Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 23

Отметим,что в упомянутой работе В.А. Колемаева [23] эти параметры также были определенына основе данных об экономике СССР за 1960-1991 годы. Именноθ0 = 0.22;(1)(1)Заметим, что параметры l0 , l2θ1 = 0.16;θ2 = 0.62.(4.5.5)могут быть выражены через значения θ0 , θ1 , θ2 последующим формулам(1)l0 =L1,0θ1= ;L0,0θ0(1)l2 =132L1,0θ1=L2,0θ2(4.5.6)(1)(1)Тогда для варианта численных значений параметры l0 , l2определяются следую-щим образом(1)l0 =θ1168L1,0=== ;L0,0θ02211(1)l2 =L1,0θ1168===L2,0θ26231(4.5.7)Рассмотрим также другие варианты значений параметров θ0 , θ1 , θ2θ0 = 0.2;θ1 = 0.2;θ2 = 0.6;(4.5.8)θ0 = 0.25;θ1 = 0.2;θ2 = 0.55.(4.5.9)Начальные значения функций фондовооруженности (удельного капитала) k0 (t),k1 (t), k2 (t) определяются из начальной информации о состоянии системы в форметрехсекторной модели.

Рассмотрим различные варианты начальных значенийk0,0 = 800;k1,0 = 1500;k2,0 = 1000;k0,0 = 1000;k1,0 = 2000;k2,0 = 1500;Предположим, что в рассматриваемой задаче терминальный член целевогофункционала имеет видψ(k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )) = a0 k0 (T ) + a1 k1 (T ) + a2 k2 (T ),где a0 , a1 , a2 - заданные коэффициенты, характеризующие веса (вклады) величинk0 (T ), k1 (T ), k2 (T ) в терминальную часть целевого функционала.

Данные величинымогут быть определены экспертами-экономистами. В этом случае производные терминального члена целевого функционала имеют вид(0)ψk0 (k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )) = ψ0 (T ) = a0(0)ψk1 (k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )) = ψ1 (T ) = a1(0)ψk2 (k0 (T ), k1 (T ), k2 (T )) = ψ2 (T ) = a2Величины a0 , a1 , a2 определяют граничные условия для системы сопряженных уравнений относительно функций p0 (t), p1 (t), p2 (t) в точке t = T , то есть условия трансверсальности. В рассматриваемом случае(0)p0 (T ) = ψ0 (T ) = a0 ;(0)p1 (T ) = ψ1 (T ) = a1 ;(0)p2 (T ) = ψ2 (T ) = a2 .Зададим численные значения коэффициентов a0 , a1 , a2 следующим образом133a0 = 0.2;a1 = 0.4;a2 = 0.4;a0 = 0.2;a1 = 0.5;a2 = 0.3;a0 = 0.2;a1 = 0.3;a2 = 0.5.Определим возможные числовые значения параметра ρ.

Данная величина представляет собой долю инвестиций, выделяемую в материальный сектор из объема инвестиций, оставшегося после выделения инвестиций в первый (фондосоздающий) сектор,то есть принятия решения об управлении. В рассматриваемой модели величина ρпредполагается постоянной (не зависящей от времени) и заданной. Соответствующая для инвестиций в потребительский сектор составит 1 − ρ.Рассмотрим следующие варианты возможных значений величины ρ, характеризующие различные предпочтения при распределении инвестиций между материальным и потребительским секторамиρ = 0.2;ρ = 0.5;ρ = 0.8.Таким образом, все необходимые значения параметров трехсекторной модели экономики заданы.

Это позволяет вести численное исследование системы соотношений,состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи, используя полученные ранее аналитические результаты.4.6Представление результатов работы программного комплексаСозданный программный комплекс был реализован прежде всего для указанногонабора значений параметров модели. Разбиение отрезка времени [0, T ] задается параметром N = 99, откуда ∆ =TN +1= 0.01. Рассмотрено множество возможных(N )функций управления Ŝ3 , состоящее из управлений, имеющих не более трех точекпереключения на заданном интервале времени. В результате установлено, что в данном множестве имеется единственная функция управления u1∗ (t) = 1, t ∈ [0, T ], которая вместе с вычисление по ней функциями состояний (k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t)) являетсярешением системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограниченийисходной задачи.

Графические представления для функции u1∗ (t), t ∈ [0, T ], а так же134соответствующих ей функций состояний k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t), сопряженных переменных p0 (t), p1 (t), p2 (t) и функции переключений Q(t) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)) приведенына рисунках 29 - 31.Рис. 29: Графическое представление функций фондоворуженности ki (t)Рис. 30: Графическое представление сопряженных переменных pi (t)135Рис. 31: Графическое представление функции Q(t)Итак, для рассматриваемого набора численных значений исходных параметров в поставленной задаче оптимального управления имеется единственная допустимая экстремаль, задаваемая функциями (u1∗(t) ; k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t)), изображеннымина рисунке 29. В этом управляемом процессе переключения отсутствуют.Теперь приведем пример задания исходных данных при которых функцияпереключений Q(t) не соответствует варианту выбранного управления.

В исходномнаборе данных изменим значение k1,0 = 500, T = 50..pngРис. 32: Графическое представление функций фондоворуженности ki (t)136Рис. 33: Графическое представление сопряженных переменных pi (t)Рис. 34: Графическое представление функции Q(t)Рассматривается вариант управления u1 (t) = 1, t ∈ [0, 50]. В результате расчетов получаем, что функция переключений Q(t) меняет знак, то есть не соответствуетвыбранному варианту управления (см. рисунки 32-34).137ЗаключениеПодведем итоги проведенного исследования.1.

В данной диссертационной работе разработан численно-аналитический метод решения определенного класса задач оптимального управления, исследуемых наоснове принципа максимума.2. Разработанный метод реализован на примере исследования задачи оптимального управления в закрытой динамической модели трехсекторной экономики.3. Поставлена оригинальная математическая задача оптимального управления,которая представляет собой классическую задачу теории управления на заданном конечном интервале времени с закрепленным левым концом траектории, то естьс заданным начальным значением состояния системы. Параметром управления в указанной задаче является доля инвестиций, вложенных в ключевой фондосоздающийсектор, в общем объеме инвестиций в системе.4.

Исследование поставленной задачи оптимального управления проводитсяв два этапа. На первом из них производится аналитическое исследование, основанноена принципе максимума Понтрягина. Определяется структура оптимального управления. Получены явные аналитические представления для функций, описывающихсостояние системы, и функций, имеющих смысл сопряженных переменных, соответствующих множителям Лагранжа в исходной экстремальной задаче.5. Продолжение исследования поставленной задачи управления производитсяпри помощи специального численного метода. При реализации этого метода используются полученные ранее аналитические представления для функций состояний системы и сопряженных переменных. Основу метода составляет алгоритм, производящий перебор конечного числа возможных вариантов структуры оптимального управления.

Для каждого варианта вычисляется так называемая функция переключений.Если поведение этой функции соответствует характеру исходного варианта функцииуправления, то данная функция управления и соответствующие ей функции состояний системы образуют допустимую экстремаль в исходной задаче оптимальногоуправления.6. Созданный алгоритм реализуется в программе, которая позволяет по заданному набору исходных параметров модели определить конкретный управляемыйпроцесс, состоящий из функции управления и соответствующих функций состояний системы, образующий допустимую экстремаль в исходной задаче оптимальногоуправления. Отметим, что в классических задачах теории управления допустимая138экстремаль часто представляет собой решение исходной задачи.139Библиография[1] Александров В.В.

Оптимизация динамики управляемых систем / В.В.Александров, В.Г.Болтянский, С.С. Лемак, Н.А. Парусников, В.М. Тихомиров. – M:МГУ, 2000. – 302 с.[2] Алексеев В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров,С.В. Фомин. – М: Физматлит, 2007. – 408 с.[3] Арутюнов А.А. Принцип максимума Понтрягина / А.А. Арутюнов, Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров. – М: Факториал, 2006. – 144 с.[4] Асеев С.М. Задачи оптимального управления на бесконечном интервалевремени в экономике / С.М.

Асеев, К.О. Бесов, А.В. Кряжимский // Успехи математических наук. – 2012. – Том 67, вып. 2 (404). – С. 3-64.[5] Асеев С.М. Принципа максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста / С.М. Асеев, А.В. Кряжимский // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. – 2007. – Том 257. – С. 3-271.[6] Ашманов С.А. Введение в математическую экономику / С.А. Ашманов. –М.: Наука, 1984.

– 293 с.[7] Ашманов С.А. Качественная теория многосекторных моделей экономической динамики: докторская диссертация физ.-мат. науки. – Москва, 1983. – 241 с.[8] Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике / С.А. Ашманов. – М.: Изд-во Московского университета, 1980. – 199 с.[9] В.З.Беленький Оптимизационные модели экономической динамики / Беленький В.З. – М: Наука, 2007. – 258 с.[10] Беленький В.З. Теорема о стационарном решении обобщенной моделиРамсея-Касса-Купманса // Анализ и моделирование экономических процессов.

– М.:ЦЭМИ РАН, 2004. - Вып. 1.[11] Булгаков В.К. Об оптимальном управлении и оптимальных траекторияхдинамики региональной макроэкономики на основе принципа максимума Понтрягина / В.К. Булгаков, В.В. Стринунов // Журнал вычислительной математики иматематической физики. – 2009. – №5(49). С. 776-790.[12] Ванько В.И. Вариационное исчисление и оптимальное управление / В.И.Ванько, О.В. Ермошина, Г. Н. Кувыркин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.

Баумана,2006. - 488 c.140[13] Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры задачи / Э.М.Галеев , В.М.Тихомиров.– М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 320 с.[14] Ефросинин Д. В. Численное исследование оптимального управления системой с неоднородными приборами / Д. В. Ефросинин, В. В. Рыков // Автоматикаи телемеханика. – 2003. – No 2. С.143-151.[15] Зайцев В.Ф. Справочник. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.[16] Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов,А.В. Лотов.