Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137305), страница 9

Файл №1137305 Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений) 9 страницаДиссертация (1137305) страница 92019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

раздел2.3.1. Обозначим этот элемент также символом Mi,y,k . Отметим, что элементы Mi,y,kпри всех возможных значениях i, y, k лежат в одной объемлющей алгебре U(gl(∞)) сопределенным на ней состоянием h · i (см. раздел 2.3.2). Поэтому мы можем говоритьо сходимости этих элементов в смысле состояний (см. раздел 2.2.6). Нас интересуетих предельное распределение при L → ∞.53Мы доказываем, что совокупность {Hi }i∈J сходится к обобщенному гауссовскомупроцессу G{Ai }i∈J .

Определим соответствующие моменты процесса G{Ai }i∈J формулойZdx(z)x(z)k GAi (z)dz.Mi,y,k =dzz∈H;y=γ|z|2Теорема 2.3.1. При L → ∞, для любого регулярного семейства последовательностей J моменты {Mi,y,k }i∈J,y>0,k∈Z≥0 сходятся в смысле состояний к моментам{Mi,y,k }i∈J,y>0,k∈Z≥0 .Таким образом, в пределе при L → ∞ некоммутативность подалгебры U(gl(∞)),порожденной элементами Mi,y,k , исчезает (предельная алгебра A оказывается коммутативной), однако случайные поля Hi для различных индексов i не становятсянезависимыми.Пусть u = Lx. По определению функции высоты[Ly] √ Xd1Ai,[Ly]δ u − λs−s+HA (u, [Ly]) = − π.du i2s=1Напомним, что сдвинутой степенной суммой называется выражениеk k !|I|X11− −i +, I ⊂ N.pk,I =λIi − i +22i=1Функции pk,I ∈ A(I) и поэтому им соответствуют некоторые элементы из Z(gl(I))(см. 2.3.1).

Эти элементы также будем обозначать символом pk,I .Интегрирование по частям равенства (2.3.9) показывает, что можно записатьMi,y,k в виде√[Ly] k+1k+1X Ai,[Ly]Lπ X Ai,[Ly]11λs−s+−Eλs−s+k+122s=1s=1√L−(k+1) π=(pk+1,I − Epk+1,I ). (2.3.10)k+1−(k+1)[Ly]Поэтому Теорема 2.3.1 может быть переформулирована следующим образом:Теорема 2.3.2. Пусть k1 , . . . , km ≥ 1 и I1 , . . . , Im — конечные подмножества в N,зависящие от параметра L так, что существуют пределы54|Ir |> 0,L→∞ Lηr = lim|Ir ∩ Is |.L→∞Lcrs = limТогда, при L → ∞, наборL−kr (pkr ,Ir − Epkr ,Ir )mr=1из элементов U(gl(∞)) сходится, в смысле сходимости состояний (см.

(2.2.8)), кгауссовскому вектору (ξ1 , . . . , ξm ) с нулевым средним и ковариациейkr ksEξr ξs =πI|z|2 = ηγrI;I(z)>0(x(z))kr −1 (x(w))ks −1|w|2 = ηγs ;I(w)>0 crs /γ − zw d(x(z)) d(x(w))1ln dzdw.×2π crs /γ − z w̄ dzdw2.4Подсчет ковариацииВ этом разделе будет подсчитана асимптотическая ковариация элементов pk,I1 , pl,I2(см.

теорему 2.3.2). Сначала мы найдем ковариацию для элементов p#k,I , после чегоковариация для элементов pk,I будет найдена из формулы для замены базиса (2.2.9).Основным результатом данного параграфа является предложение 2.4.1.Пусть даны множества I = I(L) ⊂ N, I1 = I1 (L) ⊂ N, I2 = I2 (L) ⊂ N такие, чтосуществуют пределы|I||I1 ||I2 ||I1 ∩ I2 |, η1 = lim, η2 = lim, c = lim.L→∞ LL→∞ LL→∞L→∞ LLη = limНапомним, что состояние h·i также зависит от параметра L, см. раздел 2.3.2.Лемма 2.4.1.

