Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 7

Пусть S(n) действует на Vперестановкой компонент, а U (N ) действует естественным образом в каждом CN .Из двойственности Шура-Вейля следует, что определенное таким образом представление S(n) × U (N ) имеет простой спектр, параметризованный диаграммамиЮнга λ ∈ Yn (N ). При этом размерность неприводимой компоненты равняетсяSWdim λ DimN λ. Это служит мотивировкой для определения меры Mn,N(λ) по формулеSWMn,N(λ) =dim λ DimN λ,Nnλ ∈ Yn (N ).Рассмотрим теперь пуассонизацию этого семейства мер, получаемую заменой nна пуассоновскую величину с параметром ν и определяемую по формулеSW PMν,N(λ)−ν ν=e|λ||λ|!SWM|λ|,N(λ),λ ∈ Y.(2.2.5)Из (2.2.4) и (2.2.5) следует, чтоγSW PM[γL2 ],L (λ) = PL (λ).Пуассоновская величина с растущим параметром ν концентрируется вокруг ν, поSWблизки к свойствам мер PLγ при L = N и n = [γL2 ].этому свойства мер Mn,NКак показано в [16], [27], [15], случайная диаграмма Юнга по мере PLγ задаетслучайный точечный процесс, являющийся ансамблем Шарлье (и, в частности, детерминантным процессом).2.2.4Известные результаты о планшерелевских вероятностных мерахВ этом разделе мы перечислим некоторые известные результаты о мерах PLγ (λ) иSWM[γL2 ],L (λ).Будем изображать диаграмму Юнга повернутой так, чтобы её диагональ былавертикальна, и пусть λ(x) : R → R — функция, соответствующая верхней границедиаграммы, с условием λ(x) = |x| для достаточно больших |x| (см.

рисунок 2.1).40Рис. 2.1: Функция λ(x), сопоставляемая диаграмме Юнга λ = (4, 2, 1).Пустьλ̄(x) :=λ(xL)L— нормированная граница диаграммы Юнга. Пусть диаграмма λ ∈ Y[γL2 ] выбираетсяSWслучайно по мере M[γL2 ],L . В работе Биана (см. [6]) было показано, что при этом слу-чайные функции λ̄(x) сходятся к (детерминированным) функциям λγ (x) (см. строгоеутверждение и формулы для λγ (x) в [6]). Иначе говоря, случайные диаграммы имеютпредельную форму (см. рисунок 2.2).Пусть q(γ) — самая левая невырожденная точка предельной формы λγ (x) (см.рисунок 2.2). Оказывается, чтоdλ0γ (x) dx x=q(γ)+0+1,= 0,−1,если γ > 1;если γ = 1;если γ < 1.В [15] было найдено локальное предельное поведение вблизи точки q(1) в критическом случае γ = 1 для пуассонизированной меры PL1 .После нахождения предельной формы следующим возможным вопросом являетсянахождение флуктуаций диаграмм относительно этой предельной формы.

Первый41SWРис. 2.2: Предельные формы для мер PLγ (λ) и M[γL2 ],L (λ)результат такого рода был получен в [29] (подробное доказательство см. в [26]) дляSWмеры Планшереля симметрической группы. Для мер M[γL2 ],L теорема Керова былаполучена в [40]. Неформально говоря, она утверждает, чтоλ̄(x) = λγ (x) +2∆γ (x),LL → ∞,где ∆γ (x) — это некоторый обобщенный гауссовский процесс.В работе [12] были найдены локальные корреляции в трех предельных режимах (синус, Эйри, Пирси) относительно более общего семейства мер, отвечающихдвустороннему планшерелевскому характеру, возникающему при ненулевых параметрах γ + и γ − .

Кроме того, формулы из [12] позволяют предсказать предельнуюформу диаграмм Юнга λ+ и λ− для двустороннего планшерелевского характера.В [43] было показано, что существует пределSW− ln M[γL(λ)2 ,L],limL→∞Lгде сходимость понимается в смысле сходимости по вероятности. Это утверждениеявляется некоторым аналогом теоремы Шеннона-Макмиллана-Бреймана.422.2.5Случайная функция высоты и GFFВ этом разделе мы приведем необходимые определения и сформулируем некоторыерезультаты из [11].Гауссовским семейством называется множество гауссовских величин {ξa }a∈Υ ,проиндексированное произвольным множеством Υ. Будем считать, что все гауссовские величины центрированы, то есть выполнено условиеEξa = 0,для всех a ∈ Υ.Гауссовское семейство задает ковариационную функцию Cov : Υ × Υ → R, определяемую формулойCov(a1 , a2 ) = E(ξa1 ξa2 ).Предположим, что некоторая функция C̃ : Υ × Υ → R удовлетворяет следующему условию: для любого n ≥ 1 и любых a1 , .

. . , an ∈ Υ, матрица (C̃(ai , aj ))ni,j=1симметрична и положительно определена. Тогда (см., например, [20]) существуетцентрированное гауссовское семейство с ковариационной функцией C̃.Пусть H := {z ∈ C : I(z) > 0} — верхняя комплексная полуплоскость. ПустьC0∞ — пространство гладких вещественных функций на H с компактным носителем.Пустьz − w1 , z, w ∈ H,G(z, w) := − ln 2πz − w̄ и определим функцию C : C0∞ × C0∞ → R по формулеZ ZC(f1 , f2 ) :=f1 (z)f2 (w)G(z, w)dzdz̄dwdw̄.HHГауссовским свободным полем (GFF) G на H с нулевым граничным условиемназывается гауссовское семейство {ξf }f ∈C0∞ с ковариационной функцией C. Поле Gне определено как случайная функция на H; однако, определены интегралы видаRf (z)G(z)dz, где γ — контур конечной длины в H, а f (z) — непрерывная функцияγна нем (см.

[50]).Определим функцию высотыH : R≥0 × R≥1 × P → N43по формуле(n)H(x, y, {λ(y)где λi√ n(y)}) = π i ∈ {1, 2, . . . , [y]} : λi − i +12o≥ x ,— координаты сигнатуры длины [y] из бесконечного пути. Снабдив P веро-ятностной мерой µγ , мы получаем, что H(x, y, ·) =: H(x, y) становятся случайнымифункциями, описывающими поведение некоторой случайной ступенчатой двумернойповерхности или случайных ромбовидных тайлингов на полуплоскости (см.

[11]).Введем функции x(z), y(z) : H → R формуламиx(z) = γ(1 − 2R(z)), y(z) = γ|z|2 .“Перенесем” функцию H(x, y) на H — определим функциюH Ω (z) = H(Lx(z), Ly(z)),z ∈ H.Известно, см. [6], [11], что существует предельная (не случайная) функция высотыEH Ω (z),L→∞Lh̃(z) := limz ∈ H,которая определяет предельную форму.Флуктуации вокруг предельной формы изучались в [11], где было показано, чтополе флуктуацийH(z) := H Ω (z) − EH Ω (z), z ∈ H,(2.2.6)сходится к гауссовскому свободному полю, введенному выше.В [11, Th. 1.3] была доказана следующая теорема:Теорема 2.2.2.

Пусть z1 , . . . , zN ∈ H — различные точки комплексной полуплоскости. Тогда выполненоE(H(z1 ) . . . H(zN )) −−−→L→∞l/2X YG(zσ(2j−1) , zσ(2j) ),σ∈PM j=1где PM — множество инволюций {1, 2, . . . , N } без неподвижных точек (в частности, PM = ∅, если N — нечетно).44Также в [11, Th. 5.6, Th. 5.8] было доказано некоторое усиление этой теоремы,позволяющее усреднять подходящие тест-функции.Сформулируем схожее утверждение, доказываемое в настоящей работе, использующее другое множество пробных функций.Определим момент случайной функции высоты формулойZ∞My,k :=xk (H(Lx, Ly) − EH(Lx, Ly))dx.−∞Определим соответствующий ему момент гауссовского свободного поля формулойZdx(z)My,k =x(z)k G(z)dz.dzz∈H;y=γ|z|2Предложение2.2.1. При L → ∞, набор случайных величин {My,k }y>0,k∈Z≥0 сходится, в смыслесходимости конечномерных распределений, к набору {My,k }y>0,k∈Z≥0 .Это утверждение является частным случаем теоремы 2.3.1 (см.

ниже).2.2.6Сходимость в смысле состоянийПусть задано вероятностное пространство Ω и последовательность k-мерных случайных векторов (ηn1 , ηn2 , . . . , ηnk ) на нем, сходящаяся (в смысле сходимости моментов), кгауссовскому случайному вектору (η 1 , . . . , η k ) с нулевым средним. Определим состояние формулойhξiΩ := Eξ,ξ ∈ L1 (Ω).Тогда мы можем записать эту сходимость в видеhηni1 ηni2. .

. ηnil iΩl/2XYhη σ(2j−1) η σ(2j) iΩ ,−−−→n→∞σ∈P j=1для любого l ≥ 1 и любых (i1 , . . . , il ) ∈ {1, 2, . . . , k}l , (2.2.7)где PM — множество инволюций {1, 2, . . . , l} без неподвижных точек, также известных как совершенные паросочетания (в частности, PM — пустое множество, если l —45нечетно). Действительно, по формуле Вика, в правой части (2.2.7) стоит выражениедля моментов вектора η.Пусть дана произвольная ∗-алгебра A и состояние h · i (линейный функционал,неотрицательный на элементах вида aa∗ ) на ней.

Пусть a1 , a2 , . . . , ak ∈ A.Предположим теперь, что элементы a1 , . . . , ak и состояние на A зависят от растущего параметра L, и пусть задана некоторая ∗-алгебра A, порождаемая элементамиa1 , . . . , ak , и состояние φ на ней. Будем говорить, что последовательность (a1 , . . . , ak )сходится к (a1 , . . . , ak ) в смысле состояний, еслиhai1 ai2 . . . ail i −−−→ φ(ai1 . .

. ail ),L→∞(2.2.8)причем это равенство выполняется для всех l ∈ N и наборов индексов (i1 , i2 , . . . , il ) ∈{1, 2, . . . , k}l .Будем говорить, что набор {ai }i∈J ⊂ A, проиндексированный произвольным множеством J и зависящий от растущего параметра L, сходится в смысле состояний кнабору {ai }i∈J ⊂ A, если условие (2.2.8) выполняется для любого конечного набораэлементов из {ai }i∈J и соответствующих им элементов из {ai }i∈J .2.2.7Алгебра сдвинуто-симметрических функцийВ этом разделе мы приведем некоторые факты об алгебре сдвинуто-симметрическихфункций, см. [45], [34], [26].Пусть x1 , x2 , .

. . — переменные. Обозначим символом Λ∗ (n) алгебру полиномов отn переменных, симметричных по новым переменным1yi := xi − i + ,2i = 1, 2, . . . , n.Будем рассматривать фильтрацию Λ∗ (n), определяемую степенью полиномов. ПустьΛ∗ (n) → Λ∗ (n − 1) — отображение, порождаемое специализацией xn = 0. Алгебройсдвинуто-симметричных функций Λ∗ называется проективный предел Λ∗ (n) относительно этих отображений в категории фильтрованных алгебр.46Алгебра Λ∗ порождается алгебраически независимым набором функций {pk }∞k=1 ,гдеk k !∞X11pk (x1 , x2 , . . .