Диссертация (1137305), страница 13
Текст из файла (страница 13)
, jn−2k },82такое что C(i1 ), . . . , C(i2k−1 ) — кратные ∂-циклы, C(i2 ), . . . , C(i2k ), C(j1 ), . . . ,C(jn−2k ) — кратные x-циклы, и выполненоG = (C(i1 )#R C(i2 )) t · · · t (C(i2k−1 )#R C(i2k )) t C(j1 ) t · · · t C(jn−2k ).Доказательство. Будем доказывать эту лемму индукцией по n.База. При n = 1 граф G можно получить из l-кратного полного цикла склейкой вершин. Проведем сначала склеивание вершин внутри каждой из l компонент,а потом у разных компонент. На первом этапе, аналогично случаю n = 1 в лемме2.5.3, получаем, что в каждой из компонент, содержащих как минимум две вершины,|V | ≤ |Ex |, а в компонентах, состоящих из одной вершины, выполнено |V | = |Ex | + 1(1 = 0+1). Склеивание вершин из разных компонент уменьшает |V | и не увеличивает|Ex |. Поскольку, по определению, не все компоненты кратных циклов содержат однувершину, то утверждение доказано.Индукционный переход.Предположим, что лемма выполнена дляG2 := C(2)# .
. . #C(n).Рассмотрим три случая, аналогичные трем случаям леммы 2.5.3:1) Носители C(1) и G2 не пересекаются.2) Происходит склейка по крайней мере одной вершины графов C(1) и G2 . Вкаждой из l1 -ой компоненты C(1) либо все вершины приклеиваются к графу G2 ,либо все не приклеиваются.3) Имеется по крайней мере одна компонента C(1), в которой часть вершин приклеиваются к вершинам G2 , а часть — не приклеиваются.Случай (1) рассматривается так же, как случай (1) в доказательстве леммы 2.5.3.В случае (2) рассмотрим связную компоненту C(1), содержащую больше одной вершины. Если эта компонента не лежит в G2 , то из ∂-регулярности графа G следует, чтоона является ∂-регулярным циклом, и лемма 2.5.3 при n = 1 дает оценку |V | ≤ |Ex |для этой компоненты.
Если же эта компонента лежит в G2 , то она не увеличиваетчисло вершин в G по сравнению с G2 , но может увеличивать число невырожденных83x-ребер. С другой стороны, одновершинные компоненты увеличивают |V | не более,чем на 1 (и не меняют |Ex |). Суммируя по всем связным компонентам C(1), мыполучаем оценку|V (G1 )| − |Ex (G1 )| ≤ |V (G2 )| − |Ex (G2 )| + (l1 − 1),причем равенство возможно лишь при условияха) C(1) имеет (l1 − 1) одновершинную компоненту, которые не пересекаются с G2 .b) Оставшаяся компонента графа C(1) не имеет невырожденных x-ребер, а ееневырожденные ∂-ребра обязаны накрывать x-ребра в G2 .с) Для любых a 6= b ∈ V (G2 ), выполнено|E∂ab (C(1))| ≤ |Exab (G2 )| − |E∂ab (G2 )|.Индукционное предположение для G2 и эти условия дают требуемую структуру дляG1 .Наконец, рассмотрим случай (3).
Доказательство случая (3) в лемме 2.5.3 показывает, что для любой связной компоненты в C(1), частично пересекающейся сG2 , выполнено строгое неравенство |V | < |Ex |. Для любой другой компоненты рассуждения из случая (2) показывают, что число вершин, которые она добавляет, непревосходит числа ее невырожденных ребер плюс один. Поэтому выполненоnX|V (G1 )| − |Ex (G1 )| < |V (G2 )| − |Ex (G2 )| + l1 − 1 ≤(li − 1),i=1что завершает доказательство леммы 2.5.6.Вывод леммы 2.5.5 из леммы 2.5.6 полностью совпадает с выводом леммы 2.5.2из леммы 2.5.3.2.5.4Доказательство леммы 2.4.4~Для набора целых чисел ~i := (i1 , . . .
, ik+1 ) ∈ Zk+1≥0 будем обозначать символом s(i)сумму этих чиселs(~i) :=k+1Xj=1ij ,84и символом n(~i) число компонент вектора ~i, которые строго больше 0. Каждому вектору ~i однозначно сопоставляется разбиение ρ(~i), которое получается отбрасываниемвсех нулевых компонент и упорядочиванием оставшихся компонент. Заметим, чтоwt(ρ(~i)) = s(~i) + n(~i).Будем также считать, что p#0 = 1. По формуле (2.2.9), выполнено разложениеpk,I1=k+1Xk+1Yp#ij ,I + . . . ,(2.5.13)~i:s(~i)+n(~i)=k+1 j=1где точками обозначены слагаемые веса ≤ k.Известно (см.
[26, Prop. 4.9]), что для любого разбиения ρ = (k1 , k2 , . . . , kl(ρ) ) выполненоp#ρ=l(ρ)Yp#kj + . . . ,(2.5.14)j=1где точками обозначены слагаемые веса ≤ wt(ρ) − 1. Напомним, что {p#ρ } образуетлинейный базис в алгебре сдвинуто-симметрических функций. Из (2.5.13) и (2.5.14)следует, что элемент pk,I раскладывается в линейную комбинацию p#ρ,I следующимобразом:Xpk,I − hpk,I i =~i:s(~i)+n(~i)=k+1p#ρ(~i),IDE#− pρ(~i),I+Xp#ρ,I−Dp#ρ,IE.(2.5.15)ρ:wt(ρ)≤kРассмотрим произведениеh(pk,I1 − hpk,I1 i) (pl,I2 − hpl,I2 i)i ,подставим в него разложение (2.5.15) и раскроем скобки.
Из предложения 2.5.1 следует, чтоDp#ρ1 ,I1−E##pρ2 ,I2 − hpρ2 ,I2 i = O Lwt(ρ1 )+wt(ρ2 ) .hp#ρ1 ,I1 iТаким образом, вклад в старшую степень ковариации элементов pk,I1 и pl,I2 даютслагаемые видаDE###p#−hpip−hpi,ρ1 ,I1ρ1 ,I1ρ2 ,I2ρ2 ,I2(2.5.16)85в которых wt(ρ1 ) = k + 1 и wt(ρ2 ) = l + 1. Запишем элементы p#ρ,I в виде дифференциальных операторов. Напомним, что граф, отвечающий такому дифференциальномуоператору, состоит из l(ρ) связных компонент. Из доказательства леммы 2.5.6 следует, что вклад в старшую степень выражения (2.5.16) возникает в случае, когдапо одной из связных компонент соответствующих графов имеют общий носитель,а остальные связные компоненты имеют непересекающиеся одноточечные носители.Пусть ρ1 = (k1 , k2 , .
. . , kl(ρ1 ) ) и ρ2 = (m1 , m2 , . . . , ml(ρ2 ) ). Будем считать, что общийноситель имеют компоненты, отвечающие ka и mb . Тогда вклад, возникающий из#взаимодействия этих компонент, равен ковариации элементов p#ka ,I1 и pmb ,I2 , а вкладыостальных компонент равны их математическим ожиданиям. Это дает утверждениелеммы 2.4.4.Глава 3Перемежающиесяпоследовательности Керова ислучайные матрицы3.1Введение к главе 3n−1Рассмотрим две последовательности вещественных чисел {xi }ni=1 , {yj }j=1, таких чтоx1 ≥ y1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn−1 ≥ yn−1 ≥ xn .(3.1.1)n−1Будем говорить, что такие последовательности {xi }ni=1 , {yj }j=1перемежаются.Определим числоz0 =nXxi −i=1n−1Xyj .j=1Следуя Керову, (см.
[29]) определим прямоугольную диаграмму Юнга w{xi },{yj } (x),однозначно задаваемую следующими условиями (см. рисунок 3.1):1) w{xi },{yj } (x) : R → R — это непрерывная кусочно-линейная функция, такая что∂ {xi },{yj }w(x) = ±1, за исключением конечного числа точек, в которых эта функция∂xдостигает локальных экстремумов.2) Точки {xi }ni=1 являются локальными минимумами функции w{xi },{yj } (x), точки{xi },{yj }{yj }n−1(x), и у этой функцииj=1 являются локальными максимумами функции w8687xN yN-1 xN-1 yN-1 xN-2z0x3 y2x2y1 x1Рис. 3.1: Прямоугольная диаграмма Юнгане существует других локальных экстремумов.3) Для достаточно больших |x| выполнено w{xi },{yj } (x) = |x − z0 |.Пусть S является вещественной симметричной матрицей размера N × N .
Символом Ŝ обозначим ее подматрицу размера (N − 1) × (N − 1); она получается из Sисключением N -ой строчки и столбца. Хорошо известно, что собственные значенияматриц S и Ŝ перемежаются (см., например, [25, p.185]). Таким образом, каждойсимметрической матрице мы можем сопоставить прямоугольную диаграмму Юнга,построенную по собственным значениям S и Ŝ.Пусть {Zij }∞i,j=1 — это семейство независимых, одинаково распределенных веще2ственных случайных величин с нулевым средним, таких что EZ11=1иE|Z11 |k < ∞,для всех k = 1, 2, 3, .
. . .Симметрическая N × N матрица XN , определяемая с помощью формулыXN (i, j) = XN (j, i) = Zij ,для i ≤ j,Xназывается матрицей Вигнера. Пусть wN(x) — это прямоугольная диаграмма Юнга,Xпостроенная с помощью собственных значений матриц XN и X̂N . Отметим, что wN(x)является случайной кусочно-линейной функцией.
Нас интересует асимптотическоеXпредельное поведение функции wN(x) при N → ∞.88Рис. 3.2: Прямоугольная диаграмма Юнга wN (x) и Ω(x) для N = 1100Пусть√ 2 x arcsin( x ) + 4 − x2 ,2Ω(x) = π|x|,|x| ≤ 2,|x| ≥ 2,— это кривая Вершика-Керова-Логана-Шеппа (см. [54] и [38]).Теорема 3.1.1.
При N → ∞ выполнено 1 X √lim sup √ wN (x N ) − Ω(x) = 0,N →∞ x∈RNпо вероятности.Замечание 2. Аналогичный результат (с аналогичным доказательством) верен и длякомплексных эрмитовых матриц; в частности, он выполнен для гауссовского унитарного ансамбля.Перемежающиеся последовательности возникают естественным образом в различных областях математики.
Они предоставляют полезную систему координат длядиаграмм Юнга (см. [33],[26]). Также они возникают как корни двух последовательных ортогональных многочленов (см. [30]). Более общее понятие перемежающихсямер было изучено в [32].Впервые кривая Ω(x) возникла в контексте асимптотической теории представлений. Эта кривая является предельной формой случайной диаграммы Юнга, распределенной по мере Планшереля (см. подробности в [54], [38], [55], и [26, Глава895]). После этого было показано, что кривая Ω(x) возникает в пределе при описаниисовместного предельного поведения корней двух последовательных ортогональныхмногочленов (см.
[30]). Эта кривая также возникает как предельная кривая для эволюции непрерывных диаграмм Юнга (см. [31]), а также в теории случайных матриц.Мы сформулируем результат из [30], связанный с теорией случайных матриц.Пусть hN ⊂ RN — случайная гиперплоскость, такая что 0 ∈ hN и нормальный вектор к hN равномерно распределен по единичной сфере. Пусть p — это проекционныйоператор на hN . Рассмотрим XN как оператор в RN и рассмотрим также операторpXN p в пространстве hN . Тогда собственные значения операторов XN и pXN p перемежаются. Построим прямоугольную диаграмму Юнга w̃N по собственным значениямэтих операторов.Theorem ([30], Теорема 3.6).
При N → ∞, выполнено√1lim √ Ew̃N (x N ) = Ω(x),N →∞N(3.1.2)при этом сходимость равномерна по x ∈ R.Замечание 3. В контексте теоремы 3.1.1 мы рассматриваем ограничение на фиксированную гиперплоскость, в то время как в этом утверждении гиперплоскость случайна. Другая разница заключается в том, что в теореме 3.1.1 доказывается сходимостьпо вероятности, в то время как теорема (3.1.2) дает только сходимость математического ожидания.Рассмотрим теперь матрицы Уишарта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
