Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 9

раздел2.3.1. Обозначим этот элемент также символом Mi,y,k . Отметим, что элементы Mi,y,kпри всех возможных значениях i, y, k лежат в одной объемлющей алгебре U(gl(∞)) сопределенным на ней состоянием h · i (см. раздел 2.3.2). Поэтому мы можем говоритьо сходимости этих элементов в смысле состояний (см. раздел 2.2.6). Нас интересуетих предельное распределение при L → ∞.53Мы доказываем, что совокупность {Hi }i∈J сходится к обобщенному гауссовскомупроцессу G{Ai }i∈J .

Определим соответствующие моменты процесса G{Ai }i∈J формулойZdx(z)x(z)k GAi (z)dz.Mi,y,k =dzz∈H;y=γ|z|2Теорема 2.3.1. При L → ∞, для любого регулярного семейства последовательностей J моменты {Mi,y,k }i∈J,y>0,k∈Z≥0 сходятся в смысле состояний к моментам{Mi,y,k }i∈J,y>0,k∈Z≥0 .Таким образом, в пределе при L → ∞ некоммутативность подалгебры U(gl(∞)),порожденной элементами Mi,y,k , исчезает (предельная алгебра A оказывается коммутативной), однако случайные поля Hi для различных индексов i не становятсянезависимыми.Пусть u = Lx. По определению функции высоты[Ly] √ Xd1Ai,[Ly]δ u − λs−s+HA (u, [Ly]) = − π.du i2s=1Напомним, что сдвинутой степенной суммой называется выражениеk k !|I|X11− −i +, I ⊂ N.pk,I =λIi − i +22i=1Функции pk,I ∈ A(I) и поэтому им соответствуют некоторые элементы из Z(gl(I))(см. 2.3.1).

Эти элементы также будем обозначать символом pk,I .Интегрирование по частям равенства (2.3.9) показывает, что можно записатьMi,y,k в виде√[Ly] k+1k+1X Ai,[Ly]Lπ X Ai,[Ly]11λs−s+−Eλs−s+k+122s=1s=1√L−(k+1) π=(pk+1,I − Epk+1,I ). (2.3.10)k+1−(k+1)[Ly]Поэтому Теорема 2.3.1 может быть переформулирована следующим образом:Теорема 2.3.2. Пусть k1 , . . . , km ≥ 1 и I1 , . . . , Im — конечные подмножества в N,зависящие от параметра L так, что существуют пределы54|Ir |> 0,L→∞ Lηr = lim|Ir ∩ Is |.L→∞Lcrs = limТогда, при L → ∞, наборL−kr (pkr ,Ir − Epkr ,Ir )mr=1из элементов U(gl(∞)) сходится, в смысле сходимости состояний (см.

(2.2.8)), кгауссовскому вектору (ξ1 , . . . , ξm ) с нулевым средним и ковариациейkr ksEξr ξs =πI|z|2 = ηγrI;I(z)>0(x(z))kr −1 (x(w))ks −1|w|2 = ηγs ;I(w)>0 crs /γ − zw d(x(z)) d(x(w))1ln dzdw.×2π crs /γ − z w̄ dzdw2.4Подсчет ковариацииВ этом разделе будет подсчитана асимптотическая ковариация элементов pk,I1 , pl,I2(см.

теорему 2.3.2). Сначала мы найдем ковариацию для элементов p#k,I , после чегоковариация для элементов pk,I будет найдена из формулы для замены базиса (2.2.9).Основным результатом данного параграфа является предложение 2.4.1.Пусть даны множества I = I(L) ⊂ N, I1 = I1 (L) ⊂ N, I2 = I2 (L) ⊂ N такие, чтосуществуют пределы|I||I1 ||I2 ||I1 ∩ I2 |, η1 = lim, η2 = lim, c = lim.L→∞ LL→∞ LL→∞L→∞ LLη = limНапомним, что состояние h·i также зависит от параметра L, см. раздел 2.3.2.Лемма 2.4.1.

В обозначениях выше имеем* #+min(k,l) ##Xpk,I1 − hp#kl n k+l−nk,I1 i pl,I2 − hpl,I2 inc γ.·−−−→klL→∞LLn nn=1(2.4.1)Доказательство. Доказательство этой леммы, использующее явную формулу (см.(2.3.2)) для дифференциальных операторов D(p#k,I ), приведено в разделе 2.5.2.55Пусть u и v — формальные переменные. Найдем производящую функцию полученного выражения.Лемма 2.4.2. Выполнено следующее равенствоmin(k,l) ∞ X∞XXcγuvkl n k+l−n  k lu v =nc γ.((1 − γu)(1 − γv) − cγuv)2n nn=1k=1 l=1Доказательство.

Пусть x1 = γu, x2 = γv, x3 =(2.4.2)c, и пусть x, y — формальныеγпеременные. Ясно, что∞ Xk Xk n k11+y x =.n1−(1+y)xk=1 n=1Дифференцированием этого равенства по y n раз получаем, что∞ Xk kxnx =.n(1 − x)n+1k=nСледовательно, выполняется равенство∞ X∞ X∞ Xkl k l n11+x1 x2 x3 =(1 − x1 )(1 − x2 ) n=1 k=n l=n n n(1 − x1 )(1 − x2 )+∞Xn=1xn1xn21xn3 =.n+1n+1(1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x1 )(1 − x2 ) − x1 x2 x3Дифференцируя полученное равенство по x3 , мы получаем утверждение леммы.Лемма 2.4.3.

В обозначениях начала параграфа имеемk+1p#ηγ kk,I − L−−−→ ξk,I ,L→∞Lkpk,I − Lk+1 mk,η−−−→ ζk,I .L→∞Lkгде ξk,I и ζk,I — нормальные случайные величины c нулевым средним, mk,η — некоторая положительная константа, а сходимость понимается как сходимость всмысле состояний (см. раздел 2.2.6) 1 .1что в данном случае эквивалентно сходимости в смысле моментов, если рассматривать p#k,I иpk,I как случайные величины на вероятностном пространстве Sign(I) с мерой PLγ , см.

раздел 2.2.3.56Доказательство. Математическое ожидание для элементов p#k,I дается формулой(2.3.4). Существование пределаhpk,I iL→∞ Lk+1mk,η := limследует из разложимости элементов pk,I в линейную комбинацию p#k,I . Таким образом, утверждение этой леммы — частный случай предложения 2.5.1, которое будетдоказано в разделе 2.5.Напомним, что коэффициент при tk у формального степенного ряда A(t) мы обозначаем символом [tk ]{A(t)}.Замечание 1. Из формулы (2.2.9) легко видеть, чтоmk,η =nk+1 o1[uk+1 ] 1 + ηγu2 + ηγ 2 u3 + . .

.k+11=[uk+1 ]k+1(γηu21+1 − γuk+1 ).Вычисляя, получаемmk,ηk+11 X k−r+1 r k + 1 k − rγη=.k + 1 r=0rr−1При η = 1 эта величина совпадает с полученной в [40, Prop. 5].Мы не определяем случайные величины ξk,I1 , ξl,I2 на одном вероятностном пространстве. Однако, мы будем использовать обозначение E(ξk,I1 ξl,I2 ), определяемое поформуле*E(ξk,I1 ξl,I2 ) := limL→∞l+1k+1η2 γ lp#η1 γ k p#k,I1 − Ll,I2 − L·LkLl+.Существование предела в этом выражении следует из предложения 2.5.1. Аналогично, введем обозначениеE(ζk,I1 ζl,I2 ) := limL→∞pk,I1 − mk,η1 Lk+1 pl,I2 − ml,η2 Ll+1·LkLl.57Лемма 2.4.4. В обозначениях начала параграфа, с формальными переменными u,v, имеем(E(ζk,I1 ζl,I2 ) = [uk+1 ][v l+1 ] E∞X!ξi,I1 uii=1∞X!!ξj,I2 v jj=1×1 + η1 u∞X!k(γu)i1 + η2 vi=1∞Xj=1(γv)j!l .Идея доказательства. Напомним, что формула перехода между базисами имеет вид(см. (2.2.9))pk =on1# 3k+12u+...)+ ...,u+p[uk+1 ] (1 + p#21k+1(2.4.3)Неформально говоря, лемма 2.4.3 утверждает, чтоk k+1p#+ ξk,I Lk + o(Lk ).k,I = ηγ LРассматривая выражениеh(pk,I1 − hpk,I1 i)(pl,I2 − hpl,I2 i)i,и подставляя в него формулу (2.4.3), мы получаем, что вклады степени Lk+l+2 иLk+l+1 сокращаются, а вклад в Lk+l возникает, если в одной из скобок, отвечающихrp#r , выбирается слагаемое порядка L , а во всех остальных — максимальные.

