Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1137305), страница 12

Файл №1137305 Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений) 12 страницаДиссертация (1137305) страница 122019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

. . , jn−2k }одиночных x-циклов должно быть пустым (в лемме 2.5.3 требовалась лишь ∂регулярность), поэтому мы получаем требуемое разбиение носителей на совпадающиедизъюнктные пары.2.5.2Доказательство леммы 2.4.1Мы будем пользоваться терминологией и обозначениями, введенными в разделе 2.5.1.Доказательство леммы 2.4.1. Представим, как и ранее, величины νi , i = 1, 2, ввиде суммы диагональных и внедиагональных множителей. Легко видеть, чтоhν1 ν2 i = hν1diag ν2diag i + hν1of f −diag ν2of f −diag i.Первый член может давать ненулевой вклад только в том случае, если индексы всуммах для ν1diag и ν2diag совпадают.Заметим, что(xk ∂ k − (γL)k )(xl ∂ l − (γL)l ) exp(γL(x − 1))|x=1 = klγ k+l−1 Lk+l−1 + o(Lk+l−1 ).Поскольку одну вершину можно выбрать |I1 ∩ I2 | способами, то вклад первого членав коэффициент при Lk+l равенkl|I1 ∩ I2 | k+l−1γ.L(2.5.9)Рассмотрим второй член.

Произведение мономов из ν1of f −diag и ν2of f −diag дает ненулевой вклад только если первый из них содержит только невырожденные ∂-ребра, а75второй — только невырожденные x-ребра, при этом цепи этих ребер должны совпадать. Если эти графы содержат n ≥ 2 вершин, то вклад порядка Lk+l от класса изоморфных графов может быть достигнут только если множители являются ∂-цикломи x-циклом, соответственно.Зафиксируем упорядоченный набор из n индексов. Простой комбинаторный подсчет показывает, что существует nk неизоморфных мономов, графы которых являются ∂-циклами с n невырожденными ребрами, которые посещают зафиксированныевершины в выбранном порядке и возникают с помощью отождествления вершин изполных ∂-циклов длины k ≥ n. Аналогично, существует nl неизоморфных x-циклов,удовлетворяющих аналогичному условию.

Кроме того, первая вершина x-цикла может быть выбрана произвольно (а остальной порядок посещения вершин определеноднозначно), что влечет умножение на n. Наконец, упорядоченный набор из n вершин, общих для обоих множителей, может быть выбран |I1 ∩ I2 |n + o(Ln ) способами.Следовательно, вклад произведения внедиагональных множителей в коэффициентпри Lk+l равенmin(k,l)Xn=2 nkl|I1 ∩ I2 |nγ k+l−nn nL(2.5.10)(множитель γ k+l−n возникает, поскольку у нас есть ровно k + l − n диагональных∂-операторов (∂-петель в графе)).Объединяя (2.5.9) и (2.5.10), мы получаем утверждение леммы.2.5.3Доказательство предложения 2.5.1Пусть ρ = (ρ1 ≥ ρ2 ≥ · · · ≥ ρl(ρ) ) — разбиение.

В алгебре C[xij , ∂ij ], i, j ∈ I, элементамp#ρ,I соответствуют дифференциальные операторыDI (p#ρ,I ) =Xxα1 i1 . . . xα|ρ| i|ρ| ∂α1 iσ(1) . . . ∂α|ρ| iσ(|ρ|) ,i1 ,...,i|ρ| ∈I;α1 ,...α|ρ| ∈Iгде σ — произвольная перестановка из S(|ρ|) с цикловой структурой ρ (см. раздел2.3.1).76Заметим, чтоhDI (p#ρ,I )i|ρ|l(ρ)= γ |I||ρ|L=γ|ρ||I|Ll(ρ)L|ρ|+l(ρ) .Пусть wt(ρ) := |ρ| + l(ρ) обозначает вес разбиения ρ. Для перестановки σ с цикловойструктурой ρ также определим wt(σ) := |ρ| + l(ρ). Если |I| = O(L), то hDI (p#ρ,I )iпропорционально Lwt(ρ) при L → ∞.Напомним, что элементы p#ρ,I образуют линейный базис в Z(gl(I)). Поэтому длядоказательства предложения 2.5.1 асимптотическую гауссовость достаточно проверить только для наборов этих элементов.Зададим произвольные разбиения ρ(1) , .

. . , ρ(r) . ПустьE D #,−Dpµj := DI p#Iρ(j) ,Ijρ(j) ,Ij1 ≤ j ≤ r,и пустьCµ (i, j) = limL→∞hµi µj iLwt(ρ(i) )+wt(ρ(j) )−2— асимптотические ковариации этих величин (существование которых будет следовать из рассуждений ниже).Предложение 2.5.3.hµ1 µ2 . .

. µr iLwt(ρ(1) )+wt(ρ(2) )+···+wt(ρ(r) )−r0, r — нечетно,−−−→Qr/2L→∞ Pσ∈PM(r)i=1 Cµ (σ(2i − 1), σ(2i)),r — четно.Предложение 2.5.1 следует непосредственно из этого утверждения. При l(ρ(i) ) = 1,1 ≤ i ≤ r, предложение 2.5.3 совпадает с уже доказанным предложением 2.5.2.Доказательство предложения 2.5.3 проходит по той же схеме, что и доказательство предложения 2.5.2. Сформулируем две леммы, обобщающие леммы 2.5.1 и 2.5.2.774Лемма 2.5.4. Зададим оператор видаD=k1xi11i11 1kl1k1. . . xi1 i1 ∂i11i11 1l l111kl1k11 +···+kl11.

. . ∂i1 i1 − (γL)...l1 l1 skl1sklssk1k1sk11 +···+kl1sxis1 is1 . . . xi1 i1 ∂is1 is1 . . . ∂i1 is − (γL). (2.5.11)1ls lsls lsПустьcov(D) = {ijk , 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ k ≤ lj } .Тогда верноPsj=1 (wt(khDi = O Lj )−1)−cov(D),причем выполнено также иhDi = O LPsj=1 (wt(kj )−1)−cov(D)−1,если набор носителей {{ij1 , . . . , ijlj }, 1 ≤ j ≤ s} нельзя разбить на дизъюнктные пары,где в каждой паре носители имеют непустое пересечение.Лемма 2.5.5. Пусть C(1), . . . , C(m) — мономы видаC(l) = xαl1 il1 .

. . xαlk ilk ∂αl1 ilσ (1) . . . ∂αlk ilσ (k ) ,llllllσl ∈ S(l), 1 ≤ l ≤ m; k1 , . . . , km ≥ 1;причем в C(l) имеется по крайней мере один символ xab или ∂ab с a 6= b. Предположим, что моном M := C(1) . . . C(m) регулярен. ТогдаmXcap(M ) ≤(wt(σj ) − 1) − cov(M ).j=1Доказательства лемм 2.5.4 и 2.5.5 приведены ниже. Докажем предложение 2.5.3,используя эти леммы.Запишем µj в видеf −diagµj = µdiag+ µof,jj41 ≤ j ≤ r,В выражении 2.5.11 и ниже обозначения kba ,iba и ρba являются индексами, в то время как xa и ∂ bобозначает возведение в соответствующую степень.78гдеµdiagj=X ρjxi11i1ρjl. . .

xiljij ljρj. . . ∂i11i1ρjl. . . ∂ilρj1 +···+ρjljij lj− (γL)j,lj := l(ρ(j) ),i1 ,...,iljи µjof f −diag состоит из остальных слагаемых выраженияjµj = DI (p#) − |Ij |lj (γL)|ρ | .ρj ,IjРаскроем скобки в произведенииf −diagf −diagµ1 . . . µr = (µdiag+ µof) . . . (µdiag+ µof),11rrпосле чего в каждом члене также раскроем скобки, получая сумму по объединенному набору индексов. Слагаемыми в этой сумме будут произведения множителейдвух типов, описанных в леммах 2.5.4 и 2.5.5.

Будем называть такие множителидиагональными и внедиагональными, соответственно.Рассмотрим слагаемые, для которых носители диагональных и внедиагональныхмножителей не пересекаются. Оценки лемм 2.5.4 и 2.5.5 показывают, что вклад такоPго слагаемого в hµ1 . . . µr i есть O(L(wt(ρj )−1)−covразбиваются на дизъюнктные пары, и O(L) в случае, если носители множителейP(wt(ρj )−1)−cov−1) в противном случае. Сум-мирование по индексам добавляет O(Lcov ), и в итоге мы получаем, что полный вкладтаких слагаемых естьXPhµi1 µi2 i . . . hµir−1 µir i + O(L(wt(ρj )−1)−1),σ∈PM(r)поскольку легко видеть, чтоf −diag of f −diagµ2i.hµ1 µ2 i = hµdiagµdiagi + hµof211Рассмотрим теперь слагаемое, у которого носители диагональных и внедиагональных элементов пересекаются, и докажем, что общий вклад таких слагаемых естьPO(L(wt(ρj )−1)−cov−1). Назовем два множителя этого слагаемого связанными, если ихносители имеют непустое пересечение.

Рассмотрим связанную компоненту, в которуювходят и диагональные, и внедиагональные множители. Найдем в этой компоненте79диагональный множитель, при удалении которого не возникает компонент связности,состоящих из одного диагонального множителя (легко видеть, что такой элемент существует), и удалим его.В произведении оставшихся множителей оценим емкость внедиагональных элементов с помощью леммы 2.5.5, вклад не связанных с ними диагональных — с помощью леммы 2.5.4, а вклад диагональных множителей, связанных с внедиагональными, как O(Ldeg ).

При этом количество точек носителей диагональных множителей,связанных с внедиагональными, которые не лежат в носителях внедиагональныхPмножителей, не превосходит j (l(ρj )−1), где суммирование происходит по индексам,соответствующим таким диагональным множителям. Таким образом, вклад оставшихся множителей есть O(LP(wt(ρj )−1)−cov), где сумма берется по соответствующимразбиениям, а cov — это число элементов в объединении покрытий этих множителей.Вернем теперь удаленный диагональный множитель обратно. Пусть он соответствует разбиению ρ. Тогда к носителю произведения добавляется не более l(ρ) − 1точек.

Раскроем скобки в этом множителе, и по правилам (2.5.6) будем коммутировать все xjj из этого множителя налево, а все ∂jj — направо. При этом возникаетнесколько новых слагаемых. Вклад в среднее от члена, в котором не произошло ниодного взаимного уничтожения xjj и ∂jj , сокращается с вкладом от −(γL)|ρ| из вставленного множителя. С другой стороны, в членах, возникших при взаимном уничтожении, уменьшается количество диагональных операторов ∂jj во внедиагональныхмножителях или диагональных множителях, с ними связанных.

Повторяя рассуждения предыдущего абзаца, мы получаем, что среднее всего слагаемого оцениваетсякакPrO(Ljj=1 (wt(ρ )−1)−cov−1),где cov — носитель всего слагаемого. Это завершает доказательство утверждения.Доказательство леммы 2.5.4.Достаточно доказать лемму в предположении, что множители D нельзя разбитьна две группы с непересекающимися носителями. Следовательно,80cov(D) ≤sX(lj − 1) + 1,j=1иsX(wt(k j ) − 1) − cov(D) ≥j=1sX|k j | − 1.j=1Значит, нам достаточно доказать, что P j hDi = O L (|k |−1)при s = 2, и P j hDi = O L (|k |−2)для s ≥ 3. Далее доказательство в точности аналогично доказательству леммы 2.5.1.Доказательство леммы 2.5.5.Доказательство проходит по той же схеме, что и доказательство леммы 2.5.2.Введем некоторые определения, обобщающие определения из доказательства леммы2.5.2.Назовем полным l-кратным циклом степени k граф, отвечающий моному видаxα1 i1 .

. . xαk ik ∂α1 iσ(1) . . . ∂αk iσ(k) ,(2.5.12)с носителем, состящим из 2k различных вершин и с произвольной перестановкойσ ∈ S(k), у которой ровно l циклов.Назовем l-кратным циклом степени k граф, отвечающий моному вида (2.5.12),но с более слабым условием Ex ∪ E∂ 6= ∅. Любой такой граф может быть получен изполного l-кратного цикла некоторой идентификацией вершин.Назовем l-кратным x-циклом l-кратный цикл, который возникает из l-кратногополного цикла следующим образом. В каждой из l−1-ой связной компоненты все вершины склеиваются в одну вершину, а оставшаяся l-ая компонента после склеиваниявершин должна образовывать x-цикл.Будем называть l-кратным ∂-циклом l-кратный цикл, вершины в каждой из l − 1связных компонент которого склеены в одну, а оставшаяся l-ая компонента образует∂-цикл.81x4365xxx18723xxx1xx542Рис.

2.7: полный 3-кратный цикл степени 4 (вверху) и 3-кратный x-цикл степени 5(внизу).Примеры введенных понятий см. на рисунке 2.7.Регулярной склейкой l-кратного ∂-цикла и l-кратного x-цикла назовем такуюидентификацию их вершин, что замкнутые невырожденные цепи ∂-ребер и x-ребернакладываются друг на друга, а других склеиваний не происходит. Обозначим символом #R эту регулярную склейку.Сформулируем лемму, обобщающую лемму 2.5.3.Лемма 2.5.6.

Пусть задан набор кратных циклов C(1), . . . , C(n) с кратностямиl1 , . . . , ln . Предположим, что графG = C(1)#C(2) . . . #C(n)∂-регулярен. Тогда|V (G)| ≤ |Ex (G)| +nX(li − 1),i=1и равенство достигается в том и только в том случае, когда существует дизъюнктное разбиение{1, 2, . . . , n} = {i1 < i2 } t {i3 < i4 } · · · t {i2k−1 < i2k } t {j1 , . . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
972,66 Kb
Высшее учебное заведение

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее