Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 20

17: Переключение (-+).Поведение функции k2 (t) при выполнении условий(3.10.16).Рассмотрим переключение вида (+-). Функция оптимального управления вэтом случае имеет вид (3.10.10).При данном режиме управления на интервале [0, τ ] функция k1 (t) ведет себя(0)устойчиво, приближаясь к стационарному значению k1 сверху или снизу. В зависи(0)мости от соотношения между k1 и начальным значением k1,0 . После переключения,115на интервале времени [τ, T ] функция k1 (t) является экспоненциально убывающей. Таким образом, возможные варианты поведения k1 (t) изображены на рисунках 18,19.(0)Рис. 18: Переключение (+-).Поведение функции k1 (t) при условии k1,0 > k1 .(0)Рис.

19: Переключение (+-).Поведение функции k1 (t) при условии k1,0 < k1 .Рассмотрим теперь поведение функций k0 (t), k2 (t) при режиме управления(+-). Как следует из характера аналитических решений (3.7.35) при таком режиме управления функции k0 (t), k2 (t) экспоненциально убывают на интервале времени[0, τ ]. После переключения управления их поведение описывается более сложно и зависит от соотношения ряда вспомогательных параметров. Рассмотрим это поведениена примере функции k0 (t).116(1)Как следует из системы (3.7.27), функция k1 (t) = k1 (t) на интервале времени[τ, T ] удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению(1)(1)(1)(1)k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 [k1 (t)]α1(3.10.18)(1)где функция k1 (t) определяется явной формулой (3.7.35)(1)k1 (t) = k1,τ e−λ1 (t−τ )(3.10.19)Подставляя (3.10.19) в уравнение (3.10.18) получим(1)(1)(1)α1 −λ1 α1 (t−τ )e,k̇0 (t) = −λ0 k0 (t) + l0 ρA1 k1,τt ∈ [τ, T ].(3.10.20)Анализ решения уравнения (3.10.20) производится аналогично анализу уравнений (3.10.4).

Рассмотрим вспомогательную функцию(1)(1)κ0 (t)l ρA1 α1 −α1 λ1 (t−τ )= 0,k1,τ eλ0t ∈ [τ, T ],(3.10.21)которая экспоненциально убывает на интервале времени [τ, T ].(1)(1)Если для некоторых значений t выполняется условие k0 (t) < κ0 (t), то(1)(1)k̇0 (t) > 0 и функция k0 (t) возрастает; если же при соответствующих значениях(1)(1)(1)t выполняется обратное неравенство k0 (t) > κ0 (t), то то k̇0 (t) < 0 и функция(1)k0 (t) убывает.Рассмотрим уравнение вида(1)(1)k0 (t) = κ0 (t),(1)(3.10.22)(1)где κ0 (t) задается формулой (3.10.21), а функция k0 (t) определена явно в формулах (3.7.35).(1)Обозначим через t0 корень этого уравнения.

Заметим, что если выполняетсяусловие(1)k0,τ < κ0 (τ ),то уравнение (3.10.22) имеет решение. Предположим, что корень этого уравнения(1)t0 ∈ (τ, T ).(1)Поскольку функция κ0 (t) является монотонной, можно сделать следующиевводы.Если выполняется условие(1)k0,τ <(1)κ0 (τ )l ρA1 α1= 0k1,τ ,λ0117(1)(1)(1)то на интервале времени [τ, t0 ] функция k0 (t) удовлетворяет неравенству k0 (t) <(1)(1)κ0 (t) и является возрастающей, а на интервале [t0 , T ] удовлетворяет неравенству(1)(1)k0 (t) > κ0 (t) и является убывающей.Если же выполняется условие(1)(1)k0,τ > κ0 (τ ) =l0 ρA1 α1k1,τ ,λ0(1)(1)то на всем интервале времени [τ, T ] функция k0 (t) удовлетворяет неравенству k0 (t) >(1)κ0 (t) и является монотонно убывающей.

Иллюстрации к указанным вариантам по(1)ведения функции k0 (t) приведены на рисунках 20 и 21 соответственно. Используя(1)(1)(1)(1)Рис. 20: Переключение (+-).Поведение функции k0 (t) при условии k0,τ < κ0 (τ ).Рис. 21: Переключение (+-).Поведение функции k0 (t) при условии k0,τ > κ0 (τ ).полученные результаты, касающиеся характера поведения функции k0 (t) на интервалах [0, τ ] и [τ, T ] отметим, что на первом интервале функция k0 (t) является экспо118ненциально убывающей, а на втором интервале может вести себя двояким образом,в зависимости от соотношения параметров в точке t = τ .

Изобразим эти вариантыповедения на отдельных графиках (см. рисунки 22 и 23).(1)(1)(1)(1)Рис. 22: Переключение (+-).Поведение функции k0 (t) при условии k0,τ > κ0 (τ ).Рис. 23: Переключение (+-).Поведение функции k0 (t) при условии k0,τ > κ0 (τ ).Таким образом, определен качественный характер поведения функции k0 (t)на всем интервале времени [0, T ] для варианта управления (+-). Поведение функцииk2 (t) при таком же варианте управления имеет аналогичный характер.119Глава 4.

