Диссертация (1137465)
Текст из файла
Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования"Национальный исследовательский университет"Высшая школа экономики"На правах рукописиЗасыпко Вероника ВладимировнаРазработка численно-аналитического метода и алгоритма решениязадачи оптимального управления (на примере трехсекторнойинвестиционной экономической модели)ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени кандидата наукпо прикладной математике НИУ ВШЭНаучный руководитель:кандидат физико-математическихнаук, доцентШнурков Петр ВикторовичМосква - 2018СодержаниеВведение.3Глава 1. О некоторых аналитических и численных методах исследования задач оптимального управления1.1Общая постановка задачи оптимального управления и ее исследованиена основе принципа максимума .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.21.377Численные методы решения задач оптимального управления . . . . . . 13Аналитическое исследование задачи оптимального управления в односекторной экономической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 16Глава 2. Разработка алгоритма численного решения задачи оптимального управления2.120Классическая задача оптимального управления с фиксированным интервалом времени и закрепленным левым концом траектории . . . . . . 202.2Общее описание численного алгоритма . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 22Глава 3. Задача оптимального управления в закрытой динамической модели трехсекторной экономики. Постановка и аналитическоеисследование3.128Основные характеристики и динамические соотношения, описывающие трехсекторную модель экономики . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 283.2Разработка специальной версии динамической модели функционирования трехсекторной экономической системы . . . . . . . . . . . . . . . 303.3Формальная постановка задачи оптимального управления. . . . . . . . 333.4Необходимые условия экстремума в задаче оптимального управленияв форме принципа максимума . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5Решение системы сопряженных уравнений для функции управлениябез переключений и с одним переключением . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6Решение системы сопряженных уравнений для функций управления спроизвольным конечным числом точек переключения . . . . . . . . . . 623.7Решение системы уравнений дифференциальной связи для функцииуправления без переключений и с одним переключением . . . . . .
. . . 753.8Решение системы уравнений дифференциальной связи для функцийуправления с произвольным конечным числом точек переключения . . 9013.9Аналитические представления для сопряженных переменных . . . . . . 1003.10 Качественный анализ поведения состояний системы для вариантов управления без переключения и с одним переключением . . . . . . . . . . . . 103Глава 4. Реализация построенного алгоритма численного исследования задачи оптимального управления инвестициями в трехсекторноймодели экономики4.1120Описание алгоритма численного решения системы, состоящей из необходимых условий и ограничений в поставленной задаче оптимальногоуправления . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2Формальное описание множества рассматриваемых функций управления1234.3Блок-схема алгоритма численного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4Программная реализация алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5Задание исходных данных. Численные значения основных параметровмодели .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6Представление результатов работы программного комплекса . . . . . . 134Заключение138Библиография1402ВведениеДиссертационная работа посвящена проблемам, связанным с численным решениемзадачи оптимального управления. Под задачей оптимального управления понимается классическая экстремальная проблема на множестве пар функций (x(t), u(t)),t ∈ [t0 , t1 ], где x(t) - состояние системы в момент времени t, u(t) - управлениев указанный момент времени. Целевой показатель представляет собой смешанныйинтегрально-терминальный функционал.
Ограничения состоят из системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы и граничных условий наконцах интервала времени [t0 , t1 ] и ограничений на допустимые управления. Общаяматематическая постановка таких задач приведена в начале главы 1, а более частная,с которой непосредственно связано диссертационное исследование - в начале главы2.Указанная математическая задача оптимального управления имеет приложения в различных областях техники и экономики. Такие приложения хорошо известныи описаны в научной литературе (см., например, [2],[6],[9],[12],[18]).Основным математическим результатом используемым для решения такойзадачи, является принцип максимума Понтрягина.
По своему математическому содержанию этот результат представляет собой систему необходимых условий экстремума в рассматриваемой задаче.К сожалению, метод, основанный на использовании принципа максимума,крайне редко позволяет получить аналитические решения задач оптимального управления. Непосредственное применение этого метода связано с необходимостью решения нескольких взаимосвязанных систем соотношений (необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи). Получить аналитические решения этойсистемы чаще всего невозможно.
В связи с этим особое значение приобретает проблем разработки новых численно-аналитических и численных методов, позволяющиханализировать упомянутые системы соотношений, находить допустимые экстремалии оптимальные управляемые процессы. Данное исследование посвящено именно этойпроблеме.Содержанием диссертационного исследования является разработка новогометода численного решения системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограничений классической задачи оптимального управления, общая постановка которой приведена в начале главы 2. В целом этот метод позволяет исследовать3некоторый достаточно широкий класс допустимых функций управления u(t) и найтив нем функции управления и соответствующие траектории x(t), t ∈ [t0 , t1 ], которыеудовлетворяют указанной системе и представляют собой допустимые экстремали исходной задачи.
