Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137305), страница 13

Файл №1137305 Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений) 13 страницаДиссертация (1137305) страница 132019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

, jn−2k },82такое что C(i1 ), . . . , C(i2k−1 ) — кратные ∂-циклы, C(i2 ), . . . , C(i2k ), C(j1 ), . . . ,C(jn−2k ) — кратные x-циклы, и выполненоG = (C(i1 )#R C(i2 )) t · · · t (C(i2k−1 )#R C(i2k )) t C(j1 ) t · · · t C(jn−2k ).Доказательство. Будем доказывать эту лемму индукцией по n.База. При n = 1 граф G можно получить из l-кратного полного цикла склейкой вершин. Проведем сначала склеивание вершин внутри каждой из l компонент,а потом у разных компонент. На первом этапе, аналогично случаю n = 1 в лемме2.5.3, получаем, что в каждой из компонент, содержащих как минимум две вершины,|V | ≤ |Ex |, а в компонентах, состоящих из одной вершины, выполнено |V | = |Ex | + 1(1 = 0+1). Склеивание вершин из разных компонент уменьшает |V | и не увеличивает|Ex |. Поскольку, по определению, не все компоненты кратных циклов содержат однувершину, то утверждение доказано.Индукционный переход.Предположим, что лемма выполнена дляG2 := C(2)# .

. . #C(n).Рассмотрим три случая, аналогичные трем случаям леммы 2.5.3:1) Носители C(1) и G2 не пересекаются.2) Происходит склейка по крайней мере одной вершины графов C(1) и G2 . Вкаждой из l1 -ой компоненты C(1) либо все вершины приклеиваются к графу G2 ,либо все не приклеиваются.3) Имеется по крайней мере одна компонента C(1), в которой часть вершин приклеиваются к вершинам G2 , а часть — не приклеиваются.Случай (1) рассматривается так же, как случай (1) в доказательстве леммы 2.5.3.В случае (2) рассмотрим связную компоненту C(1), содержащую больше одной вершины. Если эта компонента не лежит в G2 , то из ∂-регулярности графа G следует, чтоона является ∂-регулярным циклом, и лемма 2.5.3 при n = 1 дает оценку |V | ≤ |Ex |для этой компоненты.

Если же эта компонента лежит в G2 , то она не увеличиваетчисло вершин в G по сравнению с G2 , но может увеличивать число невырожденных83x-ребер. С другой стороны, одновершинные компоненты увеличивают |V | не более,чем на 1 (и не меняют |Ex |). Суммируя по всем связным компонентам C(1), мыполучаем оценку|V (G1 )| − |Ex (G1 )| ≤ |V (G2 )| − |Ex (G2 )| + (l1 − 1),причем равенство возможно лишь при условияха) C(1) имеет (l1 − 1) одновершинную компоненту, которые не пересекаются с G2 .b) Оставшаяся компонента графа C(1) не имеет невырожденных x-ребер, а ееневырожденные ∂-ребра обязаны накрывать x-ребра в G2 .с) Для любых a 6= b ∈ V (G2 ), выполнено|E∂ab (C(1))| ≤ |Exab (G2 )| − |E∂ab (G2 )|.Индукционное предположение для G2 и эти условия дают требуемую структуру дляG1 .Наконец, рассмотрим случай (3).

Доказательство случая (3) в лемме 2.5.3 показывает, что для любой связной компоненты в C(1), частично пересекающейся сG2 , выполнено строгое неравенство |V | < |Ex |. Для любой другой компоненты рассуждения из случая (2) показывают, что число вершин, которые она добавляет, непревосходит числа ее невырожденных ребер плюс один. Поэтому выполненоnX|V (G1 )| − |Ex (G1 )| < |V (G2 )| − |Ex (G2 )| + l1 − 1 ≤(li − 1),i=1что завершает доказательство леммы 2.5.6.Вывод леммы 2.5.5 из леммы 2.5.6 полностью совпадает с выводом леммы 2.5.2из леммы 2.5.3.2.5.4Доказательство леммы 2.4.4~Для набора целых чисел ~i := (i1 , . . .

