Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 6

Предположим, что заданы значения основных параметров модели в начальный момент времени t = 0, а именноKj (0) = Kj,0 ,Lj (0) = Lj,0 ,Ij (0) = Ij,0 ,j = 0, 1, 2.Отсюда получаем начальные значения для удельных параметровkj,0 = kj (0) =Kj (0)Kj,0=;Lj (0)Lj,0ij,0 = ij (0) =Ij (0)Ij,0=;Lj (0)Lj,0j = 0, 1, 2.4. Поскольку основной целью исследования является изучения влияния удельных инвестиций в фондосоздающий сектор экономики на показатели качества управления, то распределим оставшиеся инвестиции между потребительским и материальным секторами в заданном отношении, то есть выразим их через инвестиции в фондосоздающий сектор экономики и выпуск продукции в данном секторе.

Учитывая31соотношение баланса инвестиций, запишем равенстваI0 (t) = ρ(Y1 (t) − I1 (t)),I2 (t) = (1 − ρ)(Y1 (t) − I1 (t)),где ρ — заданный фиксированный параметр, ρ ∈ [0, 1].5. Как уже отмечалось динамика основных производственных фондов по секторам описывается уравнениямиdKj (t)= −µj Kj (t) + Ij (t),dtj = 0, 1, 2.Заметим, что из данных соотношений для основных производственных фондов можно вывести соответствующие соотношения для фондовооруженностей.

Именно,k̇j (t) = −(ν + µj )kj (t) + ij ,j = 0, 1, 2.Действительно, заметим, что Kj (t) = kj (t)Lj (t), откудаK̇j (t) = k̇j (t)Lj (t) + kj (t)L̇j (t).Учитывая, что L̇j (t) = νLj (t), получаемK̇j (t) = k̇j (t)Lj (t) + kj (t)νLj (t).Подставим последнее соотношение в левую часть динамического соотношения дляосновных производственных фондовk̇j (t)Lj (t) + kj (t)νLj (t) = −µj kj (t)Lj (t) + Ij (t)Разделив обе части данного равенства на Lj (t) , получаем требуемое.Динамическое соотношение для фондовооруженности (удельного капитала)будет использовано в дальнейшем для математической постановки задачи оптимального управления.Таким образом, инвестиционная динамическая модель функционирования трехсекторной экономической системы описывается следующими соотношениямиα1−αjYj (t) = Fj (Kj (t), Lj (t)) = A1 Kj j (t)Ljk̇j (t) = −(ν + µj )kj (t) + ij ,j = 0, 1, 2;I0 (t) = ρ(Y1 (t) − I1 (t)),I2 (t) = (1 − ρ)(Y1 (t) − I1 (t));L(t) = L0 (t) + L1 (t) + L2 (t),Lj (t) = Lj (0)eνt = Lj,0 eνt ,(t),j = 0, 1, 2.32j = 0, 1, 2;3.3Формальная постановка задачи оптимального управления.Перейдем к математической постановке задачи оптимального управления на заданном интервале времени [0, T ].Сформулируем задачу оптимального управления в стандартной форме, следуя фундаментальным трудам по теории оптимального управления [2],[19],[50].Определим параметры состояния и управления в заданной системе.Будем рассматривать в качестве состояний системы значения функций фондовооруженности (удельного капитала) в каждом секторе k(t) = (k0 (t), k1 (t), k2 (t)).В качестве параметра управления предлагается рассматривать некоторую величину, связанную с удельными инвестициями в первый (фондосоздающий) секторэкономики.

Именно, обозначимu1 (t) =i1 (t),A1 k1α1 (t)и будем считать величину u1 (t) функцией управления. Установим экономическое содержание функции u1 (t). Из условия баланса инвестиций (см. п.1 данной главы)I0 + I1 + I2 = Y1 ,который выполняется в любой момент времени t ∈ [0, T ], следует оценкаi1 (t) =1Y1 (t)F1 (K1 (t), L1 (t))A1 K1α1 (t)L1−α(t))I1 (t)1≤= y1 (t) === A1 k1α1 (t), t ∈ [0, T ].L1 (t)L1 (t)L1 (t)L1 (t)(3.3.1)Равенство в соотношении (3.3.1) достигается при условии I1 = Y1 , то есть при I0 =I2 = 0.

