Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет“Высшая школа экономики”На правах рукописиУДК 512.815.6Буфетов Алексей ИгоревичСЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯИ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наукГ.И. Ольшанский.Москва – 2015ОглавлениеВведение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Глава 1. Центральная предельная теорема для экстремальных характеров бесконечной симметрической группы . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1. Введение к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Основные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Глава 2. Центральная предельная теорема для планшерелевских представлений бесконечномерной унитарной группы . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1. Введение к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Предварительные сведения . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3. Формулировка результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4. Подсчет ковариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .542.5. Доказательство асимптотической гауссовости . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Глава 3. Перемежающиеся последовательности Керова и случайныематрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .863.1. Введение к главе 3 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2. Непрерывные диаграммы Юнга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.3 Доказательство теоремы 3.1.1 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.4 Доказательство теоремы 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5 Связь с полукруговым распределением и распределением Марченко-Пастура 98Литература . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100ВведениеАктуальность темы исследования.Асимптотическая теория представлений изучает свойства представлений “больших” групп; фундаментальными примерами таких групп служат бесконечная симметрическая группа и бесконечномерная унитарная группа. Для подобных группнеприменимы многие методы и конструкции классической теории представлений.Тем не менее, в результате работ А.М. Вершика, С.В. Керова, Г.И. Ольшанского,А.Ю.

Окунькова, А.М. Бородина и других математиков была построена теория представлений “больших” групп, выявляющая как тесные параллели с классической теорией представлений конечных и компактных групп, так и новые эффекты, не имеющие аналога в классическом случае. Одной из наиболее интересных особенностейэтой теории является наличие большого количества взаимосвязей с разными областями математики, такими как алгебраическая комбинаторика, случайные матрицы,свободная вероятность, теория интегрируемых систем и другими.Бесконечная симметрическая группа может быть определена как (индуктивный)предел последовательности симметрических групп растущего размера; аналогично,бесконечномерная унитарная группа может быть определена как (индуктивный) предел последовательности унитарных групп растущей размерности.

В связи с этим возникает естественный вопрос: как связаны характеры бесконечных объектов и классические характеры конечных симметрических групп (или компактных унитарныхгрупп) ? Оказывается, эта взаимосвязь может быть описана с помощью вероятностных мер на комбинаторных объектах — разбиениях, и предельных теорем вероятностного характера, описывающих предельное поведение таких мер с ростом размеров34групп.Данная работа посвящена задачам асимптотической теории представлений, возникающим при анализе этих вероятностных мер. Полученные результаты естественным образом продолжают работы А.М. Вершика и С.В. Керова о характерах бесконечной симметрической группы, А.М.

Бородина и П. Феррари о характерах бесконечномерной унитарной группы и связанной с ними динамики на комбинаторных объектах, С.В. Керова о взаимосвязи асимптотической теории представлений и теориислучайных матриц. В то же время, в данной работе возникает новый тип вопросов— исследование предельного поведения представлений в контексте некоммутативнойвероятности.Степень разработанности темы исследования.Пусть S(n) — группа перестановок порядка n.

Зададим последовательностьS(1) ⊂ S(2) ⊂ · · · ⊂ S(n) ⊂ S(n + 1) ⊂ . . . ,в которой вложение S(n) ⊂ S(n+1) задается условием, что перестановки из Sn оставляют на месте n + 1-ый элемент. Бесконечной симметрической группой называетсяобъединение этой цепочки групп:S(∞) :=∞[S(n).n=1Характером бесконечной симметрической группы называется функция χ : S(∞) →C, удовлетворяющая следующим свойствам:1) Выполнено χ(e) = 1, где e — единица группы S(∞).2) Для любых g, h ∈ S(∞) выполнено χ(gh) = χ(hg).3) Для любого k ∈ N и любых g1 , .

. . , gk матрица [χ(gi−1 gj )]ki,j=1 неотрицательноопределена.Легко видеть, что множество характеров S(∞) является выпуклым. Задача нахождения границы (множества экстремальных точек) этого множества была решенаЭ. Тома. Оказывается, что экстремальные характеры взаимно однозначно соответствует наборам параметров P = ({αi }, {βj }, γ), где αi , βj , γ — вещественные числа,5удовлетворяющие соотношениямα1 ≥ α2 ≥ α3 ≥ . . . ≥ 0, β1 ≥ β2 ≥ β3 ≥ . . . ≥ 0, γ ≥ 0,∞X(αi + βi ) + γ = 1.i=1Хорошо известно, что неприводимые представления группы S(n) параметризуются диаграммами Юнга из n клеток.

