Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 14

Найдем соответствующие решения в явном виде.Теорема 11. Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция Q(t) удовлетворяет условию Q(t) > 0, t ∈ [0, T ]. Тогда решение системыдифференциальной связи определяется формуламиk0 (t) = k0,0 e−λ0 t ,1−α1A1−λ1 (1−α1 )tk1,0 − λ1 +k1 (t) = ek (t) = k e−λ2 t , t ∈ [0, T ].2A1λ11 1−α1,2,0Доказательство. Пусть Q(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) > 0 при всех t ∈ [0, T ].Тогда с учетом структуры оптимального управления (3.4.16) u1 (t) = 1 на всем временном интервале [0, T ], при этом система дифференциальных уравнений (3.3.14)(дифференциальная связь) принимает вид:k̇0 (t) = −λ0 k0 (t),k̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + A1 k1α1 (t),k̇ (t) = −λ k (t).22 2(3.7.5)Начнем исследование системы дифференциальных уравнений (3.7.5) с решения уравнения относительно k1 (t).761.

Итак, рассмотрим уравнениеk̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + A1 k1α1 (t)(3.7.6)с граничным условием k1 (0) = k1,0 .В теории дифференциальных уравнений данное уравнение (3.7.6) называетсяуравнением Бернулли [20]. Его решение находится с помощью подстановки g1 (t) =k11−α1 (t). После данной подстановки уравнение (3.7.6) преобразуется к виду линейногонеоднородного уравнения первого порядкаġ1 (t) + λ1 (1 − α1 )g1 (t) − (1 − α1 )A1 = 0,1−α1.g1 (0) = k1,0(3.7.7)Решение дифференциального уравнения (3.7.7) может быть представлено ввидеg1 (t) = e−λ1 (1−α1 )t1−α1k1,0Zt(1 − α1 )A1 eA1A1−+.λ1λ1+λ1 (1−α1 )zdz0=e−λ1 (1−α1 )t1−α1k1,0(3.7.8)Вернемся к исходной функции k1 (t).

Учитывая соотношение k1 (t) = (g1 (t))1/(1−α1 ) ,получим окончательное явное представление для решения дифференциального уравнения (3.7.6)k1 (t) =−λ1 (1−α1 )te 1A1A1 1−α11−α1k1,0 −+.λ1λ1(3.7.9)2. Перейдем к решению дифференциального уравнения относительно k0 (t).Имеемk̇0 (t) = −λ0 k0 (t)(3.7.10)Решение линейного однородного дифференциального уравнения (3.7.10), полученное с учетом граничного условия k0 (0) = k0,0 , имеет видk0 (t) = k0,0 e−λ0 t(3.7.11)Найдем решение уравнения относительно функции k2 (t). Как и уравнениеотносительно функции k0 (t), оно является линейным и однородным.3. Рассмотрим уравнение относительно k2 (t):k̇2 (t) = −λ2 k2 (t)(3.7.12)Используя граничное условие k2 (0) = k2,0 , получаем явное представления дляфункции k2 (t)k2 (t) = k2,0 e−λ2 t77(3.7.13)Таким образом, получаем решение системы уравнений (3.7.5) в явном видеk0 (t) = k0,0 e−λ0 t ,1 1−α11−α1A1A1−λ1 (1−α1 )t(3.7.14)k1,0 − λ1 + λ1k1 (t) = e,k (t) = k e−λ2 t , t ∈ [0, T ].22,0Теорема 11 доказана.Теорема 12.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция Q(t) удовлетворяет условию Q(t) < 0, t ∈ [0, T ]. Тогда решение системыдифференциальной связи определяется формуламиα1α(1)(1)lρAkl ρA1 k 1101,0k0 (t) = e−λ0 t k0,0 − λ0 −λ1 α1 + e−λ1 α1 t 0λ0 −λ1 α1,0,1k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,α1α(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0l (1−ρ)A1 k 1−λt2k2,0 − λ2 −λ1 α1+ e−λ1 α1 t 2 λ2 −λ1 α1 1,0 .k2 (t) = eДоказательство.

Рассмотрим теперь вариант, при котором функцияQ(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) < 0,при всех t ∈ [0, T ].С учетом представления (3.4.16) для оптимального управления, функцияуправления имеет вид u1 (t) = 0 , а система дифференциальных уравнений (3.3.14)(дифференциальная связь) принимает вид:(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 k1α1 (t),k̇1 (t) = −λ1 k1 (t),k̇ (t) = −λ k (t) + l(1) (1 − ρ)A k α1 (t).1 122 22(3.7.15)1. Решение системы дифференциальных уравнений (3.7.15) начнем с решениядифференциального уравнения относительно k1 (t), так как явное представление дляэтой функции понадобится для нахождения явных представлений решений оставшихся двух уравнений системыk̇1 (t) = −λ1 k1 (t)(3.7.16)С учетом начальных условий получаем решение дифференциального однородного уравнения (3.7.16) относительно k1 (t)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t .78(3.7.17)2.

Найдем решение неоднородного линейного уравнения относительно функции k0 (t)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 k1α1 (t).(3.7.18)Дифференциальное уравнение (3.7.18) является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Поскольку функция k1 (t) является известной, решение этогоуравнения, получаемое с учетом граничного условия k0 (0) = k0,0 , имеет видZ t(1)α1λ0 z−λ0 t(3.7.19)k0 (t) = ek0,0 +l0 ρA1 k1 (z)e dz .0Подставив найденное выше выражение для функции k1 (t) (3.7.17) в равенство(3.7.19), получимk0 (t) = e−λ0 tZk0,0 +t(1)α1 (λ0 −λ1 α1 )zel0 ρA1 k1,0dz .0Проведя стандартные аналитические преобразования (вычисление интеграла и группировку подобных членов), окончательно получаем(1)(1)α1α1 l ρA1 k1,0l0 ρA1 k1,0−λ1 α1 t 0+e.(3.7.20)k0 (t) = ek0,0 −λ0 − λ1 α1λ0 − λ1 α13.

Рассмотрим последнее дифференциальное уравнение из системы дифференциаль−λ0 tных уравнений (3.7.20),то есть уравнение относительно параметра k2 (t)(1)k̇2 (t) = −λ2 k2 (t) + l2 (1 − ρ)A1 k1α1 (t).(3.7.21)Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (3.7.21) подобно по форме уравнению (3.7.18). Решение этого уравнения, полученное с учетом граничныхусловий, имеет форму, подобную (3.7.19):Z t(1)α1−λ2 tλ2 z 1l2 (1 − ρ)A1 k1 (z1 )edz1 .k2 (t) = ek2,0 +(3.7.22)0Подставим найденное ранее явное выражение для функции k1 (t) (3.7.17) в формулу(3.7.22) и вновь проведем стандартное аналитические действия. Получимk2 (t) = e−λ2 t(1)α1l2 (1 − ρ)A1 k1,0k2,0 −λ2 − λ1 α1(1)l (1−λ1 α1 t 2+eα1− ρ)A1 k1,0.λ2 − λ1 α1(3.7.23)Для удобства объединим найденные решения отдельных уравнений системы дифференциальных уравнений (3.7.15).

Имеемα1α1(1)(1)l0 ρA1 k1,0−λt−λ1 α1 t l0 ρA1 k1,00k(t)=ek−+e,00,0λ0 −λ1 α1λ0 −λ1 α1k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,α1α(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0l (1−ρ)A1 k 1−λt+ e−λ1 α1 t 2 λ2 −λ1 α1 1,0 .k2 (t) = e 2 k2,0 − λ2 −λ1 α179(3.7.24)Теорема 12 доказана.Теорема 13. Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиюQ(t) > 0,0 ≤ t < τ;Q(t) < 0,τ < t ≤ T.Тогда решение системы уравнений дифференциальной связи имеет видk (0) (t) = k e−λ0 t ,0,001 1−α1(0)1−α1A1A1−λ1 (1−α1 )tk1,0 − λ1 + λ1k1 (t) = e,k (0) (t) = k e−λ2 t ,2,020 ≤ t ≤ τ;(1)−λt0k0 (t) = ek0,τ eλ0 τ +(1)k1 (t) = k1,τ e−λ1 (t−τ ) ,(1)k2 (t) = e−λ2 t k2,τ eλ2 τ +α(1)1 eλ1 τl0 ρA1 k1,τλ0 −λ1 α1α(1)(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τe−e,1 eλ1 τl2 (1−ρ)A1 k1,τλ0 −λ1 α1e(λ2 −λ1 α1 )t − e(λ2 −λ1 α1 )τ.τ ≤ t ≤ T,где величины k0,τ , k1,τ , k2,τ задаются равенствамиk0(0) (τ ) = k0,0 e−λ0 τ = k0,τ ,(0)1−α1A1−λ1 (1−α1 )τk1 (τ ) = ek1,0 − λ1 +k (0) (τ ) = k e−λ2 τ = k .22,0A1λ11 1−α1= k1,τ ,2,τДоказательство.

