Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137305), страница 6

Файл №1137305 Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений) 6 страницаДиссертация (1137305) страница 62019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

[8]. Можно предполагать, что этот процесс возникнет и для других, непланшерелевских фактор-представлений бесконечномерной унитарной группы присоответствующих предельных режимах.2.22.2.1Предварительные сведенияБесконечномерная унитарная группа и её характерыПусть U (N ) = (uij )N— группа унитарных матриц N -ого порядка. Определимi,j=1цепочку вложенных группU (1) ⊂ U (2) ⊂ . . . U (N ) ⊂ U (N + 1) ⊂ .

. . ,в которой вложение U (k) ⊂ U (k+1) определяется равенствами ui,k+1 = uk+1,i = 0, 1 ≤i ≤ k, uk+1,k+1 = 1. Бесконечномерной унитарной группой называется объединениеэтой цепочки группU (∞) =∞[N =1U (N ).34Характером группы U (∞) называется функция χ : U (∞) → C, удовлетворяющаяследующим свойствам:1) χ(e) = 1, где e — единица группы U (∞) (нормированность);2) χ(ghg −1 ) = χ(h), где h, g — произвольные элементы U (∞) (центральность);3) матрица [χ(gi gj−1 )]ni,j=1 эрмитова и неотрицательно определена для любыхg1 , .

. . , gn ∈ U (∞) (положительная определенность);4) ограничение χ на U (N ) является непрерывной функцией для каждого N(непрерывность).Легко видеть, что множество всех характеров группы U (∞) выпукло. Экстремальные точки этого множества будем называть экстремальными характерами.Классификация экстремальных характеров дается теоремой, обычно называемой теоремой Эдреи-Войкулеску (см. [57], [21], [53], [46], [14]). Оказывается,что экстремальные характеры могут быть параметризованы множеством Ω =(α+ , α− , β + , β − , δ + , δ − ), гдеα± = α1± ≥ α2± ≥ · · · ≥ 0,β ± = β1± ≥ β2± ≥ · · · ≥ 0,±δ ≥ 0,∞X(αi± + βi± ) ≤ δ ± ,β1+ + β1− ≤ 1.i=1Вместо параметров δ ± бывает удобно использовать параметры γ ± , определяемыеформулойγ ± := δ ± −∞X(αi± + βi± ).i=1Для каждого ω ∈ Ω определим функцию f0ω : {u ∈ C : |u| = 1} → C по формулеf0ω (u)−+−1= exp(γ (u − 1) + γ (u− 1))∞Y(1 + β + (u − 1)) (1 + β − (u−1 − 1))iii=1(1 − αi+ (u − 1)) (1 − αi− (u−1 − 1))и пустьχω (U ) =Yu∈Spectrum(U )f0ω (u),U ∈ U (∞).,35Тогда функция χω является экстремальным характером группы U (∞), отвечающимω ∈ Ω.Сигнатурой (также называемой старшим весом) длины N называется невозрастающая последовательность из N целых чиселλ = (λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λN ) ,λi ∈ Z.Хорошо известно, что неприводимые комплексные представления группы U (N )параметризуются сигнатурами длины N (см., например, [58], [59]).

Пусть DimN (λ)— размерность неприводимого представления, параметризованного сигнатурой λ.Обозначим символом χλ неприводимый нормированный характер группы U (N )(т.е. функцию на группе, равную следу соответствующего оператора деленному наDimN (λ)), отвечающий представлению, параметризованному сигнатурой λ.Сопоставим сигнатуре λ две диаграммы Юнга (λ+ , λ− ) так, что λ+ задается неотрицательными λi , а λ− — отрицательными λi , то есть+−−λ = (λ+1 , λ2 , .

. . , −λ2 , −λ1 ).Для диаграммы Юнга µ пусть |µ| — число клеток в µ, и пусть d(µ) — число клетокна диагонали диаграммы µ. Пусть d(λ+ ) = d+ и d(λ− ) = d− . Определим модифицированные координаты Фробениуса диаграммы Юнга µ = (µ1 , . . . , µk ) по формуле1ai = µ i − i + ,21bi = µ0i − i + ,21 ≤ i ≤ d(µ),(2.2.1)где µ0 обозначает диаграмму, транспонированную к µ.Пусть для каждого N даны функции fN : U (N ) → C, и функция f : U (∞) → C.Будем говорить, что последовательность {fN } аппроксимирует функцию f , еслидля любого фиксированного N0 ∈ N ограничения функций fN на U (N0 ) равномерносходятся к ограничениям функции f на U (N0 ).Оказывается, экстремальные характеры U (∞) могут быть аппроксимированынормированными неприводимыми характерами групп U (N ).36Теорема 2.2.1.

Пусть χω — экстремальный характер U (∞), отвечающий точкеω = (α± , β ± , δ ± ) ∈ Ω. Пусть {λ(N )} — последовательность сигнатур длины N ,±причем координаты Фробениуса диаграмм Юнга λ± равны a±i (N ), bi (N ). Тогда нор-мированные характеры χλ(N ) аппроксимируют χ тогда и только тогда, когдаa±i (N )= αi± ,N →∞Nlimb±i (N )= βi± ,N →∞Nlim|λ± (N )|= δ±.N →∞NlimДоказательство. Это теорема Вершика-Керова (см. [53]). Подробное доказательствоизложено в [46] и в [14].2.2.2Граф Гельфанда-Цетлина и когерентные системы мерПусть GTN — множество всех сигнатур длины N .