Будем обозначать символом χλ нормированный(равный единице в единице группы) характер неприводимого представления S(n),отвечающего диаграмме Юнга λ. Пусть Yn — множество всех диаграмм Юнга из nклеток.Для экстремального характера χP , отвечающего набору параметров P, существует разложение:χP |S(n) =XMnP (λ)χλ .λ∈YnНесложно показать, что коэффициенты MnP (λ) задают вероятностную меру на Yn . Всвязи с этим возникает вопрос: как выглядит случайная диаграмма Юнга (распределенная по мере MnP ) при n → ∞ ?Пусть λi — длина i-ой строки диаграммы Юнга, и пусть λ0j — длина j-ого столбца.А.М. Вершик и С.В.

Керов [37] показали, что для длин строк случайных диаграммЮнга выполнен следующий закон больших чисел:λPi (n)−−→ αi ,probn0λjP (n)−−→ βj .probnВ первой главе делается следующий шаг в изучении вероятностных мер MnP — доказывается центральная предельная теорема для длин строк и столбцов.Одним из наиболее интересных примеров мер на диаграммах Юнга является мераПланшереля, возникающая как MnP0 для набора параметров P0 , отвечающего γ = 1и всем другим параметрам равным 0. Для этой меры А.М. Вершик и С.В Керов [54]доказали, что случайная диаграмма Юнга λ имеет глобальную предельную форму.Более подробно, каждой диаграмме Юнга λ можно сопоставить функцию λ : R →R, как показано на рисунке 1. Для случайной диаграммы Юнга распределенной помере Планшереля А.М.

Вершик и С.В Керов [54] и, независимо, Ф. Логан и Л.А.6Рис. 1: Функция λ(x), сопоставляемая диаграмме Юнга λ = (4, 2, 1, 1).Шепп [38] доказали, что 1√lim sup √ λ( nx) − Ω(x) = 0,nn→∞по вероятности,для некоторой детерминированной предельной функции Ω(x), которую мы будемназывать кривой Вершика-Керова.Теорема Керова [26] дает описание глобальных флуктуаций случайной функцииλ(x) вокруг кривой Ω(x). Оказывается, что эти флуктуации могут быть описаны спомощью некоторого гауссовского процесса.Вторая глава данной диссертации посвящена схожему типу вопросов, возникающих для бесконечномерной унитарной группы и одного из ее экстремальных характеров — так называемого одностороннего планшерелевского характера. В этомконтексте результат о предельной форме был получен Ф. Бианом [6], а результат офлуктуациях вокруг предельной формы — А.М. Бородиным и П.

Феррари [11]. Однако, основным объектом изучения второй главы являются некоммутативные случайные величины.Более подробно, вероятностные результаты, описывающие глобальное поведениеслучайной диаграммы Юнга, могут быть интерпретированы как предельное поведение некоторых случайных величин, определенных на некоммутативном вероятност-7ном пространстве. Сами эти величины коммутируют, поэтому результат может бытьсформулирован в терминах классической теории вероятностей. Однако, возникаетвопрос: а каково предельное поведение некоммутативных случайных величин, определенных на некоммутативном вероятностном пространстве? Во второй главе диссертации мы доказываем центральную предельную теорему для некоторого семействанекоммутирующих случайных величин. Особенностью данной теоремы является тотфакт, что допредельные некоммутирующие величины стремятся к коммутативномупределу, который может быть проинтерпретирован с помощью классической теориивероятностей.Третья глава диссертации посвящена связи асимптотической теории представлений и теории случайных матриц.

Следуя С.В. Керову ( [30], [31], [32] ), каждойсимметричной матрице сопоставляется кусочно-линейная функция, которую естественно считать обобщенной диаграммой Юнга. Мы исследуем асимптотическое поведение этой обобщенной диаграммы Юнга для широкого класса случайных матриц— вигнеровских матриц. Оказывается, что в пределе (рост размера матрицы к бесконечности) возникает кривая Ω(x) — кривая Вершика-Керова ! Это указывает натесную взаимосвязь между диаграммами Юнга, распределенными по мере Планшереля, и вигнеровскими случайными матрицами. Результаты иного типа, показывающие схожесть этих вероятностных моделей, были получены в работах [4], [13], [27].Цель работы.Найти асимптотическое поведение экстремальных характеров бесконечной симметрической группы.