Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 10

Тогдаη1x(z) =−η1− γ(z − 1),zпри |z|2 =x(w) =−η2− γ(w − 1),wпри |w|2 =η1,γη2.γТаким образом,IIX E(ζk,I ζl,I )−11c/η112= 2dzdw.k+1l+12ab4π2 = η12 = η2 (a − x(z))(b − x(w)) (cz/η1 − w)|z||w|γγk,l≥1В случае η1 = η2 мы получаем это уравнение при контуре интегрирования по wη2вида |w|2 =+ δ и пределе δ → 0.γПредложение 2.4.1. В обозначениях начала параграфа имеемIIklpk,I1 − hpk,I1 i pl,I2 − hpl,I2 i·lim=L→∞LkLlπ |z|2 = ηγ1 ;I(z)>0 |w|2 = ηγ2 ;I(w)>0 c/γ − zw d(x(z)) d(x(w))k−1l−1 1(x(z)) (x(w))ln dzdw. (2.4.6)2π c/γ − z w̄ dzdwДоказательство.

Поскольку11=a − x(z)ax(z) x2 (z)1++ 2 + ... ,aaто, рассматривая (2.4.4) как равенство всех соответствующих коэффициентов двухформальных степенных рядов, получаем−1E(ζk,I1 ζl,I2 ) = 24πI|z|2 =η1 /γI|w|2 =η2 /γx(z)k x(w)lc/η1.(cz/η1 − w)2(2.4.7)60Заметим, что при η1 = η2 в подынтегральной функции правой части (2.4.6) находится интегрируемая особенность.

Поэтому для окончания подсчёта достаточнопреобразовать правую часть (2.4.6) в правую часть (2.4.7).η1Поскольку |z|2 = , тоγ c/γ − zw cccc = − ln2 ln z − w − lnz̄ − w̄ + lnz̄ − w + lnz − w̄ .c/γ − z w̄ η1η1η1η1Поэтому интеграл в (2.4.6) можно записать в виде−kl4π 2IIk−1(x(z))|z|2 =η1γ|w|2 =k−1(x(w))lnη2γcz−wη1d(x(z)) d(x(w))dzdw.dzdwИнтегрируя это выражение по частям, получаем−14π 2II|z|2 =η1γ(x(z))k (x(w))l|w|2 =η2γc1dzdw,η1 (c/η1 z − w)2что совпадает с (2.4.7).Поскольку утверждение предложения симметрично по I1 и I2 , то условие η1 ≤ η2можно опустить.2.5Доказательство асимптотической гауссовостиПусть I1 = I1 (L), I2 = I2 (L), .

. . , Ir = Ir (L) — набор конечных подмножеств натуральных чисел, зависящих от растущего параметра L, для которых существуютпределы|Ii |,L→∞ Lηi = limcij = limL→∞|Ii ∩ Ij |,Li = 1, 2 . . . , r.i, j = 1, 2, . . . , r.Основным доказываемым утверждением в этом разделе является61Предложение 2.5.1.

Пусть f1 ∈ Z(gl(I1 )), f2 ∈ Z(gl(I2 )), . . . , fr ∈ Z(gl(Ir )) —произвольные элементы. Тогдаf1 − hf1 i f2 − hf2 ifr − hfr i, wt(f2 )−1 , . . . , wt(fr )−1wt(f)−11LLL−−−→ (ξ1 , ξ2 , . . . , ξr ),L→∞где (ξ1 , ξ2 , . . . , ξr ) — гауссовский случайный вектор с нулевым средним, а сходимостьпонимается как сходимость в смысле состояний (см. раздел 2.2.6).В разделе 2.5.1 мы докажем частный случай этого утверждения, в разделе 2.5.2будет приведено доказательство леммы 2.4.1, в разделе 2.5.3 мы докажем предложение 2.5.1, а в разделе 2.5.4 будет доказана лемма 2.4.4.2.5.1Начало доказательства предложения 2.5.1В этом разделе мы докажем предложение 2.5.1 для случаяf i = p#ki ,Ii ,i = 1, 2 . . . , r.ПустьI=r[Ii .i=1Напомним, что элементы {p#ki ,Ii } можно представить в алгебре дифференциальных операторов C[xij , ∂ij ], i, j ∈ I, в виде (см. (2.3.2))XDI (p#kj ,Ij ) =xα1 i1 .

. . xαkj ikj ∂α1 i2 . . . ∂αkj i1 .i1 ,...,ikj ∈Ij ;α1 ,...αkj ∈IТогда произведение p#kj ,Ij вычисляется как произведение соответствующих им дифференциальных операторов, а состояние элемента, отвечающего дифференциальномуоператору D, вычисляется по формулеD expγLXi∈Iсм. раздел 2.3.1.!(xii − 1) ,xij =δij62Пусть (ξ1 , ξ2 , . . . , ξr ) — гауссовский случайный вектор с нулевым средним. Напомним, что совместные моменты его компонент вычисляются по формуле Вика0, l — нечетно,E(ξi1 ξi2 . . . ξil ) =(2.5.1)Ql/2Pl — четно,σ∈PM(l)i=1 E(ξσ(2i−1) ξσ(2i) ),где PM(l) — это множество инволюций {1, 2 .

. . , l} без неподвижных точек.Пусть#νj := p#kj ,Ij − hpkj ,Ij i, j = 1, 2, . . . , r,и пустьhνi νj i, i, j = 1, 2, . . . , r,L→∞ Lki +kjCν (i, j) = lim— асимптотическая ковариация этих величин (существование предела будет доказанониже).Предложение 2.5.2. В обозначениях выше имеем0, r — нечетно,hν1 ν2 . . . νr i−−−→Qr/2Lk1 +k2 +···+kr L→∞ Pi=1 Cν (σ(2i − 1), σ(2i)),σ∈PM(r)r — четно.Из этого предложения и формулы Вика (2.5.1) следует асимптотическая гауссоνiвость величин ki , i = 1, 2, .

. . , r.LВведем некоторые определения. Для монома M от {xij , ∂ij } (т.е. для слова изалфавита {xij , ∂ij }) назовем носителем supp(M ) множество индексов всех множителей. Будем называть покрытием cov(M ) число элементов в носителе. Определимx-степень монома как количество x-множителей, входящих в него, и ∂-степень — какчисло ∂-множителей. В случае, когда x- и ∂- степени монома M совпадают, будемназывать степенью и обозначать символом deg(M ) число, равное этим степеням. Назовем емкостью монома M количество диагональных ∂-операторов ∂ii в M , и будемобозначать это число cap(M ).Будем называть мономы M1 и M2 изоморфными, если между supp(M1 ) и supp(M2 )существует биекция, переводящая их друг в друга.

Обозначим множество мономовс индексами из I, изоморфных данному моному M0 , символом Isom(M0 ).63Пример. Пусть M = x12 ∂23 x23 x22 ∂41 ∂33 . Тогда supp(M ) = {1, 2, 3, 4}, cov(M ) = 4,deg(M ) = 3, cap(M ) = 1.Заметим, что для всякого монома M0 выполненоhM0 i = O(Lcap(M0 ) ),*+XM= O |I|cov(M0 ) Lcap(M0 ) .M :M ∈Isom(M0 );supp(M )⊂IНазовем моном M ∂-регулярным, если для любых i, j ∈ supp(M ), i 6= j, и длялюбого множителя ∂ij , правее этого множителя находится строго больше букв xij ,чем ∂ij . Назовем моном M x-регулярным, если для любых i, j ∈ supp(M ), i 6= j, идля любого множителя xij , левее этого множителя находится строго больше букв ∂ij ,чем xij .

Будем говорить, что моном M регулярен, если он ∂-регулярен и x-регулярен.Легко видеть, что если моном M не является регулярным, тоM exp γLX(xii − 1) = 0.xij =δijОпределим введенные понятия для дифференциальных операторов видаD = (xli11 i1 ∂il11i1 − Ll1 ) . . . (xliss is ∂ilssis − Lls ).(2.5.2)Носителем такого оператора назовем множество индексов {i1 , i2 , . . . , is }, покрытием— число различных элементов в носителе, и степенью — число l1 + l2 + · · · + ls .Сформулируем две леммы, которые будут доказаны ниже.Лемма 2.5.1.

Для любого оператора вида (2.5.2) выполненоhDi = O(Ldeg(D)−cov(D) ),при этомhDi = O(Ldeg(D)−cov(D)−1 ),(2.5.3)если {i1 , i2 , . . . , is } не разбивается на дизъюнктные пары равных индексов (в частности, (2.5.3) выполняется для всех нечетных s).64Лемма 2.5.2. Пусть C(1), . . .

, C(m) — мономы видаC(l) = xαl1 il1 . . . xαlk ilk ∂αl1 il2 . . . ∂αlk il1 , 1 ≤ l ≤ m,lllпричем cov(C(l)) ≥ 2 2 . Предположим, что мономM = C(1)C(2) . . . C(m)регулярен. Тогдаcap(M ) ≤ deg(M ) − cov(M ),причем равенство возможно только в случае, если m четно и существуетm/2 дизъюнктных множеств J1 , . .

. Jm/2 и разбиение {C(1), . . . , C(m)} на пары{C(j1 ), C(j2 )}, . . . , {C(jm−1 ), C(jm )}, такие чтоJk = supp(C(j2k−1 )) = supp(C(j2k )),k = 1, 2, . . . ,m.2Докажем предложение 2.5.2, используя леммы 2.5.1 и 2.5.2. Доказательство леммдано ниже.Доказательство.

Используя (2.3.2) и (2.3.4), запишем каждый оператор νl в видеνl =X(xkiil ∂iikl − γ kl Lkl )i∈Il+Xxα1 i1 . . . xαkl ikl ∂α1 i2 . . . ∂αkl i1 , (2.5.4)α1 ,...,αkl ∈I; i1 ,...,ikl ∈Ilгде во втором слагаемом суммирование идет по мономам, не все индексы которыхсовпадают. Обозначим слагаемые в (2.5.4) символами νldiag и νlof f −diag , соответственно.В произведенииν1 ν2 . . . νr = (ν1diag + ν1of f −diag ) . .

. (νrdiag + νrof f −diag )2lВ обозначениях αm, iln верхняя l является дополнительным индексом, а не степенью.65раскроем скобки. Каждый из полученных множителей является суммой по индексам,и в нем мы также раскроем скобки. Таким образом, выражение ν1 ν2 . . . νl представляется в виде суммы по индексам произведений множителей вида (xkii ∂iik − Lk ) (будем называть их диагональными ) и множителей вида xα1 i1 xα2 i2 . . . xαk ik ∂α1 i2 . . . ∂αk i1 ,покрытие которых больше или равно 2 (будем называть такие множители внедиагональными ).Рассмотрим одно из получившихся слагаемых. Пусть в нем находятся диагональ, a1 < · · · < as , и внедиагональные, . . .

, νadiagные множители Da1 , . . . , Das из νadiags1множители Cb1 , . . . , Cbt из νbof1 f −diag , . . . , νboft f −diag , b1 < · · · < bt , s + t = r.Заметим, что если такое слагаемое вносит ненулевой вклад в hν1 ν2 . . . νr i, то мономCb1 . . . Cbt является регулярным. Поэтому из леммы 5.2 следует, чтоcap(Cb1 . .

. Cbt ) ≤ kb1 + · · · + kbt − cov(Cb1 . . . Cbt ),причем равенство достигается только если множители Cb1 , . . . , Cbt разбиваются напары с непересекающимися носителями, общими для обоих членов каждой пары.Рассмотрим слагаемые, для которыхsupp(Da1 , . .