Диссертация (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели)), страница 22

Комплекс состоит из нескольких функциональных частей, которые можно назвать модулями. Перечислим эти модули в тойпоследовательности, в которой происходит реализация всего алгоритма.1. Модуль, непосредственно реализующий аналитические формулы для функций состояний k0 (t), k1 (t), k2 (t).2. Модуль, непосредственно реализующий аналитические формулы для сопряженных переменных p0 (t), p1 (t), p2 (t). В этом модуле используются результатывычислений по программным продуктам первого модуля.1263. Модуль, реализующий аналитическое представление для функции переключения Q(t) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)).

В этом модуле используются результаты вычислений из модуля 1 и модуля 2.4. Модуль, реализующий перебор некоторого заданного множества возможных функций управления и проверку соответствия каждого варианта функции управления характеру функции переключения, вычисляемой для этого варианта. В этоммодуле используется результаты вычислений модуля 3.В результате использования данного комплекса определяются все возможные варианты управляемых процессов, состоящих из некоторой функции управленияu1∗ (t) и соответствующих ей функций состояний (k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t)), которые удовлетворяют системе, состоящей из необходимых условий экстремума и ограниченийисходной задачи. Каждый из таких управляемых процессов (u1∗ (t); k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t))представляет собой допустимую экстремаль для заданного набора исходных параметров математической модели.Отметим еще одну важную особенность программного комплекса, реализующего разработанный алгоритм.

Данная особенность связана с организацией выборанабора точек переключения и всей функции управления u1∗ (t). В программном комплексе предусмотрены три возможности такого выбора и вычисления функций состояний (k0 (t), k1 (t), k2 (t)), сопряженных переменных (p0 (t), p1 (t), p2 (t)) и функции переключений Q(t) = Q(p0 (t), p1 (t), p2 (t)), соответствующих выбранной функции управления.1. Случайный выбор точек переключения (t1 , t2 , ..., tn ).

При этом задаетсячисло n ≥ 1 и значение функции управления на начальном интервале [0, t1 ]. Такойвыбор условно называется стохастическим моделированием. Полученные результатымогут быть использованы для качественного анализа исходной задачи управления.2. Задание конкретного набора точек переключения(t1 , t2 , ..., tn ). При этомконкретный вид функции управления u1 (t) при помощи задания ее значения на начальном интервале времени [0, t1 ]. Такая функция позволяет исследовать возможныеварианты управляемых процессов по отдельности и изучать влияние отдельных параметров на вид управляемого процесса.3. Организация непосредственного набора возможных вариантов функций(N )управления u1 (t), входящих в определенный класс Sk , k = 0, 1, ..., n. При этомдолжно быть задано число точек переключения k и значение функции управленияu1 (t) на начальном интервале времени [0, t1 ].

Все наборы точек переключения функ127ции управления, входящих в указанный класс, перебираются в ходе реализации программы. Оператору необходимо лишь дважды ввести информацию о числе точекпереключения и значении функции управления на начальном интервале. В результате действия этой функции программного комплекса определяются все допустимые(N )экстремали u1∗ (t) , входящие в рассматриваемый класс Sk , и соответствующие имфункции состояний (k0∗ (t), k1∗ (t), k2∗ (t)). Данная функция предназначения для непосредственного численного решения поставленной задачи оптимального управления,то есть нахождения всех допустимых экстремалей.В дальнейшем будут приведены результаты работы созданного комплексапрограмм, реализованного на данном наборе исходных значений.Следующие иллюстрации на рисунках 25-30 характеризуют интерфейс разработанной программы.128Рис.

25: Процесс инициализации параметров модели(задание исходных значений параметров).Рис. 26: Процесс выбора условия: моделирования или поиска точек переключения.129Рис. 27: Диалоговое окно, всплывающее после завершения этапа моделирования илипоиска.Рис. 28: Диалоговое окно, всплывающее при выборе процесса поиска.4.5Задание исходных данных. Численные значения основных параметров моделиНачнем с выбора числовых значений параметров производственных функций, описывающих объем произведенного продукта по секторам.В работе В.А. Колемаева [21] приведен вид производственной функции, описывающей валовый выпуск продукции Российской Федерации (в млд.