Реализация построенного алгоритма численного исследования задачи оптимального управления инвестициями в трехсекторной модели экономики4.1Описание алгоритма численного решения системы, состоящей из необходимых условий и ограничений в поставленной задаче оптимального управленияРезультаты, полученные в главе 3, фактически определяют явные аналитическиепредставления для функции переключения Q(t) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) при указанныхвариантах структуры функции управления. Иначе говоря, с помощью полученныхвыше аналитических формул можно вычислить значение функции переключенияQ(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) при любом фиксированном значении t ∈ [0, T ] для каждого израссмотренных вариантов управления без переключений или с произвольным конечным числом точек переключения.Воспользовавшись этим обстоятельством, можно предложить численный алгоритм определения функции управления u1∗ (t) и соответствующих ей функций состояний k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t), удовлетворяющих необходимым условиям экстремума иограничениям исходной задачи.

Общая схема такого алгоритма изложена в разделе2.2 главы 2.Для каждого из возможных вариантов структуры управления необходимопроанализировать поведение функции переключения Q(t) на всем интервале времени t ∈ [0, T ]. Такой анализ можно осуществлять численными методами, с помощьюкомпьютерных программ, вычисляющих значения функции Q(t) в отдельных точкахна интервале t ∈ [0, T ]. При этом программа, вычисляющая значения функции Q(t),должна использовать стандартные подпрограммы, вычисляющие значения функцийp0 (t), p1 (t), p2 (t). В свою очередь, подпрограммы, в результате выполнения которыхвычисляются значения сопряженных переменных, должны реализовать аналитические представления этих функций, зависящих от функций состояний k0 (t), k1 (t),k2 (t), полученные в ходе проведенного исследования.Если выявленное поведение функции переключения Q(t) соответствует выбранной структуре функции управления u1 (t), то рассматриваемый вариант функ120ции управления и соответствующих функций состояний системы k0 (t), k1 (t), k2 (t)можно считать управляемым процессом, удовлетворяющим необходимым условиямэкстремума в форме принципа максимума и ограничениям исходной задачи.При этом соответствие функции переключений Q(t) и выбранного вариантафункции управления u1 (t) понимается так, как было описано в разделе 2.2 главы2.

Именно, если полученная функция Q(t) > 0 на интервалах времени, где предполагаемая функция управления u1 (t) = 1 и Q(t) > 0 на интервалах времени, гдепредполагаемая функция управления u1 (t) = 0, то будем считать, что предполагаемая функция управления u1 (t) и соответствующие ей функции состояний k0 (t),k1 (t), k2 (t) удовлетворяют системе соотношений, состоящих из необходимых условийи ограничений исходной задачи.В противном случае выбранный вариант функции управления и функцийсостояний не удовлетворяет указанной системе соотношений, то есть заведомо не является решением исходной задачи оптимального управления.

Данный вариант можно исключить из дальнейшего рассмотрения и перейти к следующему. Заметим, чтопроцедура перебора возможных вариантов функции управления будет описана ниже.Перейдем теперь к последовательному описанию предлагаемого алгоритманахождения допустимых экстремалей в исходной задаче оптимального управления.1) Выберем в качестве начального варианта функции управления u1∗ (t) одиниз вариантов с отсутствием переключений.2) Для выбранного варианта вычисляем значения функций k0 (t), k1 (t), k2 (t)по имеющимся аналитическим формулам (3.7.14) и (3.7.24).3) Используя значения выбранной функции управления u1∗ (t) и найденныезначения функций k0 (t), k1 (t), k2 (t) вычисляем значения сопряженных функций p0 (t),p1 (t), p2 (t) по имеющимся аналитическим формулам (3.5.10) и (3.5.16).4) Используя найденные в разделе 3.5 значения сопряженных переменныхp0 (t), p1 (t), p2 (t), определяем численное представление функции переключений Q(t) =Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)).5) Осуществим проверку соответствия характера вычисленной функции Q(t)выбранному исходному варианту функции управления.

В данном случае необходимопроверить выполнение одного из условий: либо условия Q(t) > 0, t ∈ [0, T ],если в п.1данной процедуры был выбран вариант управления u1 (t) = 1, t ∈ [0, T ], либо условияQ(t) < 0, t ∈ [0, T ], если в п.1 данной процедуры был выбран вариант управленияu1 (t) = 0, t ∈ [0, T ]. Отметим, что указанные условия на функцию Q(t) должны быть121проверены для всех значений аргумента t, принадлежащих заданному изначальноразбиению отрезка [0, T ].6)Если указанное условие выполняется, то считаем, что выбранный в п.1 данной процедуры вариант функции управления удовлетворяет необходимым условиям экстремума в форме принципа максимума.