Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 8

[2],[3],[19]):ṗ = −Hk (t, k0 , k1 , k2 , u1 , p0 , p1 , p2 , λ∗0 ) = −ϕ∗k (t, k, u1 )p + λ∗0 f0,k (t, k, u1 ),(3.4.6)Подставив в соотношение (3.4.5) вспомогательные выражения ϕ∗k (t, k, u1 )p, f0,k (t, k, u1 ),получаем систему сопряженных уравнений:ṗ0 (t) = λ0 p0 (t),(1)ṗ1 (t) = −l0 ρA1 α1 k1α1 −1 (t)(1 − u1 (t))p0 (t) − [−λ1 + A1 α1 k1α1 −1 (t)u1 (t)]p1 (t)(1)−l2 (1 − ρ)A1 α1 k1α1 −1 (1 − u1 (t))p2 (t),ṗ2 (t) = λ2 p2 (t) − B2 e−δt α2 k2α2 −1 (t).42Перепишем данную систему, преобразовав уравнение с номером j = 1ṗ0 (t) = λ0 p0 (t),hi(1)(1)α1 −1ṗ1 (t) = λ1 p1 (t) − A1 α1 k1 (t) l0 ρp0 (t) + l2 (1 − ρ)p2 (t) (1 − u1 (t)) − A1 α1 k1α1 −1 (t)u1 (t),ṗ (t) = λ p (t) − B e−δt α k α2 −1 (t).22 222 2(3.4.7)Выпишем условие трансверсальности в точке t = T (незакрепленный конецтраектории).Теоретическая форма условия трансверсальности для классической задачиоптимального управления [3] имеет видp(T ) = −λ∗0 ψ̂k(1) (k(T )),В данном соотношении функция ψ̂(k (1) ) = e−δT ψ(k (1) ) от векторного аргумента k (1) =(1)(1)(1)(k0 , k1 , k2 ) определяет аналитическую форму терминального члена целевого функционала (3.4.1).

Конструкция ψ̂k(1) (k(T )) представляет собой вектор частных произ(1)(1)(1)водных функции ψ̂(k (1) ) по компонентам вектора k (1) = (k0 , k1 , k2 ), вычисленный(1)(1)(1)в точке k (1) = (k0 , k1 , k2 ) = (k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )). Как уже отмечалось выше, врассматриваемой задаче оптимального управления можно положить λ∗0 = −1. Такимобразом, условие трансверсальности в точке t = T можно записать в видеp(T ) = ψ̂k(1) (k(T )) = e−δT ψk(1) (k(T )).(3.4.8)Соотношение (3.4.8) в координатной форме имеет вид(0)p0 (T ) = e−δT ψk(1) (k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )) = ψ0 (T ),0(0)p1 (T ) = e−δT ψk(1) (k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )) = ψ1 (T ),(3.4.9)1(0)p2 (T ) = e−δT ψk(1) (k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )) = ψ2 (T ),2Заметим,что терминальная функция целевого функционала ψ(k0 , k1 , k2 ) предполагается заданной аналитически. Частные производные данной функции по аргу(1)(1)(1)ментам k0 , k1 , k2 также известны.

Таким образом, правая часть условия трансверсальности (3.4.8) или, в координатной форме, равенства (3.4.9), представляет собой(0)(0)(0)заданную векторную величину, которая для краткости обозначается (ψ0 (T ), ψ1 (T ), ψ2 (T )).(0)(0)(0)Уточним, что векторная величина (ψ0 (T ), ψ1 (T ), ψ2 (T )) аналитически выражается через значения функций состояний системы в точке t = T . На данном этапе43исследования эти значения еще не известны. Однако в дальнейшем значения функций k0 (t), k1 (t), k2 (t) будут определены при всех t ∈ [0, T ], и значит, и при t = Tдля значений управления, удовлетворяющих необходимым условиям экстремума вформе принципа максимума.Условия трансверсальности по своему математическому содержанию представляют собой граничные условия к сопряженному уравнению.

Таким образом, получаем задачу Коши для векторного сопряженного параметра p(t) = (p0 (t), p1 (t), p2 (t))ṗ0 (t) = λ0 p0 (t),hi(1)(1)α1 −1(t)lρp(t)+l(1−ρ)p(t)(1 − u1 ) − A1 α1 k1α1 −1 (t)u1 ,ṗ(t)=λp(t)−Aαk0211 11 1 102ṗ (t) = λ p (t) − B e−δt α k α2 −1 (t).22 222 2(0)(0)p0 (T ) = ψ0 (T ),(0)p1 (T ) = ψ1 (T ),p2 (T ) = ψ2 (T ).Основным необходимым условием, входящим в принцип максимума, является условие максимума функции Понтрягина, которое в данной задаче может бытьсформулировано следующим образомmax H(t, k0 , k1 , k2 ; u1 , p0 , p1 , p2 ) = max − [λ0 k0 p0 + λ1 k1 p1 + λ2 k2 p2 ] + B2 e−δt k2α2u1 ∈Uu1 ∈U(1)(2)(1)(2)+A1 k1α1 [l0 ρp0 + l0 (1 − ρ)p2 ] + A1 k1α1 [−l0 ρp0 + p1 − l0 (1 − ρ)p2 ]u1= H(t, k0 , k1 , k2 ; u1∗ , p0 , p1 , p2 ),(3.4.10)u1 = u1∗ (t)где максимум функции Понтрягина по параметру u1 определяется на множестве допустимых значений данного параметра управления (3.4.4)0 ≤ u1 (t) =i1 (t)≤ 1,A1 k1α1 (t)которое должно выполняться при любом фиксированном значении временного параметра t ∈ [0, T ].

Смысл условия (3.4.10) состоит в том, что функция Понтрягинадостигает максимума на оптимальном значении параметра управления, то есть приu1 (t) = u1∗ (t). При этом остальные величины, входящие в выражение для функцииПонтрягина, а именно, функции состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t) и сопряженные переменные p0 (t), p1 (t), p2 (t), предполагаются фиксированными.

Заметим также, что условиемаксимума выполняется при всех значениях t ∈ [0, T ], кроме, быть может, точек переключения управления, или, что то же самое, точек разрыва функции оптимальногоуправления u1∗ (t).44Полученные выше соотношения (3.4.7), (3.4.9), (3.4.10) совпадают с соответствующими соотношениями, приведенными в формулировке теоремы 1. Заметим дополнительно, что по содержанию необходимых условий экстремума, указанные соотношения должны выполняться для оптимального значения параметра оптимизации,то есть для оптимального управляемого процесса, когда k0 (t) = k0∗ (t), k1 (t) = k1∗ (t),k2 (t) = k2∗ (t), u1 (t) = u1∗ (t).Теорема 2 доказана.Для нахождения всех неизвестных параметров в данной задаче оптимального управления к приведенным выше соотношениям (3.4.7), (3.4.9), (3.4.10), представляющим собой необходимые условия экстремума, следует добавить ограниченияисходной задачи, а именно(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 k1α1 (t)(1 − u1 (t)),k̇1 (t) = −λ1 k1 (t) + u1 (t)A1 k1α1 ,k̇ (t) = −λ k (t) + l(1) (1 − ρ)A k α1 (t)(1 − u (t))22 21 112(3.4.11)— соотношения, выражающие дифференциальную связь;k0 (0) = k0,0 ,k1 (0) = k1,0 ,k2 (0) = k2,0(3.4.12)— соотношения, задающие граничные условия на параметр k(0) = (k0 (0), k1 (0), k2 (0));такая задача называется задачей с закрепленным левым концом траектории;0 ≤ u1 (t) ≤ 1,t ∈ [0, T ],(3.4.13)соотношение, задающее ограничения на управления.

В ходе дальнейшей аналитической работы необходимо исследовать полную систему соотношений (3.4.7), (3.4.9),(3.4.10), (3.4.11)–(3.4.13) включающую необходимые условия и ограничения исходнойзадачи.С формальной точки зрения решение данной полной системы соотношенийпредставляет собой управляемый процесс (k0 (t), k1 (t), k2 (t); u1 (t)) допустимый в исходной задаче оптимального управления, а также удовлетворяющий необходимымусловиям экстремума в форме принципа максимума. В терминологии теории экстремальных задач такой объект называется допустимой экстремалью [9].Начнем исследование указанной полной системы соотношений с анализа условия максимума функции Понтрягина.

Определив структуру оптимального управления, можно описать схему дальнейшего аналитического исследования. Рассмотримусловие максимума функции Понтрягина (3.4.10).45Преобразуем выражение для функции Понтрягина, выделив отдельно членыэтого выражения, содержащие параметр управления u1 = u1 (t), получаемH(t, k0 , k1 , k2 , u1 , p0 , p1 , p2 ) = −[λ0 k0 p0 + λ1 k1 p1 + λ2 k2 p2 ] + B2 e−δt k2α2(1)(1)(2)(2)+A1 k1α1 [l0 ρp0 + l0 (1 − ρ)p2 ] + A1 k1α1 [−l0 ρp0 + p1 − l0 (1 − ρ)p2 ]u1Введем вспомогательную функцию, зависящую от сопряженных параметров(1)(1)Q(p0 , p1 , p2 ) = −l0 ρp0 (t) + p1 (t) − l2 (1 − ρ)p2 (t).(3.4.14)С учетом введенного обозначения выражение для функции Понтрягина примет видH(t; k0 , k1 , k2 ; u1 ; p0 , p1 , p2 ) = A1 k1α1 Q(p0 , p1 , p2 )u1 − [λ0 k0 p0 + λ1 k1 p1 + λ2 k2 p2 ](3.4.15)(1)(2)+B2 e−δt k2α2 + A1 k1α1 [l0 ρp0 + l0 (1 − ρ)p2 ]Как уже отмечалось выше, аналитический смысл условия максимума состоитв том, что при любом фиксированном значении параметра времени t ∈ [0, T ], кроме, быть может, точек разрыва функции оптимального управления u1∗ (t), максимумфункции Понтрягина по параметру управления u1 на множестве допустимых значений этого параметра достигается на оптимальном значении u1∗ (t).

В рассматриваемой задаче при любом фиксированном значении параметра времени t и фиксированных значениях параметров k0 (t), k1 (t), k2 (t), p0 (t), p1 (t), p2 (t); функция Понтрягиналинейно зависит от параметра u1 с коэффициентом, равным величине A1 k1α1 Q(p0 , p1 , p2 ).Поскольку в рассматриваемой экономической модели функция y1 (t) = A1 k1α1 (t) принимает только положительные значения, знак коэффициента перед переменной величиной u1 совпадает со знаком сомножителя Q(p0 , p1 , p2 ). Отсюда следует, что функция Понтрягина может иметь один из трех вариантов зависимости от параметра u1на интервале 0 ≤ u1 ≤ 1.1) Если Q(p0 , p1 , p2 ) > 0, то функция Понтрягина является возрастающей идостигает своего максимума в правой граничной точке указанного интервала, то естьпри u1 = 1.2) Если Q(p0 , p1 , p2 ) = 0, то функция Понтрягина явно не зависит от параметра u1 , то есть ведет себя как постоянная величина на интервале 0 ≤ u1 ≤ 1.3) Если Q(p0 , p1 , p2 ) < 0, то функция Понтрягина является убывающей идостигает максимума в левой граничной точке интервала возможных значений параметра u1 , то есть u1 = 0.46Из приведенных рассуждений следует, что структура функции оптимальногоуправления u1∗ (t) зависит от значения вспомогательной функции Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t))в каждой точке t ∈ [0, T ] и может быть выражена следующей формулой1,если Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) > 0,u1∗ (t) = u(0)1 (t), если Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) = 0,0,если Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) < 0(3.4.16)(0)В соотношении (3.4.16) через u1 обозначено особое управление, возникающее приусловии когда Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) = 0, и функция Понтрягина не зависит явно отпараметра управления u1 .

Особое управление не определяется из условий максимумафункции Понтрягина, и его необходимо находить специальным образом в каждойотдельной задаче.Введем понятие переключения управления, основываясь на структуре оптимального управления (3.4.16). Будем называть точку τ ∈ [0, T ] точкой переключенияуправления, если в этой точке функция u1∗ (t) изменяет свое аналитическое представление, переходя от одной из трех форм представления, определенных соотношением(3.4.16), к другой. Иначе говоря, точкой переключения может быть точка одного издвух видов.1) Изолированная точка, в которой функция Q(t) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) изменяет знак.

При этом ∃δ > 0 такое, что Q(τ ) = 0, Q(t) 6= 0, τ − δ < t < τ , τ < t < τ + δ.2) Начальная или конечная точка интервала времени, на котором функцияQ(t) принимает нулевое значение. Будем говорить также, что в точке переключения функция управления меняет свой аналитический характер или осуществляетсяпереход на другой режим управления.Функция Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) является непрерывно дифференцируемой функцией от аргументов p0 , p1 , p2 . В свою очередь сопряженные переменные p0 (t), p1 (t), p2 (t)непрерывны при всех t ∈ [0, T ] и непрерывно дифференцируемы при всех значениях t ∈ [0, T ], кроме точек разрыва функции, определяющей величину управленияu1 (t). Однако, несмотря на эти "хорошие"аналитические свойства, поведение функции Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) на конечном интервале [0, T ] может быть достаточно сложным. В частности, теоретически возможен вариант, когда эта функция бесконечноечисло раз меняет знак, что привело бы к необходимости бесконечного числа переключений управления на данном конечном интервале времени.