, ik+1 ) ∈ Zk+1≥0 будем обозначать символом s(i)сумму этих чиселs(~i) :=k+1Xj=1ij ,84и символом n(~i) число компонент вектора ~i, которые строго больше 0. Каждому вектору ~i однозначно сопоставляется разбиение ρ(~i), которое получается отбрасываниемвсех нулевых компонент и упорядочиванием оставшихся компонент. Заметим, чтоwt(ρ(~i)) = s(~i) + n(~i).Будем также считать, что p#0 = 1. По формуле (2.2.9), выполнено разложениеpk,I1=k+1Xk+1Yp#ij ,I + . . . ,(2.5.13)~i:s(~i)+n(~i)=k+1 j=1где точками обозначены слагаемые веса ≤ k.Известно (см.

[26, Prop. 4.9]), что для любого разбиения ρ = (k1 , k2 , . . . , kl(ρ) ) выполненоp#ρ=l(ρ)Yp#kj + . . . ,(2.5.14)j=1где точками обозначены слагаемые веса ≤ wt(ρ) − 1. Напомним, что {p#ρ } образуетлинейный базис в алгебре сдвинуто-симметрических функций. Из (2.5.13) и (2.5.14)следует, что элемент pk,I раскладывается в линейную комбинацию p#ρ,I следующимобразом:Xpk,I − hpk,I i =~i:s(~i)+n(~i)=k+1p#ρ(~i),IDE#− pρ(~i),I+Xp#ρ,I−Dp#ρ,IE.(2.5.15)ρ:wt(ρ)≤kРассмотрим произведениеh(pk,I1 − hpk,I1 i) (pl,I2 − hpl,I2 i)i ,подставим в него разложение (2.5.15) и раскроем скобки.

Из предложения 2.5.1 следует, чтоDp#ρ1 ,I1−E##pρ2 ,I2 − hpρ2 ,I2 i = O Lwt(ρ1 )+wt(ρ2 ) .hp#ρ1 ,I1 iТаким образом, вклад в старшую степень ковариации элементов pk,I1 и pl,I2 даютслагаемые видаDE###p#−hpip−hpi,ρ1 ,I1ρ1 ,I1ρ2 ,I2ρ2 ,I2(2.5.16)85в которых wt(ρ1 ) = k + 1 и wt(ρ2 ) = l + 1. Запишем элементы p#ρ,I в виде дифференциальных операторов. Напомним, что граф, отвечающий такому дифференциальномуоператору, состоит из l(ρ) связных компонент. Из доказательства леммы 2.5.6 следует, что вклад в старшую степень выражения (2.5.16) возникает в случае, когдапо одной из связных компонент соответствующих графов имеют общий носитель,а остальные связные компоненты имеют непересекающиеся одноточечные носители.Пусть ρ1 = (k1 , k2 , .

. . , kl(ρ1 ) ) и ρ2 = (m1 , m2 , . . . , ml(ρ2 ) ). Будем считать, что общийноситель имеют компоненты, отвечающие ka и mb . Тогда вклад, возникающий из#взаимодействия этих компонент, равен ковариации элементов p#ka ,I1 и pmb ,I2 , а вкладыостальных компонент равны их математическим ожиданиям. Это дает утверждениелеммы 2.4.4.Глава 3Перемежающиесяпоследовательности Керова ислучайные матрицы3.1Введение к главе 3n−1Рассмотрим две последовательности вещественных чисел {xi }ni=1 , {yj }j=1, таких чтоx1 ≥ y1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn−1 ≥ yn−1 ≥ xn .(3.1.1)n−1Будем говорить, что такие последовательности {xi }ni=1 , {yj }j=1перемежаются.Определим числоz0 =nXxi −i=1n−1Xyj .j=1Следуя Керову, (см.

[29]) определим прямоугольную диаграмму Юнга w{xi },{yj } (x),однозначно задаваемую следующими условиями (см. рисунок 3.1):1) w{xi },{yj } (x) : R → R — это непрерывная кусочно-линейная функция, такая что∂ {xi },{yj }w(x) = ±1, за исключением конечного числа точек, в которых эта функция∂xдостигает локальных экстремумов.2) Точки {xi }ni=1 являются локальными минимумами функции w{xi },{yj } (x), точки{xi },{yj }{yj }n−1(x), и у этой функцииj=1 являются локальными максимумами функции w8687xN yN-1 xN-1 yN-1 xN-2z0x3 y2x2y1 x1Рис. 3.1: Прямоугольная диаграмма Юнгане существует других локальных экстремумов.3) Для достаточно больших |x| выполнено w{xi },{yj } (x) = |x − z0 |.Пусть S является вещественной симметричной матрицей размера N × N .

Символом Ŝ обозначим ее подматрицу размера (N − 1) × (N − 1); она получается из Sисключением N -ой строчки и столбца. Хорошо известно, что собственные значенияматриц S и Ŝ перемежаются (см., например, [25, p.185]). Таким образом, каждойсимметрической матрице мы можем сопоставить прямоугольную диаграмму Юнга,построенную по собственным значениям S и Ŝ.Пусть {Zij }∞i,j=1 — это семейство независимых, одинаково распределенных веще2ственных случайных величин с нулевым средним, таких что EZ11=1иE|Z11 |k < ∞,для всех k = 1, 2, 3, .

. . .Симметрическая N × N матрица XN , определяемая с помощью формулыXN (i, j) = XN (j, i) = Zij ,для i ≤ j,Xназывается матрицей Вигнера. Пусть wN(x) — это прямоугольная диаграмма Юнга,Xпостроенная с помощью собственных значений матриц XN и X̂N . Отметим, что wN(x)является случайной кусочно-линейной функцией.

Нас интересует асимптотическоеXпредельное поведение функции wN(x) при N → ∞.88Рис. 3.2: Прямоугольная диаграмма Юнга wN (x) и Ω(x) для N = 1100Пусть√ 2 x arcsin( x ) + 4 − x2 ,2Ω(x) = π|x|,|x| ≤ 2,|x| ≥ 2,— это кривая Вершика-Керова-Логана-Шеппа (см. [54] и [38]).Теорема 3.1.1.

При N → ∞ выполнено 1 X √lim sup √ wN (x N ) − Ω(x) = 0,N →∞ x∈RNпо вероятности.Замечание 2. Аналогичный результат (с аналогичным доказательством) верен и длякомплексных эрмитовых матриц; в частности, он выполнен для гауссовского унитарного ансамбля.Перемежающиеся последовательности возникают естественным образом в различных областях математики.

Они предоставляют полезную систему координат длядиаграмм Юнга (см. [33],[26]). Также они возникают как корни двух последовательных ортогональных многочленов (см. [30]). Более общее понятие перемежающихсямер было изучено в [32].Впервые кривая Ω(x) возникла в контексте асимптотической теории представлений. Эта кривая является предельной формой случайной диаграммы Юнга, распределенной по мере Планшереля (см. подробности в [54], [38], [55], и [26, Глава895]). После этого было показано, что кривая Ω(x) возникает в пределе при описаниисовместного предельного поведения корней двух последовательных ортогональныхмногочленов (см.

[30]). Эта кривая также возникает как предельная кривая для эволюции непрерывных диаграмм Юнга (см. [31]), а также в теории случайных матриц.Мы сформулируем результат из [30], связанный с теорией случайных матриц.Пусть hN ⊂ RN — случайная гиперплоскость, такая что 0 ∈ hN и нормальный вектор к hN равномерно распределен по единичной сфере. Пусть p — это проекционныйоператор на hN . Рассмотрим XN как оператор в RN и рассмотрим также операторpXN p в пространстве hN . Тогда собственные значения операторов XN и pXN p перемежаются. Построим прямоугольную диаграмму Юнга w̃N по собственным значениямэтих операторов.Theorem ([30], Теорема 3.6).

При N → ∞, выполнено√1lim √ Ew̃N (x N ) = Ω(x),N →∞N(3.1.2)при этом сходимость равномерна по x ∈ R.Замечание 3. В контексте теоремы 3.1.1 мы рассматриваем ограничение на фиксированную гиперплоскость, в то время как в этом утверждении гиперплоскость случайна. Другая разница заключается в том, что в теореме 3.1.1 доказывается сходимостьпо вероятности, в то время как теорема (3.1.2) дает только сходимость математического ожидания.Рассмотрим теперь матрицы Уишарта.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
972,66 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее