Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 5

Именно, если полученная функция Q(t) принимает положительные значения на интервалах времени, где предполагаемая функция управления принимаетзначение u1 , и отрицательные значения на интервалах времени, где предполагаемаяфункция управления принимает значение u0 , то можно считать, что предполагаемая функция управления и соответствующая ей функция состояний x(t) являютсярешением системы соотношений, состоящей из необходимых условий экстремума (вформе принципа максимума) и ограничений исходной задачи.

Такая пара функций25(x∗ (t), u∗ (t)), t ∈ [t0 ; t1 ] является допустимой экстремалью в исходной задаче оптимального управления.Если же в результате численного анализа выясняется, что полученная функция Q(t) не соответствует структуре предполагаемой функции управления u(t), тоэта предполагаемая функция не является решением системы, состоящей из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи. Эту функцию следуетисключить из рассмотрения и перейти к следующей функции из рассматриваемого(N )класса функций управления Ŝn .Таким образом, использую описанную процедуру, можно определить все функ(N )ции управления u∗ (t) из рассматриваемого класса Ŝn , которые удовлетворяют необходимым условиям экстремума в форме принципа максимума и ограничениям исходной задачи оптимального управления.Теперь сделаем несколько важных замечаний, связанных с описанным вышеалгоритмом.Замечание 1.

О дополнительном условии, используемом при проверке соответствия вычисленной функции Q(t) и предполагаемой функции управления u∗ (t).Предположим, что для заданной функции u∗ (t) реализованы действия, аналогичные описанным выше, то есть последовательно вычисляются значения функцийx(t), t0 ≤ t ≤ t1 . Тогда известны, в частности, значения x(t1 ). Условия трансверсальности позволяют выразить значения сопряженных переменных p(t) в точке t = t1через значения x(t).

Именно, как следует из соотношения (2.1.5)p(t1 ) = −lx1 (x(t1 ))где lx1 (x(t1 )) - производная функции l(x1 ) по векторному аргументу x1 , вычисленнаяв точке x1 = x(t1 ). Таким образом, lx1 (x(t1 )) задана, если известно значение x(t1 ).Отсюда следует, что при заданном x(t1 ) значение p(t1 ) также известно.Но тогда можно определить и значение функции переключений Q(t) в точкеt = t1 .

Зная Q(t1 ), можно провести предварительный проверку соответствия поведения вычисленной функции Q(t) и предполагаемой функции u∗ (t). Если Q(t1 ) > 0,а при этом u∗ (t1 ) = u0 , что равносильно условию u∗ (t) = u0 , τn ≤ t ≤ t1 , где τn- момент последнего переключения, то можно сразу сделать вывод о том, что поведение функции Q(t) не соответствует выбранному варианту функции управленияu∗ (t). Аналогичный вывод можно сделать также в случае, когда Q(t1 ) < 0, а приэтом u∗ (t1 ) = u1 , что равносильно условию u∗ (t) = u1 , τn ≤ t ≤ t1 . В этих случаях26дальнейшее вычисления значений сопряженных переменных p(t) при всех t0 ≤ t ≤ t1и соответствующих значений функции переключений Q(t) при всех 0 ≤ t ≤ t1 , атакже дальнейшую проверку соответствия поведения вычисленной функции Q(t) ипредполагаемой функции u∗ (t) проводить нецелесообразно.27Глава 3. Задача оптимального управления в закрытой динамической модели трехсекторной экономики.

Постановка и аналитическое исследование3.1Основные характеристики и динамические соотношения,описывающие трехсекторную модель экономикиНачнем наше исследование с изложения основной экономической модели, в рамкахкоторой будет сформулирована математическая проблема оптимального управления.Данная модель называется трехсекторной моделью экономики.

Трехсекторная модель экономической системы (национальной экономики) была разработана профессором В.А.Колемаевым и неоднократно излагалась в его трудах по математическойэкономике [21],[22],[23],[24]. В этой модели производственная система национальнойэкономики делится на три сектора: нулевой (материальный) сектор производит предметы труда; первый (фондосоздающий) — средства труда; второй (потребительский)- предметы потребления.Приведем перечень отраслей системы национальной экономики, входящих вуказанные укрупненные объединения (секторы), следуя концепции автора даннойэкономической модели (см. работы [21]).Материальный сектор: добывающая промышленность, электроэнергетика,металлургия, промышленная химия и нефтехимия, производство сельхозпродукциии морепродуктов, леcозаготовки, промышленность стройматериалов, стекольная ифарфорофаянсовая промышленность для производственных целей, грузовой транспорт, служебная связь, оптовая торговля средствами производства.Фондосоздающий сектор: металлообработка и машиностроение, промышленное строительство.Потребительский сектор: переработка сельхозпродукции и морепродуктов(легкая и пищевая промышленность), деревообработка, бытовая химия, стекольнаяи фарфорофаянсовая промышленность для бытовых целей, гражданкое строительство, пассажирский транспорт, гражданская связь, торговля предметами потребления.Предполагается, что в каждом секторе имеются собственные основные производственные фонды (ОПФ) или основной капитал, в то время как трудовые ресурсыи инвестиции могут перераспределяться между секторами.28Будем обозначать через j параметр, определяющий номер сектора, и присвоим секторам следующие номера (индексы параметров модели):— материальный (нулевой) сектор имеет индекс j = 0;— фондосоздающий (первый) сектор имеет индекс j = 1;— потребительский (второй) сектор имеет индекс j = 2.В модели используются следующие основные показатели (параметры):Yj — объем произведенной продукции в j-ом секторе;Kj — основные производственные фонды (капитал) в j-ом секторе;Lj — число занятых (объем трудовых ресурсов) в j-ом секторе;Ij — объем инвестиций в j-ый сектор;ν — доля прироста единицы объема трудовых ресурсов за единицу времениво всей экономической системе;µj — доля выбывших за единицу времени основных производственных фондовв j-ом секторе экономики;aj — коэффициент прямых материальных затрат в j-ом секторе.Предполагается, что основные параметры трехсекторной модели Yj , Kj , Lj ,Ij , j = 0, 1, 2, связаны следующими соотношениями (заметим, что данные основныепараметры зависят от времени t, но иногда для краткости эта зависимость не указывается):Yj (t) = Fj (Kj , Lj ),j = 0, 1, 2,— объем произведенного продукта в каждом секторе, где Fj (Kj , Lj ), j = 0, 1, 2, —некоторые заданные функции, которые в теории называются производственнымифункциями;Kj= Ij − µj Kj (t),dtKj (0) = Kj,0 ,j = 0, 1, 2,— соотношения, описывающие динамику или изменения во времени основных производственных фондов (капитала) в каждом секторе.В модели трехсекторной экономики выполняются также соотношения, называемые балансовыми, которые имеют следующий вид:Y1 = I0 + I1 + I2— объем производства фондосоздающего сектора предполагается равным суммарному объему инвестиций (баланс инвестиций);L = L0 + L1 + L229— распределение числа занятых по секторам (баланс трудовых ресурсов);Y0 = a0 Y0 + a1 Y1 + a2 Y2— распределение продукции материального сектора (материальный баланс).С точки зрения общей теории динамических систем, входом в рассматриваемую систему служат трудовые ресурсы L, а выходом — объем продукции потребительского сектора Y2 (предметы потребления).

Влияние природных ресурсов отражено в параметрах функции F0 (K0 , L0 ), задающей объем производства материальногосектора. Такая интерпретация модели определяется ее экономическим содержанием.Заметим, что рассматриваемая система является нелинейной, поскольку производственные функции Fj (Kj , Lj ), j = 0, 1, 2, нелинейны.

В дальнейшем будет предполагаться, что производственные функции заданы аналитически в конкретной форме.3.2Разработка специальной версии динамической модели функционирования трехсекторной экономической системыПерейдем к разработке специальной версии техсекторной динамической модели функционирования экономической системы.

В данной версии модели основная роль отводится первому (фондосоздающему) сектору, поскольку производство средств производства определяет характер всей экономической системы в целом. Производствофондосоздающего сектора определяет объем инвестиций в системе по всем секторам. Инвестиции, в свою очередь, определяют закономерности роста производства вкаждом секторе. Таким образом, новую трехсекторную динамическую модель естественно называть инвестиционной. При этом среди параметров инвестиций особовыделяются инвестиции в фондосоздающий сектор экономики.Приведем основные аналитические соотношения, характеризующие инвестиционную трехсекторную модель.Для удобства аналитического исследования в данной работе будут использоваться так называемые удельные параметры, определяемые по отношению к единицеобъема трудовых ресурсов.Введем следующие обозначения:kj =KjLj— фондовооруженность j-ого сектора экономики (удельный капитал),IjLj— удельные инвестиции в j-ый сектор экономики, j = 0, 1, 2;j = 0, 1, 2;ij =30yj =YjLj— удельный выпуск продукции j-ого сектора экономики, по отноше-нию к единице объема трудовых ресурсов данного сектора или производительностьтруда в данном секторе, j = 0, 1, 2;ŷj =YjL— удельный выпуск продукции j-ого сектора по отношению к единицеобъема трудовых ресурсов, занятых во всей экономической системе, j = 0, 1, 2.В настоящем исследовании трехсекторная модель экономики рассматривается на некотором конечном заданном временном интервале [0, T ] и дополнительновыполняются следующие предположения:1.Производственная функция в каждом секторе представляет собой явно заданную функцию Кобба-Дугласа, то естьα1−αjYj (t) = Fj (Kj (t), Lj (t)) = Aj Kj j (t)Lj(t),где 0 < Aj < ∞, 0 < αj < 1, j = 0, 1, 2 — заданные параметры.

С учетом данногопредположения получим следующие соотношения для удельных параметровFj (Kj , Lj )Yj (t)α== Aj kj j (t),Lj (t)Lj (t)Yj (t)Fj (Kj , Lj )Lj (t) Fj (Kj , Lj )ŷj (t) ==== θj Aj kjα1 (t),L(t)L(t)L(t)Lj (t)yj (t) =где θj =Lj,Lj = 0, 1, 2.2. Общее число занятых в производственной сфере и число занятых в j-омсекторе экономики изменяется с постоянным темпом прироста на данном интервалевремени.L(t) = L(0)eνt = L0 eνt ,Lj (t) = Lj (0)eνt = Lj,0 eνt ,j = 0, 1, 2.3.