всех t, 0 ≤t ≤ T .

Воспользуемся формулами (3.7.37) и введем дополнительные обозначения дляначальных значений функций состояний k01 (t), k11 (t), k21 (t) на интервале времени [0, T ]α1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,0(0)−λτ−λ1 α1 τ l0 ρA1 k1,00k(τ)=ek−+e= k0,τ ,0,00λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(0)(3.7.39)k1 (τ ) = k1,0 e−λ1 τ = k1,τ ,α1α(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0l (1−ρ)A1 k 1(0)−λτ+ e−λ1 α1 τ 2 λ2 −λ1 α1 1,0 = k2,τ .k2 (τ ) = e 2 k2,0 − λ2 −λ1 α186Перейдем к решению системы дифференциальных уравнений (3.7.38) с заданными граничными условиями (3.7.39).1.

Начнем с рассмотрения дифференциального уравнения относительно функции(1)k0 (t)(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t).Решение данного линейного однородного уравнения аналогично по формерешению уравнения (3.7.10). Запишем его, использовав новые граничные условия(0)(1)k0 (τ ) = k0 (τ ) = k0,τ , где величина k0,τ определяется из системы соотношений(3.7.39)(1)k0 (t) = k0,τ e−λ0 (t−τ ) ,(3.7.40)где τ ≤ t ≤ T .Теперь найдем решение двух оставшихся уравнений из системы (3.7.38) наинтервале времени τ ≤ t ≤ T .(1)2.

Рассмотрим уравнение относительно функции k1 (t)(1)(1)(1)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + A1 [k1 (t)]α1 .(3.7.41)(1)с граничным условием k1 (τ ) = k1,τ .Уравнение (3.7.41) по своему типу является уравнением Бернулли. Такоеуравнение уже встречалось ранее в настоящем исследовании при анализе первоговарианта поведения функции Q(p0 , p1 , p2 ) и соответствующей структуре оптимального управления: u1 (t) = 1, t ∈ [0, T ]. В указанном варианте уравнением Бернулли являлось уравнение относительно функции k1 (t) из системы дифференциальныхуравнений (3.7.5).В данном варианте уравнение Бернулли рассматривается на другом интервале времени, а именно [τ, T ], где начальная точка τ может принимать произвольные значения из множества действительных чисел (0, T ).

Таким образом, необходимоучесть зависимость решения от интервала рассмотрения [τ, T ] и заданного начального условия в точке t = τ . В связи с этими важными особенностями рассматриваемойзадачи Коши приведем основные технические детали ее аналитического решения.(1)Выполним известную подстановку g1 (t) = [k1 (t)]1−α1 . После нее управление(3.7.41) преобразуется к виду линейного неоднородного уравнения первого порядкаġ1 (t) + λ1 (1 − α1 )g1 (t) − (1 − α1 )A1 = 0,с граничным условием(1)1−α1g1 (τ ) = [k1 (τ )]1−α1 = k1,τ.87t ∈ [τ, T ]Теперь применим общий результат теории дифференциальных уравнений о представлении решения линейного неоднородного уравнения первого порядка с произвольнымграничным условием [2].

Пусть задано уравнениеẏ + f (x)y = q(x),где y = y(x) - искомая неизвестная функция, f (x), q(x)- заданные функции. Необходимо найти решение этого уравнения с граничным условием y(ξ) = η, то есть интегральную кривую, проходящую через заданную фиксированную точку (x, y) = (ξ, η).Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение задачи Коши аналитически выражается следующей формулой−y=eRzf (θ)dθZxη +ξRxf (θ)dθq(z)eξdz  .ξВ данном случае вспомогательная функция и величины имеют видf (x) = f (t) = λ1 (1 − α1 )q(x) = q(t) = (1 − α1 )A11−α1ξ = τ , η = g1 (τ ) = k1,τВычислим необходимые интегралы:ZtZtλ1 (1 − α1 )dz = λ1 (1 − α1 )(t − τ )f (z)dz =τξZzf (θ)dθ = λ1 (1 − α1 )(z − τ )ξС учетом этих замечаний, решение дифференциального уравнения можетбыть представлено в виде:1−α1g(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ ) k1,τ+Zt(1 − α1 )A1 eλ1 (1−α1 )(z−τ ) dz τНайдем явное представление для интеграла в правой части формулы дляфункции g1 (t).