Диссертация (1137305), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. , Das ) ∩ supp(Cb1 , . . . , Cbt ) = ∅.Тогда из лемм 5.1 и 5.2 следует, что вклад одного слагаемого не превосходитO(Lk1 +···+kr −cov(Da1 ...Das )−cov(Cb1 ...Cbt ) ),если и {Da1 , . . . , Das }, и {Cb1 , . . . , Cbt } разбиваются на пары с одинаковыми носителями, причем носители различных пар не пересекаются, иO(Lk1 +···+kr −cov(Da1 ...Das )−cov(Cb1 ...Cbt )−1 )в противном случае. Поскольку в сумме для hν1 ν2 . . . νr i имеетсяO(Lcov(Da1 ,...,Das )+cov(Cb1 ,...,Cbt ) )66слагаемых такого вида, их общий вклад равен Lk1 +···+kr только в случае разбиенияносителей на дизъюнктные пары.

Легко видеть, чтоhν1 ν2 i = hν1diag ν2diag i + hν1of f −diag ν2of f −diag i =XXhD1 D2 i +supp(D1 )=supp(D2 )∈I1 ∩I2hC1 C2 i.supp(C1 )=supp(C2 )∈I1 ∩I2Поэтому общий вклад таких слагаемых записывается в видеXhνσ(1) νσ(2) i . . . hνσ(r−1) νσ(r) i + O(Lk1 +k2 +···+kr −1 ).σ∈PM(r)Осталось доказать, что вклад слагаемых сsupp(Da1 , . . .

, Das ) ∩ supp(Cb1 , . . . , Cbt ) 6= ∅(2.5.5)имеет порядок O(Lk1 +k2 +···+kr −1 ). Рассмотрим одно из таких слагаемых, которое обозначим символом S. Возьмем один из его множителей Dj , для которого supp(Dj ) ⊂supp(Cb1 . . . Cbt ), и рассмотрим оператор S 0 , получающийся из S выбрасыванием множителя Dj .

Тогда среднее от S 0 можно оценить следующим образом: по лемме 2.5.2cap(Cb1 . . . Cbt ) ≤ deg(Cb1 . . . Cbt ) − cov(Cb1 . . . Cbt ).Множители диагонального типа с носителями в supp(Cb1 . . . Cbt ) добавляют ксреднему не более L в своей степени, а произведение множителей диагональноготипа с носителями не в supp(Cb1 , . .

. , Cbt ) по лемме 2.5.1 дает вклад не более Ldeg−cov .Таким образом,00hS 0 i = O(Ldeg(S )−cov(S ) ).Теперь оценим среднее от всего множителя S. ПустьlDj = xlss ∂ss− γ l Ll .Напомним, что в алгебре C[xij , ∂ij ] выполнены коммутационные соотношения[∂ij , xij ] = 1(i,j)=(k,l) .(2.5.6)67Пользуясь ими, будем “проносить” все xss из Dj налево, а все ∂ss — направо. Послетакой операции S будет записано в виде суммы нескольких слагаемых. Заметим, чтослагаемое, в котором все xss прошли влево, а ∂ss — вправо, дает в точности такой жевклад, что и γ l Ll , умноженное на hS 0 i.

Следовательно, вклад этого члена сокращается с вкладом, возникающим из (−γ l Ll ) в Dj . С другой стороны, если xss или ∂ssвзаимодействуют с другими множителями в процессе перемещения, то это уменьшает общее количество ∂ss , и те же рассуждения, что и при оценке hS 0 i, показывают,что вклад такого члена в среднее естьO(Lk1 +···+kr −1−cov(S) ).Поскольку суммирование по различным индексам добавляет O(Lcov(S) ), то общийвклад слагаемых вида (2.5.5) равняется O(Lk1 +···+kr −1 ), что завершает доказательствопредложения 2.5.2.В частности, при r = 2 из приведенных рассуждений следует, что величина hν1 ν2 iимеет порядок Lk1 +k2 .

При этом вклад в Lk1 +k2 дают некоторые классы изоморфныхграфов. Поскольку таких классов конечное число, то из этого следует существованиеасимптотической ковариации — предела величины L−(k1 +k2 ) hν1 ν2 i.Доказательство леммы 2.5.1. Ввиду коммутирования множителей (2.5.2) с различными индексами, достаточно доказать, чтоxl1 ∂ l1 − (γL)l1 .

. . xlq ∂ lq − (γL)lq exp(γL(x − 1))x=1 =O(Ll1 +···+lq −1 ),при q = 2,O(Ll1 +···+lq −2 ),при q ≥ 3.(2.5.7)В выраженииxl1 ∂ l1 − (γL)l1 . . . xlq ∂ lq − (γL)lqраскроем скобки в первом множителе и, пользуясь соотношениями (2.5.6), прокоммутируем все операторы ∂ направо. После такой операции возникло несколько слагаемых. Слагаемое, в котором все ∂ без сокращений “прошли” направо, дает в точноститот же вклад в среднее, что и возникающее при умножении на γ l Ll , и поэтому сокращается с вкладом от (−γL)l .

Если же слагаемое возникло в результате a взаимных68xx1x2x3Рис. 2.3: Граф, отвечающий моному x11 x22 x12 ∂31 x23 ∂32уничтожений символов x и ∂, то легко видеть, что среднее от такого члена будетравно O(Ll1 +···+lq −a ). Из этого следует (2.5.7) в случае q = 2. Если же a = 1 и q ≥ 3,то соответствующий член может быть записан в виде. . . (xlk ∂ lk − (γL)lk ) . .

. .Раскрывая скобки в сохранившем прежний вид множителе и повторяя рассуждения,мы снова получаем сокращающийся вклад в слагаемом, в котором не произошло взаимных уничтожений. Поэтому все остающиеся слагаемые дают вклад O(Ll1 +···+lq −2 ).Доказательство леммы 2.5.2. Будем кодировать слова из алфавита {xij , ∂ij }графами с дополнительной структурой. Каждому индексу из носителя монома мысопоставляем вершину графа. Ребра графа будут двух сортов: x-ребра и ∂-ребра.Каждой букве xij мы сопоставляем ориентированное x-ребро, соединяющее вершины, отвечающие индексам i и j. Аналогично, каждой букве ∂ij мы сопоставляем∂-ребро между теми же вершинами.

Кроме того, введем на ребрах графа линейныйпорядок, соответствующий порядку букв в слове; чем меньше ребро относительноэтого порядка, тем правее стоит его буква в слове. Такой порядок задает очередPность применения множителей к функции exp (γL (xii − 1)).Пример. Моном x11 x22 x12 ∂31 x23 ∂32 переходит в граф, показанный на рисунке 2.33.Композиция дифференциальных операторов (конкатенация слов), соответствует3Напомним, что на ребрах графа также задан линейный порядок. Этот порядок не обозначаетсяна рисунках.69склейке двух графов по некоторым вершинам (по общим для двух слов индексам).Порядок на ребрах склеенного графа индуцируется порядками исходных графов иусловием, что все ребра правого (ранее применяемого) монома меньше всех реберлевого.Введем обозначения для такого графа G.

Пусть V (G) — множество вершин G.Пусть Ex (G), E∂ (G), E(G) — множества невырожденных (соединящих различныевершины) x-, ∂- и всех ребер G, соответственно. Пусть Lx (G), L∂ (G), L(G) — множества вырожденных ребер (петель). Пусть Exab , E∂ab , E ab — множества (невырожденных) ребер между a, b ∈ V (G), a 6= b. Назовем построенный по моному граф x-, ∂-,или просто регулярным, если исходный моном обладал соответствующим свойством.Определение. Назовем полным циклом степени k ≥ 1 граф, отвечающий моному xα1 i1 .

. . xαk ik ∂α1 i2 . . . ∂αk i1 с носителем размера 2k. Назовем циклом степени k ≥ 1граф, полученный из того же монома, но носитель которого удовлетворяет соотношению 2 ≤ cov ≤ 2k. Цикл можно получить из полного цикла идентификациейнекоторых вершин (при этом должны оставаться как минимум две различные вершины).Определение. Назовем полным x-циклом граф, полученный из полного цикласклейкой начала и конца каждого ∂-ребра, а полным ∂-циклом — граф, полученный из полного цикла склейкой начала и конца каждого x-ребра.Определение. Назовем x-циклом граф, получаемый из полного x-цикла отождествлением некоторых, но не всех, вершин, соединенных ребром.

Аналогично, назовем ∂-циклом граф, получаемый из полного ∂-цикла отождествлением некоторых,но не всех вершин, соединенных ребром.Примеры введенных графов показаны на рисунках 2.4 и 2.5.Заметим, что если ∂-регулярный цикл не является x-циклом, то|Ex (G)| > |V (G)|,а в x-цикле выполнено |Ex (G)| = |V (G)|.Легко видеть, что склейка ∂-цикла и x-цикла является регулярным графом в томи только в том случае, если замкнутые цепи невырожденных ∂-ребер и x-ребер в7054xxx61x2x433x12Рис.

2.4: Полный цикл, соответствующий моному x12 x34 x56 ∂32 ∂54 ∂16 (слева) и цикл,соответствующий моному x12 x33 x44 ∂32 ∂43 ∂14 (справа).x3xx1x2Рис. 2.5: x-цикл, соответствующий моному x12 x23 x33 x31 ∂22 ∂33 ∂33 ∂1171точности накладываются друг на друга. Такую склейку ∂-цикла и x-цикла назовемрегулярной.Будем обозначать склейку графов символом #, регулярную склейку ∂-цикла иx-цикла — символом #R , а склейку графов с дизъюнктными носителями — символомt.Докажем следующую лемму.Лемма 2.5.3.

Пусть задан набор циклов C(1), C(2), . . . , C(n). Предположим, чтограф G = C(1)#C(2)# . . . #C(n) является ∂-регулярным. Тогда|V (G)| ≤ |Ex (G)|,и равенство достигается в том и только в том случае, когда существует дизъюнктное разбиение{1, 2, . . . , n} = {i1 , i2 } t . . . {i2k−1 , i2k } t {j1 , . . . , jn−2k },такое что C(i1 ), . . . , C(i2k−1 ) — ∂-циклы, C(i2 ), .

. . , C(i2k ), C(j1 ), . . . , C(jn−2k ) —x-циклы, и выполненоG = (C(i1 )#R C(i2 )) t . . . (C(i2k−1 )#R C(i2k )) t C(j1 ) t · · · t C(jn−2k ).Доказательство леммы 2.5.3. ∂-регулярность G влечет ∂-регулярность C(n),C(n − 1)#C(n), и.т.д. Докажем лемму индукцией по n. Из ∂-регулярности C(n)следует, что C(n) получается идентификацией вершин полного x-цикла; при этом|V (C(n))| ≤ |Ex (C(n))|, и равенство равносильно тому, что C(n) есть x-цикл.Предположим, что лемма верна для графаG2 := C(2)# . .

. #C(n)и докажем её для графаG1 := C(1)#C(2)# . . . #C(n).Докажем сначала, что |V (G1 )| ≤ |Ex (G1 )|. Рассмотрим три случая:721) G1 = C(1) t G2 , то есть склейки вершин не происходит.2) V (G1 ) = V (G2 ), то есть каждая вершина C(1) приклеивается к какой-то вершине G2 .3) У C(1) имеются как вершины, которые склеиваются с вершинами из G2 , так ите, которые не склеиваются.В первом случае выполнено|V (G1 )| − |Ex (G1 )| = |V (G2 )| − |Ex (G2 )| + |V (C1 )| − |Ex (C1 )|.Далее, в этом случае ∂-регулярность G1 влечет ∂-регулярность C(1), и индукционное предположение для G2 вместе с базой индукции для C(1) дают неравенство|V (G1 )| ≤ |Ex (G1 )|.Во втором случае выполнено |V (G1 )| = |V (G2 )| и Ex (G1 ) ≥ Ex (G2 ), поэтому индукционное предположение влечет |V (G1 )| ≤ |Ex (G2 )|.Рассмотрим случай (3).

Из ∂-регулярности G1 следует, что G1 не имеет невырожденных ∂-ребер с началом или концом вне G2 . Поэтому новые вершины присоединяются к графу G2 с помощью звеньев, состоящих из вырожденных и невырожденныхx-ребер и вырожденных ∂-ребер, начальная и конечная вершина которых лежит вG2 , а все промежуточные — вне G2 . Это означает, что G1 можно получить склейкойнекоторых вершин из графа вида показанного на рисунке 2.6 (звеньев может бытьнесколько).Количество вершин вне G2 у такого графа строго меньше количества невырожденных x-ребер с концами в таких вершинах. При склейке этих вершин, как легковидеть, исчезает по крайней мере столько же вершин, сколько невырожденных xребер. Таким образом, при переходе от G2 к G прибавляется меньше вершин, чемневырожденных ребер, и из предположения индукции следует, что |V (G)| < |Ex (G)|.Тем самым, во всех трех случаях мы показали, что |V (G1 )| ≤ |Ex (G1 )|, причем втретьем случае неравенство строгое.

Кроме того, мы показали, что|V (G1 )| − |Ex (G1 )| ≤ |V (G2 )| − |Ex (G2 )|.(2.5.8)Предположим теперь, что |V (G1 )| = |Ex (G1 )|. Из (2.5.8) следует, что и |V (G2 )| =73xxxxxxxG2Рис. 2.6: Граф G1 , возникающий из графа G2 с помощью двух звеньев.|Ex (G2 )|, и, по предположению индукции, G2 имеет требуемый вид.Рассмотрим теперь те же три случая. Из-за строгого неравенства случай (3) невозможен. В случае (1) база и предположение индукции дают требуемое представлениедля G1 .Рассмотрим случай (2). Поскольку |V (G1 )| = |V (G2 )|, то Ex (C(1)) = ∅. Значит, C(1) получается некоторой идентификацией вершин в полном ∂-цикле. Из ∂регулярности следует, что|E∂ab (C(1))| ≤ |Exab (G2 )| − |E∂ab (G2 )|, для любых a, b ∈ V (G2 ), a 6= b.Из структуры G2 (индукционное предположение) следует, что все элементы E∂ (C(1))обязаны однократно накрыть невырожденные x-ребра одного из x-циклов в G2 , чтозавершает доказательство леммы 2.5.3.

Закончим теперь доказательство леммы 2.5.2. Рассмотрим мономы C(1), . . . , C(n)и графы, которые им соответствуют. В терминах графа емкость монома M равна|L∂ | = deg − |E∂ |.Для регулярного графа выполнено равенство |Ex | = |E∂ |, поэтому емкость равняетсяdeg(M )−|Ex |. С другой стороны, верно cov(M ) = |V |. Поэтому требуемое неравенство74преобразуется:cap(M ) ≤ deg(M ) − cov(M ) равносильно |V | ≤ |Ex |,а последнее неравенство следует из леммы 2.5.3.Если cap(M ) = deg(M ) − cov(M ), то |V | = |Ex | и возникает разбиение индексовиз формулировки леммы 2.5.3. Но у регулярного графа множество {j1 , .

Характеристики

Список файлов диссертации