Общее описание разработанного метода и его применения к исследованию классической задачи оптимального управления приведено в главе 2.Дальнейшее исследование состоит в применении разработанного метода длярешения конкретной задачи оптимального управления, сформулированной на основетак называемой трехсекторной динамической экономической модели.В главе 3 приведена оригинальная постановка задачи управления и ее частичное исследование при помощи аналитических методов.
В главе 4 исследованиеупомянутой конкретной задачи продолжается при помощи разработанного численного метода и соответствующего численного алгоритма. Приведем более подробноеописание исследования конкретной экономико-математической проблемы, проведенного в главах 3 и 4.Как уже отмечалось, в главе 3 рассматривается задача оптимального управления некоторой динамической экономической системой. Такая экономическая система в теории называется закрытой.
По своему содержанию эта система представляетсобой национальную экономику или экономическую систему отдельного государства,рассматриваемую без учета внешнеэкономических связей. Для описания такой системы используется динамическая модель трехсекторной экономики, в которой основные отрасли объединены в укрупненные подразделения, называемые секторами. Врамках этой модели сформулирована и исследована математическая проблема оптимального управления с непрерывным временным параметром, рассматриваемая назаданном конечном интервале времени. В поставленной задаче оптимального управления состояниями системы являются величины удельного капитала в каждом изсекторов, а параметром управления является величина удельных инвестиций в сектор, производящий средства производства (так называемый фондосоздающий сектор).Отметим, что в математической проблеме управления экономической системой параметр, характеризующий объем инвестиций, естественно рассматривать какпараметр управления.
В то же время, в многосекторной экономической модели ключевую роль будут играть инвестиции в сектор, производящий средства производства,поскольку средства производства определяют технологический уровень производства во всех секторах.4Заметим также, что целевой функционал в рассматриваемой задаче оптимального управления имеет смешанный характер. Интегральная часть этого функционала представляет собой интегрированное удельное потребление за данный периодвремени, а терминальная часть зависит от значений параметров удельного капиталав конечный момент времени, то есть отражает достигнутый уровень технологического развития в каждом из секторов.Математически поставленная задача относится к классическим задачам оптимального управления на заданном конечном интервале времени со смешаннымцелевым функционалом, ограничениями в форме дифференциальной связи, закрепленным левым концом траектории и ограничениями на управление.Теперь отметим некоторые принципиальные аналитические особенности рассматриваемой проблемы оптимального управления.
Для решения этой проблемы используется метод, основанный на принципе максимума Понтрягина. В ходе реализации этого метода используется общая система соотношений, состоящая из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи. Аналитическое исследование указанной системы представляет собой достаточно сложную математическую проблему. Действительно, в соответствии с условием максимума, структурафункции, задающей оптимальное управление, зависит от некоторой вспомогательнойфункции, которая определяется сопряженными переменными.
Система дифференциальных уравнений относительно сопряженных переменных (сопряженные уравнения) зависит от функций, выражающих состояния в рассматриваемой задаче оптимального управления, то есть от функций удельного капитала в каждом из секторов. В свою очередь, система дифференциальных уравнений относительно функцийсостояний или функций удельного капитала ( в теории оптимального управленияэта система называется дифференциальной связью) зависит от функции параметрауправления.При помощи условия максимума определяется общая структура оптимальных управлений. Для функций управления, имеющих данную структуру с произвольным конечным числом переключений, находятся аналитические представлениядля функций состояний и так называемых сопряженных переменных, которые посвоему теоретическому содержанию представляют собой множители Лагранжа в исходной экстремальной задаче с ограничениями.
На этом возможности аналитического исследования поставленной задачи оптимального управления исчерпываются.В завершающей четвертой главе диссертации проводится реализация разра5ботанного в главе 2 метода численного решения задачи оптимального управления втрехсекторной модели экономики. Именно, строится алгоритм и создается его программная реализация, позволяющие численно определить допустимые экстремали впоставленной задаче. При этом используются найденные в главе 3 аналитическиепредставления для функций состояний и сопряженных переменных. В результатесоздается возможность численно определить те функции управления и соответствующие им функции состояний, которые удовлетворяют общей системе соотношений,состоящей из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи оптимального управления.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