Удобно также определить GT0 какмножество, состоящее из единственного элемента ∅. Будем говорить, что сигнатурыλ ∈ GTN и µ ∈ GTN −1 перемежаются и писать µ ≺ λ, если выполнено условиеλi ≥ µi ≥ λi+1 для всех 1 ≤ i ≤ N − 1. Также будем считать, что ∅ ≺ λ для любогоλ ∈ GT1 , и GT0 = {∅}.Графом Гельфанда-Цетлина называется граф GT, множеством вершин которогоSявляется ∞N =0 GTN , а ребро проводится между двумя сигнатурами λ и µ тогда итолько тогда, когда выполнено либо λ ≺ µ, либо µ ≺ λ.

Путем между сигнатурамиκ ∈ GTK и ν ∈ GTN , K < N , называется последовательностьκ = λ(K) ≺ λ(K+1) ≺ · · · ≺ λ(N ) = ν,λ(i) ∈ GTi .Хорошо известно, что DimN (ν) равняется числу путей с началом в ∅ и концом вν ∈ GTN . Бесконечным путем называется бесконечная последовательность∅ ≺ λ(1) ≺ λ(2) ≺ · · · ≺ λ(k) ≺ λ(k+1) ≺ .

. . .Пусть P — множество бесконечных путей. Введем на этом множестве топологию,Qиндуцированную топологией прямого произведения ∞N =0 GTN , и снабдим P борелевской σ-алгеброй.37Пусть MN — вероятностная мера на GTN . Назовем набор {MN }∞N =1 когерентным семейством мер, если для любого N ≥ 0 и для любого λ ∈ GTN выполненосоотношениеMN (λ) =XMN +1 (ν)ν:λ≺νDimN (λ).DimN +1 (ν)По заданной когерентной системе мер {MN }∞N =1 определим меру цилиндрическогомножества, задаваемого фиксированными первыми N сигнатурами, формулойP (λ(1) , λ(2) , .

. . , λ(N ) ) =MN (λ(N ) ).DimN (λ(N ) )(2.2.2)Заметим, что эта вероятность зависит только от сигнатуры длины N , и не зависит отλ(1) , λ(2) , . . . , λ(N −1) . Из свойства когерентности следует, что так определенные мерыцилиндров согласованы и определяют вероятностную меру на P.Пусть χ — произвольный характер группы U (∞). Рассмотрим разложение ограничения этого характера на группу U (N ) по характерам χλχ|U (N ) =XMN (λ)χλ .(2.2.3)λ∈GTNЛегко проверить, что коэффициенты разложения MN (λ) образуют когерентную систему мер на GT, и, наоборот, по любой когерентной системе мер на GT можно такимобразом построить характер группы U (∞).2.2.3Вероятностная мера, отвечающая одностороннему планшерелевскому характеру+Пусть χγ — экстремальный характер группы U (∞), возникающий при параметрахα+,− = 0, β +,− = 0, γ − = 0 и ненулевом γ + . Этот характер из аналогии с классификацией характеров бесконечной симметрической группы естественно называтьодносторонним планшерелевским.

Будем обозначать когерентную систему мер на+GT, отвечающую этому характеру, символом P̃Nγ .ПустьPLγ (λ) := P̃LγL (λ),L ∈ N,38где γ > 0 — фиксированная константа.Пусть u1 , . . . , uL — собственные значения матрицы U ∈ U (L), и пусть dim µ — размерность неприводимого представления группы S(|µ|), соответствующего µ ∈ Y|µ| ,где Yn обозначает множество диаграмм Юнга с n клетками.Для получения явной формулы для PLγ (λ) следует, согласно (2.2.3), разложитьфункциюf0γL (u1 , .

. . , uL ) = exp γLLX!(ui − 1)i=1по неприводимым характерам группы U (L), задаваемым, как известно (см., например, [58], [59], [24]), функциямиχλ =sλ (u1 , . . . , uL ),DimL λгде sλ — функции Шура (см., например, [39]).Запишем функцию f0γL (u1 , . . . , uL ) в видеexp γLLX!(ui − 1)2= exp(−γL )PL1n!n=1i=1где p1 (u1 , . . . , uL ) :=∞X(γL)n pn (u1 , . .

. , uL )i=1,ui . Воспользовавшись хорошо известной формулой (см.[39])pn1 (u1 , . . . , uL ) =Xdim λ · sλ ,λ∈YL (n)где YL (n) — множество диаграмм Юнга с n клетками и не более, чем L строками,получаем, что(γL)λ1 +···+λLe−γL2dim λ DimL λ,(λ1 + · · · + λL )!PLγ (λ) =0,если λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0;(2.2.4)при других λ.Таким образом, мера PLγ сосредоточена на сигнатурах с неотрицательными координатами или, что то же самое, на диаграммах Юнга с не более, чем L строками.39Приведем другое семейство мер на диаграммах Юнга, впервые рассмотренноеБианом (см. [6]), очень близкое к семейству {PLγ }. Пусть N и n — два натуральных числа, и рассмотрим пространство V = (CN )⊗n .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
972,66 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6381
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее