Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 21

Тогда управляемый процесс (u1∗ (t);k0 (t), k1 (t), k2 (t)) представляет собой допустимую экстремаль в рассматриваемой задаче оптимального управления. Данный вариант управляемого процесса сохраняетсяв специально отведенном месте памяти. Происходит переход к следующему вариантуфункции управления.7) Предположим теперь, что проверяемое условие не выполняется.

Для определенности будем предполагать, что при выбранном варианте управления u1∗ (t) = 1,t ∈ [0, T ] функция Q(t) меняет знак в некоторой точке τ : Q(t) > 0, t ∈ [0, τ ),Q(t) < 0, t ∈ (τ, T ]. Такой результат означает, что при заданных исходных параметрах модели управляемый процесс, состоящий из функции u1∗ (t)0 и соответствующихфункций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t), не удовлетворяет системе соотношений, состоящей из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи.

Следуетперейти к анализу другого варианта функции управления.8) В качестве следующего варианта функции управления можно выбрать тот,который наиболее близок к результату, описанному в пункте 7, а именноu1∗ (t) =1, при 0 ≤ t ≤ τ,(4.1.1)0, при τ ≤ t ≤ T.В то же время, такой выбор нельзя обосновать строго. Можно осуществить переходк любому из вариантов управления с одной точкой переключения вида (4.1.1), где τ- произвольная внутренняя точка из интервала [0, T ].9) Для нового варианта управления вида (4.1.1) повторяются действия, описанные в п. 2,3,4 данной процедуры.10) Проверяется условие соответствия поведения вычисленной функции Q(t)и выбранного варианта (4.1.1) функции управления.Если поведение функции Q(t) соответствует выбранному варианту функцииуправления, а именно, выполняется условие Q(t) > 0, 0 ≤ t ≤ τ , Q(t) < 0, τ < t ≤ T ,Q(τ ) = 0, то можно утверждать что выбранный вариант функции управления u1∗ (t)вида (4.1.1) и соответствующие ему функции состояний k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t) удовлетворяют системе, состоящей из необходимых условий экстремума и ограничений исход122ной задачи.

Управляемый процесс (u1∗ (t); k0∗ (t), k1∗ (t), k1∗ (t)) является допустимойэкстремалью. В исходной задаче оптимального управления. Данный вариант управляемого процесса сохраняется в специально отведенном месте памяти, после чегопроисходит переход к анализу следующего варианта функции управления.Если же поведение вычисленной функции Q(t) не соответствует характеру выбранного варианта функции управления вида (4.1.1), то набор, состоящий изфункций u1∗ (t) и соответствующих ей функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t), не удовлетворяет системе соотношений, состоящей из необходимых условий экстремума иограничений исходной задачи.

Данный набор не является допустимой экстремалью.11) Производится переход к следующему варианту функции управления u1∗ (t)из рассматриваемого множества функций управления.12) Для нового варианта функции управления производятся аналогичныедействия, описанные в п. 2,3,4 данной процедуры. После этого вновь проверяетсясоответствие поведения вычисленной функции Q(t) и выбранного варианта функции управления. Выводы, которые могут быть сделаны по результатам проыеркитакого соответствия, аналогичны выводам, сформулированным в п. 6,7 и 10 даннойпроцедуры.13) Указанные действия производятся для всех вариантов функции управления, входящих в некоторое множество функций заданных на отрезке [0, T ], имеющих конечное число точек разрыва (скачков) и принимающих только два возможныхзначения: 0 или 1.

Более подробно данное множество будет описано ниже, в примечаниях к данному алгоритму. Сейчас отметим лишь, что это множество конечно, иописанный алгоритм будет реализован за конечное число шагов.4.2Формальное описание множества рассматриваемых функций управленияЗафиксируем целое положительное число N ≥ 1. Пусть ∆ =TN +1> 0. Обозна-чим через ti = i∆, i = 0, 1, 2, ..., N, N + 1 точки, принадлежащие отрезку [0, T ],t0 = 0, tN +1 = (N + 1)∆ = T . Будем предполагать, что конечное множество точек{t1 , t2 , ..., tN } являются возможными точками переключений управления на заданном интервале времени [0, T ].

При этом граничные точки данного отрезка t0 = 0,tN +1 = T не считаются точками переключения.Зафиксируем теперь целое положительное число n, 1 ≤ n ≤ N . Выберем n то-123чек из множества {t1 , t2 , ..., tN }. Выбранные точки будут являться точками переклю(N )чения функции управления. Обозначим через Snмножество возможных функцийуправления u1 (t), обладающих следующими свойствами.1) Данные функции принимают только два возможных значения: 0 или 1.2) Данные функции являются кусочно-постоянными и меняют свое значениев точках переключения. В точках переключения эти функции обладают свойствомнепрерывности справа.(N )3) Точками переключения для функции из множества Snможет являтьсялюбой набор, состоящий из n различных точек, принадлежащих множеству {t1 , t2 , ..., tN }.(N )Совокупность функций Sn , обладающих указанными свойствами, будет рассматриваться как набор возможных функций управления с n переключениями, где(N )1 ≤ n ≤ N .

Для удобства введем также множество S0 = S0 , состоящее из двухфункций: u1 (t) = 0, 0 ≤ t ≤ T ; u1 (t) = 1, 0 ≤ t ≤ T . Функции управления, входящие(N )во множество S0 , не имеют переключений.(N )(N )Очевидно, что при n1 6= n2 множества Sn1 , Sn2 являются непересекающимися.Теперь рассмотрим объединение множествŜn(N )=n[SkNk=0(N )По содержанию множество Ŝnпредставляет собой совокупность функций,обладающих свойствами 1-2, указанными выше, для которых точками переключения может служить любой набор, состоящий не более чем из n различных точек,принадлежащих множеству {t1 , t2 , ..., tN }.

Именно такие наборы функций будут рассматриваться в данной части настоящего исследования как множества возможныхфункций управления. При этом могут меняться параметры множества N и n.4.3Блок-схема алгоритма численного решенияРеализация приведенной ранее процедуры поиска оптимального управляемого процесса выполнена с помощью встроенного языка программирования среды MatLab.Ниже приведем блоксхему, описывающую работу программы.Теперь приведем блоксхему, более подробно описывающую работу созданногопрограммы.Приведем пояснения к блок-схеме (рисунок 24).124Рис. 24: Блоксхема, описывающая работу программы.Расчетная часть начинается с инициализации переменных. На данном этапевводятся параметры модели.Затем проверяется условие выбора моделирование илипоиск точек переключения τ .

В случае выбора моделирования мы вводим номер рас-125сматриваемого случая, а так же количество точек переключения. Если выбираемпоиск, то с помощью перебора останавливаемся на выбранном номере случая поведения функции Q и соответствующего ему количества точек переключения.К блоку Formng мы приходим с известными значениями точек переключенияτ , номера случая и количества переключений. Задаем аналитические выражения дляфункций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t), реализуем функции с учетом числа переключений и наличия условий на этапе инициализации. Функции k0 (t), k1 (t), k2 (t), которыезависят от граничных условий и точек переключения τ .

После формирования данныхфункций считаем их значения в некотором количестве точек, подобранных разбиением интервала на шаг 10−2 (100 шагов). Практически, возможно разбиение на большееколичество шагов. Однако при большем разбиении увеличивается вычислительнаясложность, графические изображения имеют более сглаженный вид, однако принципиальных улучшений разбиение на большее число шагов не дает и не влияет на решение поставленной задачи.

Аналогично рассчитываются значения для сопряженныхпеременных p0 (t), p1 (t), p2 (t). В этом случае вычисления являются более сложнымиза счет интегрирования. После расчета k0 (t), k1 (t), k2 (t) и p0 (t), p1 (t), p2 (t) можно задать в явном виде значения для функции Q. Затем на экран выводятся графическиепредставления k0 (t), k1 (t), k2 (t) , p0 (t), p1 (t), p2 (t) и Q, а так же структура задаваемогоуправления.Если при выборе условия было выбрано моделирование, то на этом этапеисследование завершено. Если выл выбран поиск точек переключения τ , то выводграфических представлений k0 (t), k1 (t), k2 (t) , p0 (t), p1 (t), p2 (t), Q и структуры оптимального управления выводится после перебора, описанного в п.1 данной главы.4.4Программная реализация алгоритмаПредложенный алгоритм численного решения задачи оптимального управления реализован в виде программного комплекса.