Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели))

Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования"Национальный исследовательский университет"Высшая школа экономики"На правах рукописиЗасыпко Вероника ВладимировнаРазработка численно-аналитического метода и алгоритма решениязадачи оптимального управления (на примере трехсекторнойинвестиционной экономической модели)ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени кандидата наукпо прикладной математике НИУ ВШЭНаучный руководитель:кандидат физико-математическихнаук, доцентШнурков Петр ВикторовичМосква - 2018СодержаниеВведение.3Глава 1. О некоторых аналитических и численных методах исследования задач оптимального управления1.1Общая постановка задачи оптимального управления и ее исследованиена основе принципа максимума .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.21.377Численные методы решения задач оптимального управления . . . . . . 13Аналитическое исследование задачи оптимального управления в односекторной экономической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 16Глава 2. Разработка алгоритма численного решения задачи оптимального управления2.120Классическая задача оптимального управления с фиксированным интервалом времени и закрепленным левым концом траектории . . . . . . 202.2Общее описание численного алгоритма . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 22Глава 3. Задача оптимального управления в закрытой динамической модели трехсекторной экономики. Постановка и аналитическоеисследование3.128Основные характеристики и динамические соотношения, описывающие трехсекторную модель экономики . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 283.2Разработка специальной версии динамической модели функционирования трехсекторной экономической системы . . . . . . . . . . . . . . . 303.3Формальная постановка задачи оптимального управления. . . . . . . . 333.4Необходимые условия экстремума в задаче оптимального управленияв форме принципа максимума . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5Решение системы сопряженных уравнений для функции управлениябез переключений и с одним переключением . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6Решение системы сопряженных уравнений для функций управления спроизвольным конечным числом точек переключения . . . . . . . . . . 623.7Решение системы уравнений дифференциальной связи для функцииуправления без переключений и с одним переключением . . . . . .

. . . 753.8Решение системы уравнений дифференциальной связи для функцийуправления с произвольным конечным числом точек переключения . . 9013.9Аналитические представления для сопряженных переменных . . . . . . 1003.10 Качественный анализ поведения состояний системы для вариантов управления без переключения и с одним переключением . . . . . . . . . . . . 103Глава 4. Реализация построенного алгоритма численного исследования задачи оптимального управления инвестициями в трехсекторноймодели экономики4.1120Описание алгоритма численного решения системы, состоящей из необходимых условий и ограничений в поставленной задаче оптимальногоуправления . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2Формальное описание множества рассматриваемых функций управления1234.3Блок-схема алгоритма численного решения . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4Программная реализация алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5Задание исходных данных. Численные значения основных параметровмодели .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.6Представление результатов работы программного комплекса . . . . . . 134Заключение138Библиография1402ВведениеДиссертационная работа посвящена проблемам, связанным с численным решениемзадачи оптимального управления. Под задачей оптимального управления понимается классическая экстремальная проблема на множестве пар функций (x(t), u(t)),t ∈ [t0 , t1 ], где x(t) - состояние системы в момент времени t, u(t) - управлениев указанный момент времени. Целевой показатель представляет собой смешанныйинтегрально-терминальный функционал.

Ограничения состоят из системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы и граничных условий наконцах интервала времени [t0 , t1 ] и ограничений на допустимые управления. Общаяматематическая постановка таких задач приведена в начале главы 1, а более частная,с которой непосредственно связано диссертационное исследование - в начале главы2.Указанная математическая задача оптимального управления имеет приложения в различных областях техники и экономики. Такие приложения хорошо известныи описаны в научной литературе (см., например, [2],[6],[9],[12],[18]).Основным математическим результатом используемым для решения такойзадачи, является принцип максимума Понтрягина.

По своему математическому содержанию этот результат представляет собой систему необходимых условий экстремума в рассматриваемой задаче.К сожалению, метод, основанный на использовании принципа максимума,крайне редко позволяет получить аналитические решения задач оптимального управления. Непосредственное применение этого метода связано с необходимостью решения нескольких взаимосвязанных систем соотношений (необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи). Получить аналитические решения этойсистемы чаще всего невозможно.

В связи с этим особое значение приобретает проблем разработки новых численно-аналитических и численных методов, позволяющиханализировать упомянутые системы соотношений, находить допустимые экстремалии оптимальные управляемые процессы. Данное исследование посвящено именно этойпроблеме.Содержанием диссертационного исследования является разработка новогометода численного решения системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограничений классической задачи оптимального управления, общая постановка которой приведена в начале главы 2. В целом этот метод позволяет исследовать3некоторый достаточно широкий класс допустимых функций управления u(t) и найтив нем функции управления и соответствующие траектории x(t), t ∈ [t0 , t1 ], которыеудовлетворяют указанной системе и представляют собой допустимые экстремали исходной задачи.

Общее описание разработанного метода и его применения к исследованию классической задачи оптимального управления приведено в главе 2.Дальнейшее исследование состоит в применении разработанного метода длярешения конкретной задачи оптимального управления, сформулированной на основетак называемой трехсекторной динамической экономической модели.В главе 3 приведена оригинальная постановка задачи управления и ее частичное исследование при помощи аналитических методов.

В главе 4 исследованиеупомянутой конкретной задачи продолжается при помощи разработанного численного метода и соответствующего численного алгоритма. Приведем более подробноеописание исследования конкретной экономико-математической проблемы, проведенного в главах 3 и 4.Как уже отмечалось, в главе 3 рассматривается задача оптимального управления некоторой динамической экономической системой. Такая экономическая система в теории называется закрытой.

По своему содержанию эта система представляетсобой национальную экономику или экономическую систему отдельного государства,рассматриваемую без учета внешнеэкономических связей. Для описания такой системы используется динамическая модель трехсекторной экономики, в которой основные отрасли объединены в укрупненные подразделения, называемые секторами. Врамках этой модели сформулирована и исследована математическая проблема оптимального управления с непрерывным временным параметром, рассматриваемая назаданном конечном интервале времени. В поставленной задаче оптимального управления состояниями системы являются величины удельного капитала в каждом изсекторов, а параметром управления является величина удельных инвестиций в сектор, производящий средства производства (так называемый фондосоздающий сектор).Отметим, что в математической проблеме управления экономической системой параметр, характеризующий объем инвестиций, естественно рассматривать какпараметр управления.

В то же время, в многосекторной экономической модели ключевую роль будут играть инвестиции в сектор, производящий средства производства,поскольку средства производства определяют технологический уровень производства во всех секторах.4Заметим также, что целевой функционал в рассматриваемой задаче оптимального управления имеет смешанный характер. Интегральная часть этого функционала представляет собой интегрированное удельное потребление за данный периодвремени, а терминальная часть зависит от значений параметров удельного капиталав конечный момент времени, то есть отражает достигнутый уровень технологического развития в каждом из секторов.Математически поставленная задача относится к классическим задачам оптимального управления на заданном конечном интервале времени со смешаннымцелевым функционалом, ограничениями в форме дифференциальной связи, закрепленным левым концом траектории и ограничениями на управление.Теперь отметим некоторые принципиальные аналитические особенности рассматриваемой проблемы оптимального управления.

Для решения этой проблемы используется метод, основанный на принципе максимума Понтрягина. В ходе реализации этого метода используется общая система соотношений, состоящая из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи. Аналитическое исследование указанной системы представляет собой достаточно сложную математическую проблему. Действительно, в соответствии с условием максимума, структурафункции, задающей оптимальное управление, зависит от некоторой вспомогательнойфункции, которая определяется сопряженными переменными.

Система дифференциальных уравнений относительно сопряженных переменных (сопряженные уравнения) зависит от функций, выражающих состояния в рассматриваемой задаче оптимального управления, то есть от функций удельного капитала в каждом из секторов. В свою очередь, система дифференциальных уравнений относительно функцийсостояний или функций удельного капитала ( в теории оптимального управленияэта система называется дифференциальной связью) зависит от функции параметрауправления.При помощи условия максимума определяется общая структура оптимальных управлений. Для функций управления, имеющих данную структуру с произвольным конечным числом переключений, находятся аналитические представлениядля функций состояний и так называемых сопряженных переменных, которые посвоему теоретическому содержанию представляют собой множители Лагранжа в исходной экстремальной задаче с ограничениями.

На этом возможности аналитического исследования поставленной задачи оптимального управления исчерпываются.В завершающей четвертой главе диссертации проводится реализация разра5ботанного в главе 2 метода численного решения задачи оптимального управления втрехсекторной модели экономики. Именно, строится алгоритм и создается его программная реализация, позволяющие численно определить допустимые экстремали впоставленной задаче. При этом используются найденные в главе 3 аналитическиепредставления для функций состояний и сопряженных переменных. В результатесоздается возможность численно определить те функции управления и соответствующие им функции состояний, которые удовлетворяют общей системе соотношений,состоящей из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи оптимального управления.