Из этогоследует утверждение леммы.Формальное доказательство приведено в разделе 2.5.4.Начиная с этого момента мы будем предполагать, что η1 ≤ η2 .Напомним, что функция x(z) была определена в разделе 2.2.5. Пусть a и b —формальные переменные.Лемма 2.4.5. В обозначениях начала параграфа имеемII∞X−111c/η1E(ζk,I1 ζl,I2 )=dzdw, (2.4.4)k+1l+12ηηa b(2π) |z|2 = γ1 |w|2 = γ2 a − x(z) b − x(w) (cz/η1 − w)2k,l≥111ипонимаются как формальные степенные ряды по переменa − x(z)b − x(w)1 1ным и , соответственно. Кроме того, при η1 = η2 будем считать, что контурa bгде58η2+ δ, δ 1, а выражение в правой частиγ(2.4.4) воспринимается как предел при δ → 0.интегрирования по w имеет вид |w|2 =Доказательство.

Будем теперь считать, что u,v — комплексные переменные, и пустьконтур Γu задается условиемu=1,γ + r exp(iφ)φ ∈ [0, 2π],где r — произвольное положительное число с условием r > 2γ, а контур Γv являетсяокружностью с центром в 0 и радиусом 1. Тогда утверждение леммы 2.4.4 можнозаписать в видеIIX E(ζk,I ζl,I )−112= 2k+1 bl+1a4π u∈Γu v∈Γvk,l≥1PE( m,n≥1 ξm,I1 ξn,I2 um v n )dudv(ua − (1 + η1 (γu2 + γ 2 u3 + . . .

)))(vb − (1 + η2 (γv 2 + γ 2 v 3 + . . . )II−111= 222ηγu14π u∈Γu v∈Γv (ua − 1 −) (vb − 1 − η2 γv )(1−γu)×(1−γv)cγuvdudv, (2.4.5)((1 − γu)(1 − γv) − cγuv)2где в последнем равенстве используются леммы 2.4.1 и 2.4.2 (несимметричный выборконтуров Γu и Γv связан с неравенством η1 ≤ η2 ). Сделаем замену переменныхz=−1−η1, w=+ 1.(1/u − γ)γvПри такой замене переменных контуры Γu и Γv перейдут в контуры Γz и Γw , такжеобходящие вокруг 0, при этом контур Γz находится внутри контура Γw . Равенство(2.4.5) после такой замены приобретает видI IX E(ζk,I ζl,I )−11112= 2k+1l+1a b4π Γz Γw a + (η1 /z + γ(−1 + z)) b + (η2 /w + γ(−1 + w))k,l≥1×c/η1dzdw.(cz/η1 − w)259Напомним, что выражение в правой части рассматривается как формальный сте1 1пенной ряд по переменным и .

Таким образом, полюса подынтегральной функцииa bcz− w = 0. Продеформируеммогут находиться в точках z = 0 и w = 0, а также приη1η1η2Γz в окружность |z|2 =, а Γw — в окружность |w|2 =(а в случае η1 = η2 ,γγη2+ δ, для δ 1). Эта деформациябудем деформировать Γw в окружность |w|2 =γне проходит через возможные полюса подынтегральной функции, так как, очевидно,c≤ 1 и выполнено условие η1 ≤ η2 .