Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 15

PDF-файл Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 15 Физико-математические науки (41891): Диссертация - Аспирантура и докторантураДиссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной эко2019-05-20СтудИзба

Описание файла

Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)". PDF-файл из архива "Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве НИУ ВШЭ. Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ ВШЭ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 15 страницы из PDF

В данномварианте необходимо учесть зависимость решения от начальной точки t = τ и на(1)чального условия k1 (τ ) = k1,τ . В результате получаем явное представление дляфункции состояния(1)k1 (t) = k1,τ e−λ1 (t−τ ) , t ∈ [τ, T ].(3.7.30)(1)2. Рассмотрим теперь уравнение относительно функции k0 (t)(1)(1)(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 [k1 (t)]α1 .Данное дифференциальное уравнение по форме совпадает с уравнением (3.7.18),решение которого задается формулой (3.7.19). С учетом новых пределов интегриро(0)(1)вания и новых начальных условий k0 (τ ) = k0 (τ ) = k0,τ , где величина k0,τ определяется формулой (3.7.28), решение дифференциального уравнения относительно(0)функции k0 (t) на интервале τ ≤ t ≤ T имеет видZ t(1)(1)(1)−λ0 tλ0 τα1 λ0 zk0 (t) = ek0,τ e +l0 ρA1 [k1 (z)] e dz .(3.7.31)τ(1)Подставим в полученное выражение (3.7.31) формулу для функции k1 (t)(3.7.30) и получим(1)k0 (t)−λ0 t=eZ t(1)α1 −λ1 α1 (z−τ ) λ0 zλ0 τe dz .k0,τ e +l0 ρA1 k1,τ eτВычислим интеграл, в правой части последней формулы.

Имеем(1)k0 (t)=e−λ0 tλ0 τk0,τ e(1)α 1 λ1 τ l0 ρA1 k1,τe(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τ+e−e.λ0 − λ1 α1(3.7.32)Таким образом, мы получили решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции состояния исследуемой экономической системы(1)k0 (t) в явном виде.(1)3. Найдем решение уравнения относительно функции k2 (t).(1)(1)(1)(1)k̇2 (t) = −λ2 k2 (t) + l2 (1 − ρ)A1 [k1 (t)]α1 .Данное неоднородное дифференциальное уравнение уже встречалось в нашем исследовании как уравнение (3.7.21). По аналогии с найденным решением указанногоуравнения (3.7.22), изменив пределы интегрирования и использовав новые гранич(0)(1)ные условия k2 (τ ) = k2 (τ ) = k2,τ , где величина k2,τ определяется формулой (3.7.28),83(1)получаем решение дифференциального уравнения относительно функции k2 (t) наинтервале τ ≤ t ≤ T в виде(1)k2 (t)−λ2 t=eZ t(1)(1)α 1 λ2 z 1λ2 τdz1 .l2 (1 − ρ)A1 [k1 (z1 )] ek2,τ e +(3.7.33)τ(1)Подставим в полученное выражение (3.7.33) формулу для функции k1 (t)(3.7.30) и вычислим соответствующий интеграл.