В обозначениях выше имеем* #+min(k,l) ##Xpk,I1 − hp#kl n k+l−nk,I1 i pl,I2 − hpl,I2 inc γ.·−−−→klL→∞LLn nn=1(2.4.1)Доказательство. Доказательство этой леммы, использующее явную формулу (см.(2.3.2)) для дифференциальных операторов D(p#k,I ), приведено в разделе 2.5.2.55Пусть u и v — формальные переменные. Найдем производящую функцию полученного выражения.Лемма 2.4.2. Выполнено следующее равенствоmin(k,l) ∞ X∞XXcγuvkl n k+l−n  k lu v =nc γ.((1 − γu)(1 − γv) − cγuv)2n nn=1k=1 l=1Доказательство.

Пусть x1 = γu, x2 = γv, x3 =(2.4.2)c, и пусть x, y — формальныеγпеременные. Ясно, что∞ Xk Xk n k11+y x =.n1−(1+y)xk=1 n=1Дифференцированием этого равенства по y n раз получаем, что∞ Xk kxnx =.n(1 − x)n+1k=nСледовательно, выполняется равенство∞ X∞ X∞ Xkl k l n11+x1 x2 x3 =(1 − x1 )(1 − x2 ) n=1 k=n l=n n n(1 − x1 )(1 − x2 )+∞Xn=1xn1xn21xn3 =.n+1n+1(1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x1 )(1 − x2 ) − x1 x2 x3Дифференцируя полученное равенство по x3 , мы получаем утверждение леммы.Лемма 2.4.3.

В обозначениях начала параграфа имеемk+1p#ηγ kk,I − L−−−→ ξk,I ,L→∞Lkpk,I − Lk+1 mk,η−−−→ ζk,I .L→∞Lkгде ξk,I и ζk,I — нормальные случайные величины c нулевым средним, mk,η — некоторая положительная константа, а сходимость понимается как сходимость всмысле состояний (см. раздел 2.2.6) 1 .1что в данном случае эквивалентно сходимости в смысле моментов, если рассматривать p#k,I иpk,I как случайные величины на вероятностном пространстве Sign(I) с мерой PLγ , см.

раздел 2.2.3.56Доказательство. Математическое ожидание для элементов p#k,I дается формулой(2.3.4). Существование пределаhpk,I iL→∞ Lk+1mk,η := limследует из разложимости элементов pk,I в линейную комбинацию p#k,I . Таким образом, утверждение этой леммы — частный случай предложения 2.5.1, которое будетдоказано в разделе 2.5.Напомним, что коэффициент при tk у формального степенного ряда A(t) мы обозначаем символом [tk ]{A(t)}.Замечание 1. Из формулы (2.2.9) легко видеть, чтоmk,η =nk+1 o1[uk+1 ] 1 + ηγu2 + ηγ 2 u3 + . .

.k+11=[uk+1 ]k+1(γηu21+1 − γuk+1 ).Вычисляя, получаемmk,ηk+11 X k−r+1 r k + 1 k − rγη=.k + 1 r=0rr−1При η = 1 эта величина совпадает с полученной в [40, Prop. 5].Мы не определяем случайные величины ξk,I1 , ξl,I2 на одном вероятностном пространстве. Однако, мы будем использовать обозначение E(ξk,I1 ξl,I2 ), определяемое поформуле*E(ξk,I1 ξl,I2 ) := limL→∞l+1k+1η2 γ lp#η1 γ k p#k,I1 − Ll,I2 − L·LkLl+.Существование предела в этом выражении следует из предложения 2.5.1. Аналогично, введем обозначениеE(ζk,I1 ζl,I2 ) := limL→∞pk,I1 − mk,η1 Lk+1 pl,I2 − ml,η2 Ll+1·LkLl.57Лемма 2.4.4. В обозначениях начала параграфа, с формальными переменными u,v, имеем(E(ζk,I1 ζl,I2 ) = [uk+1 ][v l+1 ] E∞X!ξi,I1 uii=1∞X!!ξj,I2 v jj=1×1 + η1 u∞X!k(γu)i1 + η2 vi=1∞Xj=1(γv)j!l .Идея доказательства. Напомним, что формула перехода между базисами имеет вид(см. (2.2.9))pk =on1# 3k+12u+...)+ ...,u+p[uk+1 ] (1 + p#21k+1(2.4.3)Неформально говоря, лемма 2.4.3 утверждает, чтоk k+1p#+ ξk,I Lk + o(Lk ).k,I = ηγ LРассматривая выражениеh(pk,I1 − hpk,I1 i)(pl,I2 − hpl,I2 i)i,и подставляя в него формулу (2.4.3), мы получаем, что вклады степени Lk+l+2 иLk+l+1 сокращаются, а вклад в Lk+l возникает, если в одной из скобок, отвечающихrp#r , выбирается слагаемое порядка L , а во всех остальных — максимальные.

Из этогоследует утверждение леммы.Формальное доказательство приведено в разделе 2.5.4.Начиная с этого момента мы будем предполагать, что η1 ≤ η2 .Напомним, что функция x(z) была определена в разделе 2.2.5. Пусть a и b —формальные переменные.Лемма 2.4.5. В обозначениях начала параграфа имеемII∞X−111c/η1E(ζk,I1 ζl,I2 )=dzdw, (2.4.4)k+1l+12ηηa b(2π) |z|2 = γ1 |w|2 = γ2 a − x(z) b − x(w) (cz/η1 − w)2k,l≥111ипонимаются как формальные степенные ряды по переменa − x(z)b − x(w)1 1ным и , соответственно. Кроме того, при η1 = η2 будем считать, что контурa bгде58η2+ δ, δ 1, а выражение в правой частиγ(2.4.4) воспринимается как предел при δ → 0.интегрирования по w имеет вид |w|2 =Доказательство.

Будем теперь считать, что u,v — комплексные переменные, и пустьконтур Γu задается условиемu=1,γ + r exp(iφ)φ ∈ [0, 2π],где r — произвольное положительное число с условием r > 2γ, а контур Γv являетсяокружностью с центром в 0 и радиусом 1. Тогда утверждение леммы 2.4.4 можнозаписать в видеIIX E(ζk,I ζl,I )−112= 2k+1 bl+1a4π u∈Γu v∈Γvk,l≥1PE( m,n≥1 ξm,I1 ξn,I2 um v n )dudv(ua − (1 + η1 (γu2 + γ 2 u3 + . . .

)))(vb − (1 + η2 (γv 2 + γ 2 v 3 + . . . )II−111= 222ηγu14π u∈Γu v∈Γv (ua − 1 −) (vb − 1 − η2 γv )(1−γu)×(1−γv)cγuvdudv, (2.4.5)((1 − γu)(1 − γv) − cγuv)2где в последнем равенстве используются леммы 2.4.1 и 2.4.2 (несимметричный выборконтуров Γu и Γv связан с неравенством η1 ≤ η2 ). Сделаем замену переменныхz=−1−η1, w=+ 1.(1/u − γ)γvПри такой замене переменных контуры Γu и Γv перейдут в контуры Γz и Γw , такжеобходящие вокруг 0, при этом контур Γz находится внутри контура Γw . Равенство(2.4.5) после такой замены приобретает видI IX E(ζk,I ζl,I )−11112= 2k+1l+1a b4π Γz Γw a + (η1 /z + γ(−1 + z)) b + (η2 /w + γ(−1 + w))k,l≥1×c/η1dzdw.(cz/η1 − w)259Напомним, что выражение в правой части рассматривается как формальный сте1 1пенной ряд по переменным и .

Таким образом, полюса подынтегральной функцииa bcz− w = 0. Продеформируеммогут находиться в точках z = 0 и w = 0, а также приη1η1η2Γz в окружность |z|2 =, а Γw — в окружность |w|2 =(а в случае η1 = η2 ,γγη2+ δ, для δ 1). Эта деформациябудем деформировать Γw в окружность |w|2 =γне проходит через возможные полюса подынтегральной функции, так как, очевидно,c≤ 1 и выполнено условие η1 ≤ η2 .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
972,66 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6354
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее