Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 14

Пусть M = M (N ) — это последовательность натуральных чисел, таких чтоM (N )= α ≥ 1.N →∞NlimПусть WN — это N × M (N ) матрица со случайными независимыми одинаково распределенными элементами, и такая чтоE|WN (1, 1)|k < ∞,для всех k = 1, 2, 3, . . . .90YРис. 3.3: Прямоугольная диаграмма Юнга wN(x) и кривая Ωα (x) для α = 2.25 иN = 400Символом YN мы обозначаем Уишартову матрицу размера N × N , то есть матрицуY(x) — это прямоугольная диаграмма Юнга, определяемаяYN = WN WNt . Пусть wNперемежающимися последовательностями YN и ŶN .Определим непрерывную функцию Ωα : R → R. ПустьΩ00α (x) =x + (α − 1)p,πx 4α − (x − (α + 1))2√√x ∈ [(α + 1) − 2 α; (α + 1) + 2 α],иΩα (x) = |x − α|,√√x ∈ (−∞; (α + 1) − 2 α] ∪ [(α + 1) + 2 α; ∞).Эти формулы однозначно задают (детерминированную) функцию Ωα (x).Теорема 3.1.2.

При N → ∞, выполнено1 Ylim sup wN (xN ) − Ωα (x) = 0,N →∞ x∈R Nпо вероятности.Замечание 4. Предельные формы Ωα (x) тесно связаны с биановскими предельнымиформами (см. [6]). Взаимосвязь между этими объектами описана в разделе 3.5.Замечание 5. Совместное распределение спектра миноров случайных матриц изучалось в многих статьях, см., например, [28], [1], [2], [8], [42]. Известно (см. [28]), что91собственные значения гауссовского унитарного ансамбля и его миноров образуют деXтерминантный процесс. Это дает другой метод для изучения кривой wNи другихсвязанных вопросов, как минимум в случае гауссовского унитарного ансамбля.Замечание 6. С помощью метода моментов также должно быть возможным доказатьXYцентральную предельную теорему для глобальных флуктуаций кривых wNи wN.Было бы интересно сравнить эту предельную теорему с результатами статей [26] и[40], а также с результатами статьи [8].Эта глава организована следующим образом.

В разделе 3.2 мы приводим некоторые предварительные сведения. В разделе 3.3 мы доказываем теорему 3.1.1. Вразделе 3.4 мы доказываем теорему 3.1.2. В разделе 3.5 мы приводим взаимосвязьмежду полученными нами предельными формами и полукруговым распределением,а также распределением Марченко-Пастура.3.2Непрерывные диаграммы ЮнгаНепрерывной диаграммой Юнга (см. [29]) называется функция w(x) на R, такая что1) |w(x1 ) − w(x2 )| ≤ |x1 − x2 | для любых x1 , x2 ∈ R.2) Существует точка x0 ∈ R, называемая центром диаграммы w, такая чтоw(x) = |x − x0 | при достаточно больших |x|.Множество всех непрерывных диаграмм Юнга обозначается символом D. Длялюбого w ∈ D мы определяем функцию σ(x) по формуле1σ(x) = (w(x) − |x|).2Поскольку функция σ(x) удовлетворяет условию Липшица 1), ее производная σ 0 (x)существует почти всюду и удовлетворяет неравенству |σ 0 (x)| ≤ 1.

Заметим, что функция σ 0 (x) имеет компактный носитель. Функция w(x) однозначно определяется поσ 0 (x). Более того, w(x) однозначно определяется по второй производной σ 00 (x), которая понимается в смысле распределения.92Определим функцию p̃k : D → R, k ∈ N, по формулеZ ∞Z ∞k−1 0p̃k (w) = −kx σ (x)dx =xk σ 00 (x)dx.−∞−∞Легко видеть, что для прямоугольной диаграммы Юнга w{xi },{yj } (x) (см. раздел3.1 ) мы имеем00σ (x) =nXδ(x − xi ) −i=1n−1Xδ(x − yj ).j=1Нам будет нужен следующий факт.Лемма3.2.1([26], Лемма 5.7). Пусть F([a; b]) — это множество всехвещественно-значных функций f (x) с носителем на интервале [a, b] ∈ R и удовлетворяющих условию Липшица |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ |x1 − x2 |.На множестве F([a; b]) слабая топология, определяемая функционаламиZf (x)xk dx, k = 0, 1, 2, .

. . ,f (x) →x∈[a;b]совпадает с топологией равномерной сходимости.3.3Доказательство теоремы 3.1.1X— случайная прямоугольная диаграмма Юнга, определяЛемма 3.3.1. Пусть wNемая собственными значениями вигнеровских матриц XN и X̂N (см. раздел 3.1 ).Тогда0,Xp̃k (wN)−−−→k/2N →∞ Nk — нечетно,k!,(k/2)!(k/2)!(3.3.1)k — четно,где сходимость понимается как сходимость по вероятности.Доказательство. Доказательство этой леммы близко к доказательству теоремыВигнера (см., например, [3, Section 2.1]) и основано на хорошо известном методемоментов.N −1 N −1NПусть {λN}i=1 — это собственi }i=1 — это собственные значения XN и пусть {λiные значения X̂N . Выполнено!ZNN−1XX−1Xp̃k (wN)=xkδ λN−δ λNdx = tr XNk − tr XNk −1 .ijx∈Ri=1j=193Пусть iN = (i1 , i2 , . . .

, ik ) пробегает множество мульти-индексов, таких что 1 ≤i1 , i2 , . . . , ik ≤ N . Аналогичным образом, пусть iN −1 = (i1 , i2 , . . . , ik ) пробегает множество мульти-индексов, таких что 1 ≤ i1 , i2 , . . . , ik ≤ N − 1. Тогда Xtr XNk − tr XNk −1 =XN (i1 , i2 )XN (i2 , i3 ) . . . X(ik , i1 )iN−XXXN (i1 , i2 )XN (i2 , i3 ) . . . X(ik , i1 ) =XN (i1 , i2 )XN (i2 , i3 ) . . . X(ik , i1 ),iN :N ∈iNiN −1где последняя сумма берется по индексам iN = (i1 , i2 , . . .

, ik ), таким что существуютr, 1 ≤ r ≤ k, с условием ir = N .Сначала мы посчитаем выражение!EXXN (i1 , i2 )XN (i2 , i3 ) . . . X(ik , i1 ) .iN :N ∈iNЭта сумма может быть записана как сумма слагаемых отвечающих определеннымграфам, которые в свою очередь ассоциированы с некоторыми словами. Предположим, что k нечетно; тогда в точности такие же оценки, как приведенные в [3, Lemma2.1.6] показывают, что вклад этих слагаемых в степень nk равен 0.Предположим, что k четно; тогда максимальный вклад дается так называемымиk!.словами Вигнера (см. [3, Опр. 2.1.10]). Число слов Вигнера равно(k/2 + 1)!(k/2)!Единственное отличие нашего случая от случая теоремы Вигнера заключается в том,что одна из вершин графа должна равняться N . Это условие дает дополнительныймножитель (k/2 + 1). Таким образом, мы получаем!Xlim N −k/2 EN →∞XN (i1 , i2 )XN (i2 , i3 ) .

. . X(ik , i1 )iN :N ∈iN=0,k — нечетное,k!,k — четное.(k/2)!(k/2)!(3.3.2)Во-вторых, мы имеем!2limN →∞N −k/2XiN :N ∈iNXN (i1 , i2 )XN (i2 , i3 ) . . . X(ik , i1 )= 0.(3.3.3)94Это равенство может быть доказано таким же образом, как и в [3, Лемма 2.1.7].Из уравнений (3.3.2) и (3.3.3) следует, что наблюдаемые p̃k сходятся к правойчасти уравнения (3.3.1) в L2 и, следовательно, по вероятности.Лемма 3.3.2 ([26] Предложение 5.3). Выполнено0,k — нечетно,p̃k (Ω) =k!,k — четно.(k/2)!(k/2)!.Лемма 3.3.3. Существует отрезок [−B; B], такой что вероятность выполнениянеравенствN−B < λNN ≤ · · · ≤ λ1 < Bстремится к 1 при N → ∞.Доказательство.

