Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 9

С точки зрения эконо47мического содержания такое управление неоправданно и практически нереализуемо.В связи с этим в данной работе будет рассматриваться только вариант, когда функция Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) лишь конечное число раз меняет знак на интервале времени[0, T ].Сделаем также некоторые замечания по поводу особого управления. Как ужеотмечалось, такое управление возникает при условии Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) = 0. С точки зрения реальных экономических моделей наиболее интересен вариант, когда ука(0)(0)занное условие выполняется на некотором интервале времени ∆(0) = [τ0 , τ1 ].

В(0)частности, если 0 < τ0(0)< τ1= T , то это означает, что эволюция экономическойсистемы на рассматриваемом интервале времени [0, T ] разбивается на два этапа.(0)Первый этап, проходящий в период времени [0, τ0 ], можно условно назвать переходным. На нем реализуются некоторые явления, связанные с данной системой иприводящие к необходимости переключения управления. При этом переключениямогут происходить как конечное, так и счетное количество раз в изолированных(0)точках τ1 , τ2 , ..., τn ..., 0 < τ1 < τ2 < ...

< τn < ... < τ0 , то есть в изолированные мо(0)менты времени. Второй этап эволюции, происходящий на интервале [τ0 , T ], можноусловно назвать периодом стабилизации. На этом этапе переключений управления(0)(0)не требуется. Управление принимает особое значение u1 (t) = u1 , t ∈ [τ0 , T ]. Такаяситуация вполне естественна для экономической системы: после переходного периода, когда требуется оперативное управление или регулирование, наступает периодстабилизации, когда управляющее воздействие также должно быть стабильным.

Вто же время, нахождение аналитических условий на исходные параметры системы,(0)при которых может реализоваться особый режим управления u1 (t) = u1 , а также(0)самого значения u1 , достаточно сложно. По-видимому, не существует единого аналитического метода, позволяющего решить данную проблему, и в каждой конкретной задаче управления необходимо разрабатывать отдельную методику нахожденияособого режима управления.В данном исследовании мы поставим перед собой проблему нахождения оптимального управления в стандартном случае, когда функция Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t))конечное число раз меняет знак на заданном конченом интервале времени [0, T ],что, согласно принципу максимума, приводит к необходимости конечного числа переключений управления. Как будет показано в дальнейшем, такая проблема можетбыть решена комплексным аналитически-численным методом.

При этом будут найдены явные аналитические представления для основных и сопряженных переменных48k0 (t), k1 (t), k2 (t); p0 (t), p1 (t), p2 (t), соответствующих структуре оптимального управления, определенной на основе принципа максимума.Предположим, что функция Q(p0 , p1 , p2 ) принимает нулевые значения на интервале [0, T ] в конечном числе изолированных точек τ1 , τ2 , . . . , τr , которые будутявляться точками переключения управления. Тогда функция u1∗ (t) имеет кусочнонепрерывную структуру и меняет свой аналитический характер в точках переключения. При этом значения функции u1∗ (t) в точках переключения можно определитьиз условия непрерывности справа.Теперь, когда установлена общая структура функции оптимального управления u1∗ (t), проанализируем особенности исследования остальных соотношений, входящих в составленную выше полную систему, состоящую из необходимых условий иограничений исходной задачи.

Начнем с предварительного анализа системы сопряженных уравнений и связанных с ней условий трансверсальности.Заметим, что в сопряженные уравнения входят в качестве параметров функции k1 (t), k2 (t), описывающие состояние данной экономической системы. В свою очередь, эти функции являются решениями системы дифференциальной связи и зависятот функции управления u1 (t).Кроме того, функция управления u1 (t) непосредственно входит в сопряженное уравнение относительно p1 (t).

Таким образом, решение системы сопряженныхуравнений зависит от конкретного вида функции управления. Аналитическая структура функции управления была установлена выше в основе принципа максимума. Врассматриваемом варианте аналитическое выражение функции управления изменяется в моменты переключения управления τ1 <, τ2 , . . . , τr . Сама функция управленияявляется кусочно-постоянной и принимает только два возможных значения.В моменты переключения управления изменяется вид уравнений дифференциальной связи, а следовательно, и аналитический характер их решений, то есть аналитический характер функций k0 (t), k1 (t), k2 (t), хотя эти функции остаются непрерывными. Аналогичные аналитические особенности имеют и сопряженные переменные p0 (t), p1 (t), p2 (t).

Эти особенности необходимо учитывать при решении системысопряженных уравнений, а в дальнейшем и при решении уравнений дифференциальной связи. В частности, аналитические решения систем уравнений дифференциальной связи и сопряженных уравнений необходимо находить отдельно на каждоминтервале времени между соседними точками переключения. Граничные условиядля этих систем на каждом интервале могут быть определены на основе свойства49непрерывности основных и сопряженных переменных в точках переключения управления.Как уже отмечалось, теоретически функция управления может иметь произвольное конечное число скачков (переключений управления) на конечном интервале времени. Однако на данном этапе исследования мы ограничимся рассмотрением следующих основных вариантов поведения функции управления: вариантов безпереключения и вариантов с одним переключением, которое происходит в некоторой фиксированной точке τ , 0 < τ < T .

Учитывая, что сама функция управленияu1 (t) имеет два возможных аналитических представления, совпадающие с верхнейи нижней границами области допустимых значений, мы приходим к необходимости аналитически исследовать четыре возможных варианта решений сопряженныхуравнений, а также четыре соответствующих варианта решений уравнений дифференциальной связи: два варианта без переключений управления и два варианта содним переключением управления.

Заметим, что вариант с произвольным конечнымчислом переключений управления может быть аналитически исследован аналогичноварианту с одним переключением.Теперь перейдем непосредственно к исследованию различных вариантов решений системы сопряженных уравнений.3.5Решение системы сопряженных уравнений для функцииуправления без переключений и с одним переключениемРассмотрим сначала варианты, когда функция управления не имеет переключений.Теорема 3. Предположим, что в исходной задаче оптимального управления вспомогательная функция Q(t) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) удовлетворяет условиюQ(t) > 0, t ∈ [0, T ].

Тогда решение системы сопряженных уравнений определяетсяформулами:(0)p0 (t) = ψ0 (T )eλ0 (t−T ) ,Rα −1(0)A1 α1 tT k1 1 (z2 ) dz2 +λ1 (t−T )p(t)=ψ(T)e11p (t) = eλ2 t e−λ2 T ψ (0) (T ) + B R T e(−δ−λ2 )z1 k α2 −1 (z ) dz .22 t1122Доказательство. Будем решать уравнения из сопряженной системы (3.4.7) последовательно. Пусть вспомогательная функция50Q(p0 , p1 , p2 ) > 0при t ∈ [0, T ]и u1 = 1, тогда система (3.4.7) принимает вид:ṗ0 (t) = λ0 p0 (t)ihα1 −1(t)p1 (t)ṗ(t)=λ−Aαk11111ṗ (t) = λ p (t) − B e−δt α k α2 −1 (t)22 22(3.5.1)2 21.

Начнем с уравнения относительно функции p0 (t),ṗ0 (t) = λ0 p0 (t).(3.5.2)Соотношение (3.5.1) представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Используя условие трансверсальности для функцииp0 (t) (3.4.9), получаем решение(0)p0 (t) = ψ0 (T )eλ0 (t−T ) , 0 ≤ t ≤ T.(3.5.3)2. Перейдем к следующему дифференциальному уравнению системы сопряженных уравнений относительно p2 (t). Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением, причем на данном интервале исследованияфункция k2 (t) условно предполагается известной.ṗ2 (t) = λ2 p2 (t) − B2 e−δt α2 k2α2 −1 (t).Общее решение такого уравнения имеет видZ tλ2 t(−δ−λ2 )z α2 −1p2 (t) = ec2 − B2ek2 (z) dz .(3.5.4)(3.5.5)0Учитывая условие трансверсальности (3.4.9), определяем неизвестную постоянную c2 и, тем самым, конкретное выражение для функции p2 (t).Получаем представление для сопряженного параметраZ Tλ2 t −λ2 T (0)p2 (t) = e eψ2 (T ) + B2e(−δ−λ2 )z1 k2α2 −1 (z1 ) dz1 , 0 ≤ t ≤ T.(3.5.6)t3.

Перейдем к решению дифференциального уравнения относительно сопряженного параметра p1 (t). Соответствующее уравнение является линейным однородным (уравнением с разделяющимися переменными первого порядка). В это уравнение входит неизвестная функция k1 (t), явное выражение для которой при заданномуправлении будет определено в дальнейшем при решении уравнений дифференциальной связи.51Основное уравнение относительно p1 (t) из системы уравнений (3.5.1) имеетвид :ihα1 −1ṗ1 (t) = λ1 − A1 α1 k1 (t) p1 (t)(3.5.7)Общее решение дифференциального уравнения (3.5.7) определяется соотношениемp1 (t) = C1 eλ1 t−A1 α1Rt0α −1k1 1(z2 ) dz2(3.5.8)Воспользуемся условием трансверсальности для параметра p1 (t) (3.4.9) и определим выражение для неизвестной постоянной C1 .Далее, подставим найденное выражение для C1 в формулу (3.5.7) и получимпосле преобразований(0)p1 (t) = ψ1 (T )eA1 α1RTtα −1k1 1(z2 ) dz2 +λ1 (t−T ),0 ≤ t ≤ T(3.5.9)Теперь можно выписать полное решение системы сопряженных уравненийдля варианта, когда функция управления не имеет переключений и принимает значение u1 (t) = 1 на всем рассматриваемом интервале времени t ∈ [0, T ].

При этомуравнения дифференциальной связи для функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t) сохраняют единую форму. Полученные выше решения сопряженных уравнений, определяемые формулами (3.5.3), (3.5.6), (3.5.9), также сохраняют данную форму при всехt ∈ [0, T ]. Сопряженные функции задаются едиными аналитическими выражениямина всем временном интервале [0, T ]:(0)p0 (t) = ψ0 (T )eλ0 (t−T ) ,(0)RTα1 −1p1 (t) = ψ1 (T )eA1 α1 t k1 (z2 ) dz2 +λ1 (t−T )p (t) = eλ2 t e−λ2 T ψ (0) (T ) + B R T e(−δ−λ2 )z1 k α2 −1 (z ) dz 22 t1122(3.5.10)Теорема 3 доказана.Теорема 4. Предположим, что в исходной задаче оптимального управления вспомогательная функция Q(t) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) удовлетворяет условию:Q(t) < 0, t ∈ [0, T ].

Тогда решение системы сопряженных уравнений определяется52формулами:(0)p0 (t) = ψ0 (T )eλ0 (t−T ) ,hRp1 (t) = eλ1 t ψ0(1) (T )e−λ1 T + A1 α1 T e−λ1 z3 k1α1 −1 (z3 ) l0(1) ρψ0(0) (T )eλ0 (z3 −T ) +tiR T (−δ−λ )z α2 −1(2)λ2 (z3 −T ) (0)λ2 z 32 4(z)dz)dzek+l(1−ρ)(eψ(T)+eB4432 z3202Rp2 (t) = eλ2 t e−λ2 T ψ2(0) (T ) + B2 T e(−δ−λ2 )z1 k2α2 −1 (z1 ) dz1tДоказательство.