Таким образом, величина y1 (t) = A1 k1α1 (t) представляет собой максимальновозможное значение удельных инвестиций в первом секторе. Отсюда следует, чтофункция u1 (t) представляет собой долю удельных инвестиций в первый (фондосоздающий) сектор от максимально возможного объема таких удельных инвестиций,который совпадает с величиной удельного произведенного продукта y1 (t).В то же время, выражение для функции управления можно записать в инойформеu1 (t) =i1 (t)i1 (t)L1 (t)i1 (t)L1 (t)I1 (t)I1 (t)====α1α11−αα1−αA1 k1 (t)A1 k1 (t)L1 (t)Y1 (t)A1 [k1 (t)L1 (t)]α1 L1 1 (t)A1 k1 1 (t)L1 1 (t)Учитывая соотношение баланса инвестиций, получаем, что функция управленияu1 (t) представляет собой также долю инвестиций в фондосоздающий сектор в общем объеме инвестиций во всей экономической системе.33Идейно выбор параметра управления, связанного с удельными инвестициями в первый сектор, обосновывается тем, что объем производства фондосоздающегосектора определяет общий объем инвестиций в системе.

Таким образом, инвестициив фондосоздающий сектор играют решающую роль в схеме инвестирования в рассматриваемой модели трехсекторной экономики.Таким образом, вводятся трехмерный параметр k(t) = (k0 (t), k1 (t), k2 (t)), характеризующий состояние системы и одномерный параметр u1 (t), характеризующийуправление.Введем целевой функционалZв видеT1. I(k0 (·), k1 (·), k2 (·); u1 (·)) =e−δt ·ŷ2 (t, k(t), u1 (t)) dt+e−δT ψ(k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )).0Первое слагаемое в данном показателе или интегральная часть целевого функционала выражает суммарный объем потребительских благ по отношению к единицетрудовых ресурсов всей экономической системы (или, что то же самое, на одногозанятого в экономике), произведенных за фиксированный период времени [0, T ].

Сомножитель e−δt под знаком интеграла отражает принятую в теории формулу учетауменьшения реального содержания потребительских благ в одной денежной единицеэкономической системы или, иначе говоря, формулу учета инфляции. Такой сомножитель называется дисконтирующим.Второе слагаемое или терминальный член целевого функционала учитываетвлияние на цель управления конечных значений параметров фондовооруженности(удельного капитала) k0 (T ), k1 (T ), k2 (T ), поскольку эти параметры выражают достигнутый в системе уровень технологического развития. При этом терминальнаяфункция ψ(k0 , k1 , k2 ) предполагается явно заданной.

Дисконтирующий множительe−δT имеет указанное выше содержание.Подставим явную формулу для функции ŷ2 (t, k, u1 ) в выражение для целевогофункционала, тогда он примет видZ TI(k0 (·), k1 (·), k2 (·); u1 (·)) =e−δt A2 θ2 k2α2 (t) dt + e−δT ψ(k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )).0Заметим, что интегрант (подынтегральная функция) в данном функционалене зависит явно от аргументов t, k0 , k1 , u1 .2. Теперь определим ограничения на управления, допустимые в рассматриваемой задаче. Из соотношения (3.3.1) и неотрицательности удельных инвестицийследует двойное неравенство0 ≤ u1 (t) =i1 (t)≤ 1, t ∈ [0, T ]A1 k1α1 (t)34(3.3.2)Таким образом, множество допустимых управлений имеет вид U = [0, 1] ∈ R.Заметим, что с учетом экономических соображений можно рассмотреть болеесложную форму ограниченийγ0 ≤ u1 (t) ≤ γ1 , t ∈ [0, T ],где γ0 , γ1 - заданные постоянные величины, удовлетворяющие условию 0 ≤ γ0 < γ1 ≤1.

При этом величина γ0 задает минимально допустимую долю удельных инвестиций,а величина γ1 максимально допустимую долю удельных инвестиций первого секторасоответственно.Если положить u1 = 1, то i1 = A1 k1α1 . Тогдаi1 =I1Y1= A1 k1α1 =,L1L1откуда I1 = Y1 . В таком случае I0 = ρ(Y1 − I1 ) = 0, I2 = (1 − ρ)(Y1 − I1 ) = 0. Таким образом, если функция управления u1 (t) принимает одно из своих граничных значений0 или 1, то это означает, что либо инвестиции в первый (фондосоздающий) сектор,либо инвестиции в нулевой (материальный) и второй (потребительский) секторы являются нулевыми. При этом экономическое содержание условий u1 (t) = 1 и u1 (t) = 0заключается в том, что в определенные промежутки времени инвестиционные ресурсы в данной системе полностью сосредоточиваются либо в фондосоздающем секторе,либо в материальном и потребительском секторах соответственно.

В реальной экономке такая ситуация кажется неоправданной. Однако в формально поставленнойзадаче оптимального управления она является допустимой и может оказаться оптимальной. В связи с этим в настоящей работе мы будем рассматривать ограниченияна допустимые управления в форме (3.3.2).3. Получим теперь динамическое соотношение, описывающее изменение вовремени параметров фондовооруженности (удельного капитала) k0 (t), k1 (t), k2 (t).Такие соотношения в теории управления называются дифференциальной связью иописывают изменение состояний системы при заданном управлении.Основой для соотношений дифференциальной связи являются динамическиесоотношения для основных производственных фондов (капитала) K0 (t), K1 (t), K2 (t)и соотношения, выражающие величину инвестиций в каждом секторе I0 (t), I1 (t),I2 (t).Начнем с нулевого — материального сектора экономики.

Рассмотрим основное соотношениеdK0= −µ0 K0 (t) + I0 (t),dt35(3.3.3)при этом K0 = k0 L0 .Запишем выражение для производной функции K0 (t)K̇0 = k̇0 L0 + νk0 L0 .Подставляя данные представления для K0 и K̇0 в равенство (3.3.3) получаемk̇0 = −(ν + µ0 )k0 (t) +I0.L0(3.3.4)Воспользуемся введенными выше соотношениями для параметров инвестицийI0 = ρ(Y1 (t) − I1 (t)),(3.3.5)I1 (t) = i1 (t)L1 (t).(3.3.6)По предположению, функция Y1 (t), задающая объем производства в фондосоздающем секторе, является функцией Кобба-Дугласа1Y1 (t) = A1 K1α1 (t)L1−α(t) = A1 k1α1 (t)L1 (t).1(3.3.7)Подставим выражения (3.3.5), (3.3.6), (3.3.7) в соотношение (3.3.4)k̇0 = −(ν + µ0 )k0 +ρ(A1 k1α1 L1 − i1 L1 ).L0Учитывая, что Lj (t) = Lj (0)eνt = Lj,0 eνt при j = 0, 1, 2 получаемk̇0 = −(ν + µ0 )k0 + ρL1,0(A1 k1α1 − i1 ).L0,0(3.3.8)Далее произведем аналогичные преобразования для двух других секторовэкономики.Для первого сектора имеемdK1= −µ1 K1 (t) + I1 (t),dtпри этом K1 = k1 L1 .Отсюда получаемk̇1 = −(ν + µ1 )k1 + i1 .(3.3.9)Для второго сектораdK2= −µ2 K2 (t) + I2 (t),dtпри этом K2 = k2 L2 .Отсюдаk̇2 = −(ν + µ2 )k2 (t) +36I2.L2(3.3.10)Воспользовавшись известными соотношениями для параметров инвестицийI2 (t) = (1 − ρ)(Y1 (t) − I1 (t)),I1 (t) = i1 (t)L1 (t),а также представлением (3.3.7) для функции Y1 (t), получаем из (3.3.10)k̇2 = −(ν + µ2 )k2 +(1 − ρ)(A1 k1α1 L1 − i1 L1 ).L2(3.3.11)Учитывая соотношение для объема трудовых ресурсов Lj (t) = Lj (0)eνt =Lj,0 eνt , j = 0, 1, 2, получаем из (3.3.11)k̇2 = −(ν + µ1 )k2 +L1,0(1 − ρ)(A1 k1α1 − i1 ).L2,0(3.3.12)Проведем в соотношениях (3.3.8), (3.3.9), (3.3.12) замену, полагая i1 (t) =A1 k1α1 u1 (t).