Это хорошо известный факт из теории случайных матриц, см.,например, [3].X. Ясно, чтоПусть zN — это центр прямоугольной диаграммы Юнга wNzNX(N, N )√lim √ = lim= 0,N →∞N →∞NNпо вероятности.XЭто равенство и лемма 3.3.3 влекут сходимость wNк Ω(x) вне отрезка [−B; B].Из лемм 3.3.1 и 3.3.2 для любого k ∈ N мы имеемXp̃k (wN)= p̃k (Ω),k/2N →∞ Nlimпо вероятности.(3.3.4)XСходимость wNк Ω(x) на интервале [−B; B] следует из уравнения (3.3.4) и леммы3.2.1.3.4Доказательство теоремы 3.1.2YЛемма 3.4.1. Пусть wN— это случайная прямоугольная диаграмма Юнга, опреде-ляемая собственными значениями уишартовских матриц YN и ŶN (см. раздел 3.1).95Тогда существует следующий пределYp̃k (wN)−−−→ mk ,kN →∞Nпо вероятности.(3.4.1)Производящая функция последовательности {mk }∞k=1 дается уравнением!∞X(α−1)z+111+ p.Gα (z) := 1 +mk z k =2(α − 1)2 z 2 − 2(α + 1)z + 1k=1Доказательство.

Доказательство этой леммы основано на методе моментов и следует [3, Упражнение 2.1.18].Пусть iN = (i1 , i2 , . . . , iN ), jN = (j1 , j2 , . . . , jN ) пробегает множество мультииндексов, таких что 1 ≤ i1 , i2 , . . . , iN ≤ N , 1 ≤ j1 , j2 , . . . , jN ≤ M (N ). Мы имеемYp̃k (wN) = tr(YNk ) − tr(YNk −1 ) =XYN (i1 , i2 )YN (i2 , i3 ) . . .

YN (iN , i1 )iN :N ∈iNX=WN (i1 , j1 )WN (i2 , j1 )WN (i2 , j1 )WN (i2 , j2 ) . . . WN (ik , jk )WN (i1 , jk ),iN ,jN :N ∈iNгде условие N ∈ iN означает, как и раньше, что существует число r, такое что ir = N .РавенствоE(tr(YNk ) − tr(YNk −1 ))2lim=0N →∞N 2kможет быть доказано таким же образом, как и в [3, Раздел 2.1]. Следовательно,остается найти старший член асимптотики суммы!EXWN (i1 , j1 )WN (i2 , j1 )WN (i2 , j1 )WN (i2 , j2 ) . . .

WN (ik , jk )WN (i1 , jk ) .iN ,jN :N ∈iN(3.4.2)Напомним, что путем Дика Dl длины 2l называется последовательность целыхчисел {Sn }0≤n≤2l , такая что S0 = 0, S2l = 0, |S(i)−S(i−1)| = 1 для 1 ≤ i ≤ 2l, и S(i) ≥0 для 0 ≤ i ≤ 2l. Пусть a(Dl ) — это число индексов i, таких что S(i) − S(i − 1) = −1 иS(i − 1) нечетно, и пусть b(Dl ) — это число индексов i, таких что S(i) − S(i − 1) = −1и S(i − 1) четно. Ясно, что a(Dl ) + b(Dl ) = l.Существует биективное соответствие между вигнеровскими словами и путями Дика (см., например, [3, Section 2.1]).

Легко видеть, что основной вклад в сумму (3.4.2)96имеет порядок N k и дается словами Вигнера длины 2k или, что эквивалентно, путямиДика длины 2k. Если последовательность (i1 , j1 , i2 , j2 , . . . , ik , jk ) является вигнеровским словом, то число a(Dk ) равно числу различных j-индексов в этом наборе, ачисло b(Dk ) + 1 равно числу различных i-индексов в этом наборе, где Dk — это соответствующий путь Дика. Таким образом, каждое слово дает вклад (b(Dk ) + 1)αa(Dk ) ,и мы получаемXmk =все(b(Dk ) + 1)αa(Dk ) .(3.4.3)DkПусть β — это формальная переменная, и пустьdr :=er :=Xвсе DrXвсеβ r−a(Dr ) αa(Dr ) ,r ≥ 1,d0 = 1;β a(Dr ) αr−a(Dr ) ,r ≥ 1,e0 = 1.DrРассматривая момент первого возвращения пути Дика Dr в 0, мы получаемdr = αrXdr−j ej−1 ,er = βj=1rXer−j dj−1 .j=1Следовательно,dr =Мы имеемdr = βαer ,βrXr ≥ 1.dr−j dj−1 + αdr−1 .(3.4.4)j=2Пусть d(z) — это производящая функция последовательности {dr }:d(z) := 1 +∞Xdr z r .r=1Используя (3.4.4), можно получитьd(z) = 1 + βzd(z)2 + (α − β)zd(z).Решая это уравнение и выбирая знак согласно условию d(0) = 1, мы получаемp1 − (α − β)z − ((α − β)z − 1)2 − 4βzd(z) =.2βz97Используя (3.4.3), мы получаем1+∞Xmk z k =k=1∂(βd(z))|β=1 .∂βЭто завершает доказательство леммы 3.4.1.Для параметра α > 1 определим функцию Ωα (x) по формуле 1(α−1)2 −x(α+1)α+1−x√(2α − x) arcsin 2√α − arctan(α−1) (x−α)2 +2α+2x−1πp√√Ωα (x) := + 2α + 2x − 1 − (x − α)2 ,для x ∈ [α + 1 − 2 α; α + 1 + 2 α];√√|x − α|,для x ∈ (−∞; (α + 1) − 2 α] ∪ [(α + 1) + 2 α; ∞),и для α = 1 пусть p11x(x − 2) arcsin( x − 1) − 4 − (x − 2)2 + ,22Ω1 (x) := π|x − 1|,для x ∈ (−∞; 0] ∪ [2; ∞).для x ∈ [0; 2];Легко видеть, что для параметра α ≥ 1, функция Ωα (x) является непрерывнойдиаграммой Юнга с центром в точке α.Лемма 3.4.2.

Производящая функция последовательности {p̃k (Ωα )} задается формулой∞X1p̃k (Ωα )z k =1+2k=11+ p(α − 1)z + 1(α − 1)2 z 2 − 2(α + 1)z + 1!.Доказательство. Напомним, чтоZp̃k (Ωα ) =RxkΩ00α (x)dx,2k ∈ N.Прямое вычисление показывает, что при α ≥ 1 выполнено√√x + (α − 1) p,x ∈ [α + 1 − 2 α; α + 1 + 2 α],2Ω00α (x) = πx 4α − (x − (α + 1))√√0,x 6= [α + 1 − 2 α; α + 1 + 2 α].Используя стандартный метод получения плотности меры из преобразования Стильтьеса (см., например, [3, Section 2.4]) мы получаем утверждение леммы.98YYПусть zN— это центр диаграммы wN. Заметим, чтоYYN (N, N )zN==NNPNj=1W(N, j)W(j, N )−−−→ α,N →∞NЭто равенство означает, что центр диаграммы1 Yw (N x)N Nпо вероятности.сходится к центру диаграм-мы Ω(α).

Из лемм 3.4.1 и 3.4.2 следует, чтоYp̃k (wN)−−−→ p̃k (Ωα ),kN →∞Nпо вероятности.Известно, что собственные значения матрицы Уишарта расположены на интервале,длина которого не зависит от N , с вероятностью, стремящейся к 1. Теорема 3.1.2следует из этих фактов таким же образом, как и при доказательстве теоремы 3.1.1.3.5Связь с полукруговым распределением и распределением Марченко-ПастураВ этом разделе мы кратко опишем взаимосвязь между предельными кривыми Ω и Ωαи хорошо известными полукруговым распределением и распределением МарченкоПастура, соответственно.Для интервала I обозначим символом M(I) множество вероятностных мер с носителем на I.