Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 16

Имеем:Zt(1 − α1 )A1 eλ1 (1−α1 )(z−τ ) dz =A1A1 λ1 (1−α1 )(z−τ ) t·e|τ =· [eλ1 (1−α1 )(t−τ ) − 1]λ1λ1τ88Таким образом, получаем явное выражение для функции g1 (t).A11−α1−λ1 (1−α1 )(t−τ )λ1 (1−α1 )(t−τ )k1,τ +u(t) = e· [e− 1] =λ1A11−α1+= e−λ1 (1−α1 )(t−τ ) k1,τ[1 − eλ1 (1−α1 )(t−τ ) ]λ1(1)Теперь можно определить функцию k1 (t).

Учитывая соотношение k1 (1) (t) =1[g1 (t)] (1−α1 ) (t), получим окончательное явное представление для решения дифференциального уравнения (3.7.41)(1)1−α1+k1 (t) = e−λ1 (1−α1 )(t−τ ) k1,τ 1A1[1 − eλ1 (1−α1 )(t−τ ) ] 1−α1 , τ ≤ t ≤ T.λ1(3.7.42)3. Найдем решение дифференциального уравнения относительно функции(1)k2 (t)(1)(1)k̇2 (t) = −λ2 k2 (t).Отметим вновь аналогию данного уравнения с уравнением (3.7.12), исследованным ранее. Решение данного линейного однородного уравнения на интервале(0)(1)времени τ ≤ t ≤ T при граничном условии k2 (τ ) = k2 (τ ) = k2,τ , где величина k2,τопределяется формулой (3.7.39), представляется в виде(1)k2 (t) = k2,τ e−λ1 (t−τ ) , τ ≤ t ≤ T.(3.7.43)Использовав полученные результаты, находим явные аналитические представления для функций k0 (t), k1 (t), k2 (t), определяющих траектории процесса навсем интервале времени 0 ≤ t ≤ T при наличии одной точки переключения управления в момент времени τ , 0 < τ < T с максимального на минимальное значениеα1α(1)(1)l0 ρA1 k1,0l ρA1 k 1(0)−λt0k0 (t) = ek0,0 − λ0 −λ1 α1 + e−λ1 α1 t 0λ0 −λ1 α1,0,1(0)k1 (t) = k1,0 e−λ1 t ,α1α(1)(1)l2 (1−ρ)A1 k1,0l (1−ρ)A1 k 1(0)−λt2k2,0 − λ2 −λ1 α1+ e−λ1 α1 t 2 λ2 −λ1 α1 1,0 .k2 (t) = e0 ≤ t < τ;(1)k0 (t) = k0,τ e−λ0 (t−τ ) ,(3.7.44) 1A1(1)−λ1 (1−α1 )(t−τ ) 1−α1λ1 (1−α1 )(t−τ ) 1−α1k(t)=ek+[1−e],11,τλ1k (1) (t) = k e−λ1 (t−τ ) ,22,ττ < t ≤ T,89где значения граничных условий k0,τ , k1,τ , k2,τ заданы соотношениями (3.7.39).Теорема 14 доказана.Итак, для каждого из описанных выше четырех вариантов поведения функций управления на отрезке времени [0, T ] получены явные выражения для функцийфондовооруженности k0 (t), k1 (t), k2 (t), являющихся состояниями рассматриваемойэкономической системы.3.8Решение системы уравнений дифференциальной связи дляфункций управления с произвольным конечным числомточек переключенияВведем обозначения для различных аналитических представлений функций состояний системы (удельного капитала) на интервалах времени между последовательнымимоментами переключений, аналогично проделанному в разделе 3.6.ki (t) =(0)ki (t),(1)ki (t),0 ≤ t ≤ τ1 ,τ1 ≤ t ≤ τ2 ,.........k (n) (t), τn ≤ t ≤ T,ii = 0, 1, 2.Из свойства непрерывности функций состояний ki (t), i = 0, 1, 2 при всех значениях t ∈ [0, T ] получаем(j−1)ki(j)(τj ) = ki (τj ), j = 1, 2..., n; i = 0, 1, 2.(3.8.1)Для удобства введем дополнительные обозначения(j)ki (τj ) = ki,τj , j = 1, 2..., n; i = 0, 1, 2.Теперь найдем решения системы уравнений дифференциальной связи дляуказанных выше четырех вариантов поведения функции переключений Q(p0 , p1 , p2 )и соответствующих вариантов структуры функции управления u1∗ (t).Теорема 15.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиям 1 раздела 3.6, а соответствующая функция управления u1∗ (t) задается формулой (3.6.1). Тогда решение системы90уравнений дифференциальной связи определяется формулами(2j−2)k0(t) = k0,τ2j−2 e−λ0 (t−τ2j−2 ) ,1 1−α1(2j−2)1−α1A1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−2 )k1,τ2j−2 − λ1 + λ1k1(t) = e,k (2j−2) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−2 ) , τ≤t≤τ2,τ2j−222j−22j−1где значения ki,τ2j−2 , i = 0, 1, 2 определяются на интервале [τ2j−3 , τ2j−2 ] при t = τ2j−2 ,j = 2, 3, ..., m, причем ki,τ0 = ki,0 , i = 0, 1, 2 при j = 1;(2j−1)k0(t) = e−λ0 t k0,τ2j−1 eλ0 τ2j−1 +(2j−1)k1(t) = k1,τ2j−1 e−λ1 (t−τ2j−1 ) ,(2j−1)−λt2k2(t) = ek2,τ2j−1 eλ2 τ2j−1 +(1)α1l0 ρA1 k1,τ2j−1eλ1 α1 τ2j−1λ0 −λ1 α1(1)l2 (1−ρ)A1 ke(λ0 −λ1 α1 )t − e(λ0 −λ1 α1 )τ2j−1,α1λ α τ1,τ2j−1 e 1 1 2j−1λ2 −λ1 α1(λ2 −λ1 α1 )t(λ2 −λ1 α1 )τ2j−1e−eτ2j−1 ≤ t ≤ τ2jгде значения ki,τ2j−1 определяются равенствами(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ), i = 0, 1, 2, j = 1, 2, ..., m.Доказательство.

Рассмотрим случай, когда число переключений нечетноn = 2m − 1 и функция управления задается формулой (3.6.1) . С учетом заданныхначальных условий в точке t = 0 решение системы уравнений дифференциальнойсвязи (3.3.14) на начальном интервале времени [0, τ1 ] имеет вид(0)k0 (t) = k0,0 e−λ0 t ,1 1−α1(0)1−αA1A1−λ1 (1−α1 )t1k(t)=ek−,+11,0λ1λ1k (0) (t) = k e−λ2 t , 0 ≤ t ≤ τ .22,0(3.8.2)1Зафиксируем значения функций состояний в точке первого переключенияt = τ1 . Имеем(0)k0 (τ1 ) = k0,τ1 ,(0)k1 (τ1 ) = k1,τ1 ,(0)k2 (τ1 ) = k2,τ1(3.8.3)Полученные значения k0,τ1 , k1,τ1 , k2,τ1 будут задавать граничные условия для уравнений дифференциальной связи на интервале времени [τ1 , τ2 ].

Решение уравненийдифференциальной связи на этом интервале имеет вид91(1)−λt0k0,τ1 eλ0 τ1 +k0 (t) = e(1)k1 (t) = k1,τ1 e−λ1 (t−τ1 ) ,(1)k2 (t) = e−λ2 t k2,τ1 eλ2 τ1 +α(1)1 eλ1 τ1l0 ρA1 k1,τ(λ0 −λ1 α1 )te1λ0 −λ1 α1−e(λ0 −λ1 α1 )τ1,(3.8.4)α(1)1 eλ1 τ1l2 (1−ρ)A1 k1,τ1λ2 −λ1 α1e(λ2 −λ1 α1 )t − e(λ2 −λ1 α1 )τ1,τ1 ≤ t ≤ τ2 .Теперь рассмотрим общий случай и получим представления для функцийсостояний на произвольных последовательных интервалах между переключениями[τ2j−2 , τ2j−1 ] и [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m, τ0 = 0, τ2m = T . Предположим, что заданы значения функций состояний в некоторой точке переключения t = τ2j−2 , j = 1, 2, ..., m,τ0 = 0.

Именно(2j−2)ki(τ2j−2 ) = ki,τ2j−2 ,i = 0, 1, 2.(3.8.5)Из соотношения (3.8.1) следует, что граничное значение ki,τ2j−2 определяется(2j−3)как значение уже известной функции ki(t) в точке t = τ2j−2 при j = 2, ..., m,либо как заданное начальное значение функции ki (t) в точке t = τ0 = 0, ki,τ0 = ki,0 ,i = 0, 1, 2. Теперь найдем решение уравнений дифференциальной связи на интервале[τ2j−2 , τ2j−1 ].Управление на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ) определяется из формулы (3.6.1). Рассмотрим на данном интервале u1∗ (t) = 1. С учетом заданных граничных условий(3.8.5) решение системы уравнений дифференциальной связи на интервале [τ2j−2 , τ2j−1 ]имеет видk0(2j−2) (t) = k0,τ2j−2 e−λ0 (t−τ2j−2 ) ,(2j−2)1−α1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−2 )(t) = ek1,τ2j−2 − λ1 +k1k (2j−2) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−2 ) , τ≤t≤τ2,τ2j−222j−2A1λ11 1−α1,(3.8.6)2j−1Полученные формулы (3.8.6) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−2 , τ2j−1 ], j = 1, 2, ..., m, накоторых функция управления u1∗ (t) = 1, t ∈ [τ2j−2 , τ2j−1 ), j = 1, 2, ..., m.Предположим , далее, что заданы значения функций состояний в точке переключения τ2j−1 , а именно(2j−1)ki(τ2j−1 ) = ki,τ2j−1 ,92i = 0, 1, 2.(3.8.7)(2j−2)Граничное значение ki,τ2j−1 определяется как значение уже известной функции ki(t)в точке t = τ2j−1 при j = 1, 2, ..., m.

С учетом (3.8.1) получаем(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ),i = 0, 1, 2.(3.8.8)Найдем решение уравнений дифференциальной связи на интервале [τ2j−1 , τ2j ].Управление на интервале [τ2j−1 , τ2j ) также определяется из формулы (3.6.1);на данном интервале u1∗ (t) = 0. С учетом граничных условий (3.8.7) решение системыуравнений дифференциальной связи на интервале [τ2j−1 , τ2j ] имеет видα1(1)l0 ρA1 k1,τeλ1 α1 τ2j−1(2j−1)2j−1(λ0 −λ1 α1 )t(λ0 −λ1 α1 )τ2j−1−λ0 tλ0 τ2j−1e−e,k0(t) = ek0,τ2j−1 e+λ0 −λ1 α1(2j−1)k1(t) = k1,τ2j−1 e−λ1 (t−τ2j−1 ) ,α(1)l2 (1−ρ)A1 k 1λ α τ1,τ2j−1 e 1 1 2j−1(2j−1)λτ−λt(λ−λα)t(λ−λα)τ222112112j−1k2k2,τ2j−1 e 2j−1 +(t) = ee−eλ2 −λ1 α1(3.8.9)τ2j−1 ≤ t ≤ τ2jПолученные формулы (3.8.9) определяют вид функций состояний исследуемой экономической системы на интервалах времени [τ2j−1 , τ2j ], j = 1, 2, ..., m на которых функция управления u1∗ (t) = 0, t ∈ [τ2j−1 , τ2j ), j = 1, 2, ..., m.Таким образом, формулы (3.8.6) и (3.8.9) полностью определяют аналитические представления для функций состояний в случае 1 раздела 3.6, когда функцияуправления задается равенством (3.6.1).Теорема 15 доказана.Теорема 16.

Предположим, что в исходной задаче оптимального управленияфункция переключений Q(t) удовлетворяет условиям 2 раздела 3.6, а соответствующая функция управления u1∗ (t) задается формулой (3.6.2). Тогда решение системыуравнений дифференциальной связи определяется формуламиk (2j−2) (t) = k−λ0 (t−τ2j−2 ),0,τ2j−2 e01 1−α1(2j−2)1−α1A1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−2 )k1(t) = ek1,τ2j−2 − λ1 + λ1,k (2j−2) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−2 ) , τ≤t≤τ22,τ2j−22j−22j−1где значения ki,τ2j−2 , i = 0, 1, 2 определяются на интервале [τ2j−3 , τ2j−2 ] при t = τ2j−2 ,93j = 2, 3, ..., m, причем k0,τ0 = ki,0 , i = 0, 1, 2 при j = 1;(2j−2)k0(t) = k0,τ2j−2 e−λ0 (t−τ2j−2 ) ,(2j−2)1−α1A1−λ1 (1−α1 )(t−τ2j−2 )k1,τ2j−2 − λ1 +k1(t) = ek (2j−2) (t) = ke−λ2 (t−τ2j−2 ) , τ≤t≤τ2,τ2j−222j−2A1λ11 1−α1,2j−1где значения ki,τ2j−1 определяются равенствами(2j−2)ki,τ2j−1 = ki(τ2j−1 ), i = 0, 1, 2, j = 1, 2, ..., m.Доказательство. Рассмотрим случай, когда число переключений четно n =2m и функция управления задается формулой (3.6.2).

Заметим, что на начальноминтервале функция управления принимает значение u1∗ (t) = 1, t ∈ [0, τ1 ), как вслучае 1. С учетом заданных начальных условий в точке t = 0 решение системыуравнений дифференциальной связи (3.3.14) на начальном интервале времени [0, τ1 ]имеет вид, аналогичный (3.8.2).Получим общие представления для функции состояний в случае 2 на произвольных интервалах между переключениями [τ2j−2 , τ2j−1 ], [τ2j−1 , τ2j ].