руб.) в зависимости от стоимости основных производственных фондов (в млд. руб.) и числазанятых в народном хозяйстве (млн. чел.) по данным за 1960-1994 годы.Y = F (K, L) = 0.931K 0.539 L0.594Таким образом, числовые значения параметров соответствующей функции КоббаДугласа могут быть приближенно заданы следующим образомA = 0.93;α = 0.5;1 − α = 0.5В научной литературе по математической экономике (см. например, [8],[21]) известноэкономическое содержание параметров α, β = 1 − α в функциии Кобба-ДугласаY = F (K, L) = AK α L1−αУказанные параметры называются коэффициентами эластичности по основным производственным фондам и по трудовым ресурсам соответственно.

При α > β имеет130место трудосберегающий (интенсивный) рост производства, при α < β - фондосберегающий (экстенсивный) рост производства.Величина A называется параметром нейтрального технического прогресса иимеет нормирующий характер, выражая объем производства при единичных значениях основных производственных фондов и трудовых ресурсов.Численные значения параметров производственных функций Кобба-Дугласаприведены также в работе В.А. Колемаева [23]. Указанные значения определены наоснове анализа данных о советской экономике за период с 1960 по 1991 годы (в ценах 1983 года). Для описания функционирования национальной экономики СССРза этот период использовались трехсекторная модель, и соответствующие значенияпараметров были определены для каждого сектора.

Было установлено, что параметры, необходимые в настоящем исследовании трехсекторной управляемой модели,принимают следующие числовые значения1)A1 = 1.35;A2 = 2.71;α1 = 0.68;1 − α1 = 0.32;(4.5.2)Основываясь на варианте числовых значений (13.1), можно рассмотреть идругие наборы данных1)A1 = 1.50;A2 = 3.00;α1 = 0.75;1 − α1 = 0.25;(4.5.3)1)A1 = 1.80;A2 = 3.60;α1 = 0.80;1 − α1 = 0.20;(4.5.4)Коэффициенты µj , j = 0, 1, 2 имеют смысл долей выбывания основных производственных фондов в каждой единице объема этих фондов за единицу времени.Таким образом, коэффициенты µj , j = 0, 1, 2 характеризуют скорости выбыванияосновных фондов относящихся к каждому сектору экономической системы.

Однакоскорости выбывания различных видов основных фондов могут быть очень различны.Так, например, существенно различаются скорости выбытия из эксплуатации зданий,производственных помещений, и современной вычислительной техники. В связи сэтим выберем некоторые условные наборы значений параметров µj , j = 0, 1, 2. Предположим, что средняя длительность обновления фондов первого (фондосоздающего)и второго (потребительского) секторов составляет 5 условных единиц времени (лет),при таком условии µj = 0.2, j = 0, 1, 2, что характерно для современной техники.Предположим также, что в материальном секторе экономике средняя длительностьвыбывания фондов составляет 10 лет; таким образом µ0 = 0.1. Таким образом, рассмотрим следующие наборы значенийµ0 = 0.1;µ1 = 0.2;131µ2 = 0.2;µ0 = 0.1;µ1 = 0.3;µ2 = 0.2.Коэффициенты ν характеризуют скорость прироста объем трудовых ресурсов.

Поскольку для различных национальных экономических систем такой параметр можетбыть очень различным, выберем расчетные значения для ν , исходя из различныхпредположений о темпах прироста объема трудовых ресурсовν = 0.01;ν = 0.05;ν = 0.03;В рассматриваемой теоретической модели коэффициенты λj , j = 0, 1, 2 определяетсяпо формуле λj = µj + ν, j = 0, 1, 2.

Таким образом, можно рассмотреть следующиевариантыλ0 = 0.13;λ1 = 0.23;λ2 = 0.23;λ0 = 0.11;λ1 = 0.31;λ2 = 0.21;λ0 = 0.13;λ1 = 0.33;λ2 = 0.23.Параметр δ > 0 характеризующий показатель уменьшения реального содержания в единице денежных ресурсов (показатель инфляции), выберем в следующихвариантах (различные темпы инфляции)δ = 0.02 (низкий темп)δ = 0.06 (средний темп)δ = 0.08 (темп выше среднего).Величина T - длительность интервала управления, которая иногда также называется горизонтом планирования. Рассмотри различные варианты, когда горизонтпланирования представляет собой величину от 1 до 5 условных единиц времени (лет).Планирование на больший срок сложно из-за возможных существенных измененийпараметров модели.T = 1;T = 2;T = 5.В рассматриваемой модели величины θ0 , θ1 , θ2 представляют собой доли трудовых ресурсов j-ого сектора в общем объеме трудовых ресурсов системы.