Теперь рассмотрим случай, когда функция Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t))удовлетворяет условию 3 из системы условий, сформулированных в начале данногопараграфа.Q(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) > 0при 0 ≤ t < τ,Q(p0 , p1 , p2 ) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) < 0при τ < t ≤ T.В этом случае функция управления u1 (t), определяемая согласно принципумаксимума, задается формулой (3.5.18)1,u1 (t) =0,0 ≤ t < τ,τ ≤ t ≤ T.80Заметим, что в рассматриваемом варианте с одним переключением управления вточке t = τ функции состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t) имеют различную аналитическуюформу на интервалах времени [0, τ ] и [τ, T ]. В связи с этим введем дополнительныеобозначения для таких аналитических форм, аналогичные соответствующим обозначениям (3.5.17) для сопряженных переменных.(0)ki (t), 0 ≤ t < τ,ki (t) =k (1) (t), τ ≤ t ≤ T,i = 0, 1, 2.iОтметим также, что в силу свойства непрерывности функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t)при всех значениях t ∈ [0, T ] имеют место равенства(0)(1)ki (τ ) = ki (τ ), i = 0, 1, 2.Для нахождения аналитических представлений функций k0 (t), k1 (t), k2 (t) на всеминтервале времени [0, T ] необходимо последовательно решить системы уравненийдифференциальной связи на интервалах времени [0, τ ] и [τ, T ] при соответствующихзначениях параметра управления u1 (t).

При этом граничные условия для системы(0)(0)(0)дифференциальных уравнений относительно функций k0 (t), k1 (t), k2 (t) в точкеt = 0 заданы изначально, а граничные условия для системы дифференциальных(1)(1)(1)уравнений относительно функций k0 (t), k1 (t), k2 (t) в точке t = τ определяются изуказанного выше условия непрерывности.Учитывая указанные замечания, будем в дальнейшем рассматривать и решать системы дифференциальных уравнений относительно функций состояний k0 (t),k1 (t), k2 (t) на замкнутых интервалах времени [0, τ ] и [τ, T ], включающих точку переключения.Перейдем к реализации намеченного плана действий по нахождению аналитических представлений для функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t).Система дифференциальных уравнений (3.3.14) (дифференциальная связь)на интервале 0 ≤ t ≤ τ принимает вид(0)(0)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t),(0)(0)(0)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + A1 [k1 (t)]α1 ,k̇ (0) (t) = −λ k (0) (t).2 22(3.7.25)Система дифференциальных уравнений (3.7.25) по форме совпадает с системой (3.7.5), заданной на интервале 0 ≤ t ≤ T .

Граничные условия для систем (3.7.5) и81(3.7.25) также совпадают. Для системы дифференциальных уравнений (3.7.5) былонайдено аналитическое решение, определяемое формулами (3.7.14). Воспользовавшись этим результатом, выпишем сразу решение системы (3.7.25), определенной наинтервале времени 0 ≤ t ≤ τ .(0)k0 (t) = k0,0 e−λ0 t ,(0)1−α1−λ1 (1−α1 )t−k1 (t) = ek1,0k (0) (t) = k e−λ2 t .A1λ1+A1λ11 1−α1,(3.7.26)2,02В момент переключения τ меняется характер управления.

Поскольку в рассматриваемом варианте функция управления имеет вид (3.5.18), параметр управления принимает значение u1 (t) = 0 при t ∈ [τ, T ].Тогда система дифференциальных уравнений (3.3.14) (дифференциальнаясвязь) на интервале времени τ ≤ t ≤ T принимает вид(1)(1)(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 [k1 (t)]α1 ,(1)(1)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t),k̇ (1) (t) = −λ k (1) (t) + l(1) (1 − ρ)A [k (1) (t)]α1 .2 21 122(3.7.27)Как уже отмечалось, начальные условия к системе (3.7.27) в точке t = τ определяется из свойства непрерывности функций k0 (t), k1 (t), k2 (t) при всех значенияхt, 0 ≤ t ≤ T .

Для удобства введем дополнительные обозначения для фиксированныхзначений функций k0 (t), k1 (t), k2 (t), задаваемых формулами (3.7.26), в точке t = τ :(0)k0 (τ ) = k0,0 e−λ0 τ = k0,τ ,1 1−α1(0)1−αA1A1−λ1 (1−α1 )τ1(3.7.28)k(τ)=ek−+= k1,τ ,11,0λ1λ1k (0) (τ ) = k e−λ2 τ = k ,22,02,τВеличины k0,τ , k1,τ , k2,τ (3.7.28) задают начальные условия в точке t = τ ксистеме (3.7.27). С учетом этих начальных условий найдем решение этой системы.(1)1. Начнем вновь с уравнения относительно функции k1 (t).(1)(1)k̇1 (t) = −λ1 k1 (t).82(3.7.29)Аналогичное по форме линейное однородное дифференциальное уравнениеотносительно функции k1 (t) уже встречалось в настоящем исследовании как уравнение (3.7.16), решение которого в явном виде задавалось формулой (3.7.17).