Получим(1)k2 (t)−λ2 t=e(1)α 1 λ1 τ el2 (1 − ρ)A1 k1,τλ2 τ(λ2 −λ1 α1 )t(λ2 −λ1 α1 )τk2,τ e +.e−eλ0 − λ1 α1(3.7.34)Теперь выпишем явные аналитические представления для функций фондовооруженности k0 (t), k1 (t), k2 (t) на всем интервале времени 0 ≤ t ≤ T при наличииодной точки переключения управления в момент времени τ , 0 < τ < T с максимального на минимальное значение(0)k0 (t) = k0,0 e−λ0 t ,(0)1−α1−λ1 (1−α1 )tk1 (t) = ek1,0−k (0) (t) = k e−λ2 t ,2A1λ1+A1λ11 1−α1,2,00 ≤ t ≤ τ;(1)−λt0k0 (t) = ek0,τ eλ0 τ +(1)k1 (t) = k1,τ e−λ1 (t−τ ) ,(1)−λtk2 (t) = e 2 k2,τ eλ2 τ +(3.7.35)α1 λ τ(1)l0 ρA1 k1,τe 1(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τe−e,λ0 −λ1 α1(1)α1 eλ1 τl2 (1−ρ)A1 k1,τλ0 −λ1 α1(λ2 −λ1 α1 )t(λ2 −λ1 α1 )τe−e.τ ≤ t ≤ T,где величины k0,τ , k1,τ , k2,τ заданы соотношениями (3.7.28).Теорема 13 доказана.Теорема 14.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиюQ(t) < 0,0 ≤ t < τ;Q(t) > 0,84τ < t ≤ T.Тогда решение системы уравнений дифференциальной связи имеет видα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,0(0)−λt−λ1 α1 t l0 ρA1 k1,00k(t)=ek−+e,0,00λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(0)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,αα1(1)(1)(1−ρ)Akl (1−ρ)A1 k 1l1(0)1,02+ e−λ1 α1 t 2 λ2 −λ1 α1 1,0 .k2 (t) = e−λ2 t k2,0 − λ2 −λ1 α10 ≤ t < τ;(1)k0 (t) = k0,τ e−λ0 (t−τ ) , 1A1(1)−λ1 (1−α1 )(t−τ ) 1−α1λ1 (1−α1 )(t−τ ) 1−α1+k(t)=ek[1−e],1,τ1λ1k (1) (t) = k e−λ1 (t−τ ) ,22,ττ < t ≤ T,где величины k0,τ , k1,τ , k2,τ заданы равенствамиα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,0(0)−λτ−λ1 α1 τ l0 ρA1 k1,00k(τ)=ek−+e= k0,τ ,0,00λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(0)k1 (τ ) = k1,0 e−λ1 τ = k1,τ ,α1α1(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0(0)−λτ−λ1 α1 τ l2 (1−ρ)A1 k1,02= k2,τ .k(τ)=ek−+e 22,0λ2 −λ1 α1λ2 −λ1 α1Доказательство. Рассмотрим вариант, когда функция Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t))удовлетворяет условию 4Q(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) < 0при 0 ≤ t < τ,Q(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) > 0при τ < t ≤ T.С учетом структуры оптимального управления (3.4.16) функция управленияu1 (t) на интервале 0 ≤ t ≤ T задается формулой (3.5.30)0, 0 ≤ t < τ,u1 (t) =1, τ ≤ t ≤ T.Тогда система дифференциальных уравнений (3.3.14) (дифференциальная связь) на85интервале времени t ∈ [0, τ ] принимает вид(0)(0)(1)(0)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 [k1 (t)]α1 ,(0)(0)(3.7.36)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t),k̇ (0) (t) = −λ k (0) (t) + l(1) (1 − ρ)A [k (0) (t)]α1 .2 21 122Начальные условия к системе (3.7.36) определяются условиями на функцииk0 (t), k1 (t), k2 (t) в момент t = 0, то есть граничными условиями исходной задачи.Данная система совпадает по форме с системой (3.7.15), заданной на всеминтервале времени 0 ≤ t ≤ T .

Таким образом, решение системы (3.7.36) совпадаетс решением указанной системы (3.7.24), однако определяется на интервале временидо переключения 0 ≤ t ≤ τ(0)−λt0k0,0 −k0 (t) = e(0)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,(0)−λtk2 (t) = e 2 k2,0 −(1)α1l0 ρA1 k1,0λ0 −λ1 α1α(1)+ e−λ1 α1 t1l0 ρA1 k1,0,λ0 −λ1 α1(3.7.37)α(1)1l2 (1−ρ)A1 k1,0λ2 −λ1 α1(1)+ e−λ1 α1 tα1l2 (1−ρ)A1 k1,0.λ2 −λ1 α1Учитывая изменение характера управления на интервале после переключения u1 (t) = 1, τ ≤ t ≤ T , получаем систему уравнений относительно траекторий(1)(1)(1)системы k0 (t), k1 (t), k2 (t) в виде(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t),(1)(1)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + A1 [k (1) (t)]α1 1 ,k̇ (1) (t) = −λ k (1) (t).2(3.7.38)2 2Начальные условия к системе (3.7.38) в момент времени t = τ определяются,как и ранее, из условия непрерывности траекторий k0 (t), k1 (t), k2 (t) при всех t, 0 ≤t ≤ T .

Воспользуемся формулами (3.7.37) и введем дополнительные обозначения дляначальных значений функций состояний k01 (t), k11 (t), k21 (t) на интервале времени [0, T ]α1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,0(0)−λτ−λ1 α1 τ l0 ρA1 k1,00k(τ)=ek−+e= k0,τ ,0,00λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1(0)(3.7.39)k1 (τ ) = k1,0 e−λ1 τ = k1,τ ,α1α(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0l (1−ρ)A1 k 1(0)−λτ+ e−λ1 α1 τ 2 λ2 −λ1 α1 1,0 = k2,τ .k2 (τ ) = e 2 k2,0 − λ2 −λ1 α186Перейдем к решению системы дифференциальных уравнений (3.7.38) с заданными граничными условиями (3.7.39).1.

Начнем с рассмотрения дифференциального уравнения относительно функции(1)k0 (t)(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t).Решение данного линейного однородного уравнения аналогично по формерешению уравнения (3.7.10). Запишем его, использовав новые граничные условия(0)(1)k0 (τ ) = k0 (τ ) = k0,τ , где величина k0,τ определяется из системы соотношений(3.7.39)(1)k0 (t) = k0,τ e−λ0 (t−τ ) ,(3.7.40)где τ ≤ t ≤ T .Теперь найдем решение двух оставшихся уравнений из системы (3.7.38) наинтервале времени τ ≤ t ≤ T .(1)2.

Рассмотрим уравнение относительно функции k1 (t)(1)(1)(1)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + A1 [k1 (t)]α1 .(3.7.41)(1)с граничным условием k1 (τ ) = k1,τ .Уравнение (3.7.41) по своему типу является уравнением Бернулли. Такоеуравнение уже встречалось ранее в настоящем исследовании при анализе первоговарианта поведения функции Q(p0 , p1 , p2 ) и соответствующей структуре оптимального управления: u1 (t) = 1, t ∈ [0, T ]. В указанном варианте уравнением Бернулли являлось уравнение относительно функции k1 (t) из системы дифференциальныхуравнений (3.7.5).В данном варианте уравнение Бернулли рассматривается на другом интервале времени, а именно [τ, T ], где начальная точка τ может принимать произвольные значения из множества действительных чисел (0, T ).

Таким образом, необходимоучесть зависимость решения от интервала рассмотрения [τ, T ] и заданного начального условия в точке t = τ . В связи с этими важными особенностями рассматриваемойзадачи Коши приведем основные технические детали ее аналитического решения.(1)Выполним известную подстановку g1 (t) = [k1 (t)]1−α1 . После нее управление(3.7.41) преобразуется к виду линейного неоднородного уравнения первого порядкаġ1 (t) + λ1 (1 − α1 )g1 (t) − (1 − α1 )A1 = 0,с граничным условием(1)1−α1g1 (τ ) = [k1 (τ )]1−α1 = k1,τ.87t ∈ [τ, T ]Теперь применим общий результат теории дифференциальных уравнений о представлении решения линейного неоднородного уравнения первого порядка с произвольнымграничным условием [2].

Пусть задано уравнениеẏ + f (x)y = q(x),где y = y(x) - искомая неизвестная функция, f (x), q(x)- заданные функции. Необходимо найти решение этого уравнения с граничным условием y(ξ) = η, то есть интегральную кривую, проходящую через заданную фиксированную точку (x, y) = (ξ, η).Из теории дифференциальных уравнений известно, что решение задачи Коши аналитически выражается следующей формулой−y=eRzf (θ)dθZxη +ξRxf (θ)dθq(z)eξdz  .ξВ данном случае вспомогательная функция и величины имеют видf (x) = f (t) = λ1 (1 − α1 )q(x) = q(t) = (1 − α1 )A11−α1ξ = τ , η = g1 (τ ) = k1,τВычислим необходимые интегралы:ZtZtλ1 (1 − α1 )dz = λ1 (1 − α1 )(t − τ )f (z)dz =τξZzf (θ)dθ = λ1 (1 − α1 )(z − τ )ξС учетом этих замечаний, решение дифференциального уравнения можетбыть представлено в виде:1−α1g(t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ ) k1,τ+Zt(1 − α1 )A1 eλ1 (1−α1 )(z−τ ) dz τНайдем явное представление для интеграла в правой части формулы дляфункции g1 (t).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее