Диссертация (1137305), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

. . , jn−2k }одиночных x-циклов должно быть пустым (в лемме 2.5.3 требовалась лишь ∂регулярность), поэтому мы получаем требуемое разбиение носителей на совпадающиедизъюнктные пары.2.5.2Доказательство леммы 2.4.1Мы будем пользоваться терминологией и обозначениями, введенными в разделе 2.5.1.Доказательство леммы 2.4.1. Представим, как и ранее, величины νi , i = 1, 2, ввиде суммы диагональных и внедиагональных множителей. Легко видеть, чтоhν1 ν2 i = hν1diag ν2diag i + hν1of f −diag ν2of f −diag i.Первый член может давать ненулевой вклад только в том случае, если индексы всуммах для ν1diag и ν2diag совпадают.Заметим, что(xk ∂ k − (γL)k )(xl ∂ l − (γL)l ) exp(γL(x − 1))|x=1 = klγ k+l−1 Lk+l−1 + o(Lk+l−1 ).Поскольку одну вершину можно выбрать |I1 ∩ I2 | способами, то вклад первого членав коэффициент при Lk+l равенkl|I1 ∩ I2 | k+l−1γ.L(2.5.9)Рассмотрим второй член.

Произведение мономов из ν1of f −diag и ν2of f −diag дает ненулевой вклад только если первый из них содержит только невырожденные ∂-ребра, а75второй — только невырожденные x-ребра, при этом цепи этих ребер должны совпадать. Если эти графы содержат n ≥ 2 вершин, то вклад порядка Lk+l от класса изоморфных графов может быть достигнут только если множители являются ∂-цикломи x-циклом, соответственно.Зафиксируем упорядоченный набор из n индексов. Простой комбинаторный подсчет показывает, что существует nk неизоморфных мономов, графы которых являются ∂-циклами с n невырожденными ребрами, которые посещают зафиксированныевершины в выбранном порядке и возникают с помощью отождествления вершин изполных ∂-циклов длины k ≥ n. Аналогично, существует nl неизоморфных x-циклов,удовлетворяющих аналогичному условию.

Кроме того, первая вершина x-цикла может быть выбрана произвольно (а остальной порядок посещения вершин определеноднозначно), что влечет умножение на n. Наконец, упорядоченный набор из n вершин, общих для обоих множителей, может быть выбран |I1 ∩ I2 |n + o(Ln ) способами.Следовательно, вклад произведения внедиагональных множителей в коэффициентпри Lk+l равенmin(k,l)Xn=2 nkl|I1 ∩ I2 |nγ k+l−nn nL(2.5.10)(множитель γ k+l−n возникает, поскольку у нас есть ровно k + l − n диагональных∂-операторов (∂-петель в графе)).Объединяя (2.5.9) и (2.5.10), мы получаем утверждение леммы.2.5.3Доказательство предложения 2.5.1Пусть ρ = (ρ1 ≥ ρ2 ≥ · · · ≥ ρl(ρ) ) — разбиение.

В алгебре C[xij , ∂ij ], i, j ∈ I, элементамp#ρ,I соответствуют дифференциальные операторыDI (p#ρ,I ) =Xxα1 i1 . . . xα|ρ| i|ρ| ∂α1 iσ(1) . . . ∂α|ρ| iσ(|ρ|) ,i1 ,...,i|ρ| ∈I;α1 ,...α|ρ| ∈Iгде σ — произвольная перестановка из S(|ρ|) с цикловой структурой ρ (см. раздел2.3.1).76Заметим, чтоhDI (p#ρ,I )i|ρ|l(ρ)= γ |I||ρ|L=γ|ρ||I|Ll(ρ)L|ρ|+l(ρ) .Пусть wt(ρ) := |ρ| + l(ρ) обозначает вес разбиения ρ. Для перестановки σ с цикловойструктурой ρ также определим wt(σ) := |ρ| + l(ρ). Если |I| = O(L), то hDI (p#ρ,I )iпропорционально Lwt(ρ) при L → ∞.Напомним, что элементы p#ρ,I образуют линейный базис в Z(gl(I)). Поэтому длядоказательства предложения 2.5.1 асимптотическую гауссовость достаточно проверить только для наборов этих элементов.Зададим произвольные разбиения ρ(1) , .

. . , ρ(r) . ПустьE D #,−Dpµj := DI p#Iρ(j) ,Ijρ(j) ,Ij1 ≤ j ≤ r,и пустьCµ (i, j) = limL→∞hµi µj iLwt(ρ(i) )+wt(ρ(j) )−2— асимптотические ковариации этих величин (существование которых будет следовать из рассуждений ниже).Предложение 2.5.3.hµ1 µ2 . .

. µr iLwt(ρ(1) )+wt(ρ(2) )+···+wt(ρ(r) )−r0, r — нечетно,−−−→Qr/2L→∞ Pσ∈PM(r)i=1 Cµ (σ(2i − 1), σ(2i)),r — четно.Предложение 2.5.1 следует непосредственно из этого утверждения. При l(ρ(i) ) = 1,1 ≤ i ≤ r, предложение 2.5.3 совпадает с уже доказанным предложением 2.5.2.Доказательство предложения 2.5.3 проходит по той же схеме, что и доказательство предложения 2.5.2. Сформулируем две леммы, обобщающие леммы 2.5.1 и 2.5.2.774Лемма 2.5.4. Зададим оператор видаD=k1xi11i11 1kl1k1. . . xi1 i1 ∂i11i11 1l l111kl1k11 +···+kl11.

. . ∂i1 i1 − (γL)...l1 l1 skl1sklssk1k1sk11 +···+kl1sxis1 is1 . . . xi1 i1 ∂is1 is1 . . . ∂i1 is − (γL). (2.5.11)1ls lsls lsПустьcov(D) = {ijk , 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ k ≤ lj } .Тогда верноPsj=1 (wt(khDi = O Lj )−1)−cov(D),причем выполнено также иhDi = O LPsj=1 (wt(kj )−1)−cov(D)−1,если набор носителей {{ij1 , . . . , ijlj }, 1 ≤ j ≤ s} нельзя разбить на дизъюнктные пары,где в каждой паре носители имеют непустое пересечение.Лемма 2.5.5. Пусть C(1), . . . , C(m) — мономы видаC(l) = xαl1 il1 .

. . xαlk ilk ∂αl1 ilσ (1) . . . ∂αlk ilσ (k ) ,llllllσl ∈ S(l), 1 ≤ l ≤ m; k1 , . . . , km ≥ 1;причем в C(l) имеется по крайней мере один символ xab или ∂ab с a 6= b. Предположим, что моном M := C(1) . . . C(m) регулярен. ТогдаmXcap(M ) ≤(wt(σj ) − 1) − cov(M ).j=1Доказательства лемм 2.5.4 и 2.5.5 приведены ниже. Докажем предложение 2.5.3,используя эти леммы.Запишем µj в видеf −diagµj = µdiag+ µof,jj41 ≤ j ≤ r,В выражении 2.5.11 и ниже обозначения kba ,iba и ρba являются индексами, в то время как xa и ∂ bобозначает возведение в соответствующую степень.78гдеµdiagj=X ρjxi11i1ρjl. . .

xiljij ljρj. . . ∂i11i1ρjl. . . ∂ilρj1 +···+ρjljij lj− (γL)j,lj := l(ρ(j) ),i1 ,...,iljи µjof f −diag состоит из остальных слагаемых выраженияjµj = DI (p#) − |Ij |lj (γL)|ρ | .ρj ,IjРаскроем скобки в произведенииf −diagf −diagµ1 . . . µr = (µdiag+ µof) . . . (µdiag+ µof),11rrпосле чего в каждом члене также раскроем скобки, получая сумму по объединенному набору индексов. Слагаемыми в этой сумме будут произведения множителейдвух типов, описанных в леммах 2.5.4 и 2.5.5.

Будем называть такие множителидиагональными и внедиагональными, соответственно.Рассмотрим слагаемые, для которых носители диагональных и внедиагональныхмножителей не пересекаются. Оценки лемм 2.5.4 и 2.5.5 показывают, что вклад такоPго слагаемого в hµ1 . . . µr i есть O(L(wt(ρj )−1)−covразбиваются на дизъюнктные пары, и O(L) в случае, если носители множителейP(wt(ρj )−1)−cov−1) в противном случае. Сум-мирование по индексам добавляет O(Lcov ), и в итоге мы получаем, что полный вкладтаких слагаемых естьXPhµi1 µi2 i . . . hµir−1 µir i + O(L(wt(ρj )−1)−1),σ∈PM(r)поскольку легко видеть, чтоf −diag of f −diagµ2i.hµ1 µ2 i = hµdiagµdiagi + hµof211Рассмотрим теперь слагаемое, у которого носители диагональных и внедиагональных элементов пересекаются, и докажем, что общий вклад таких слагаемых естьPO(L(wt(ρj )−1)−cov−1). Назовем два множителя этого слагаемого связанными, если ихносители имеют непустое пересечение.

Рассмотрим связанную компоненту, в которуювходят и диагональные, и внедиагональные множители. Найдем в этой компоненте79диагональный множитель, при удалении которого не возникает компонент связности,состоящих из одного диагонального множителя (легко видеть, что такой элемент существует), и удалим его.В произведении оставшихся множителей оценим емкость внедиагональных элементов с помощью леммы 2.5.5, вклад не связанных с ними диагональных — с помощью леммы 2.5.4, а вклад диагональных множителей, связанных с внедиагональными, как O(Ldeg ).

При этом количество точек носителей диагональных множителей,связанных с внедиагональными, которые не лежат в носителях внедиагональныхPмножителей, не превосходит j (l(ρj )−1), где суммирование происходит по индексам,соответствующим таким диагональным множителям. Таким образом, вклад оставшихся множителей есть O(LP(wt(ρj )−1)−cov), где сумма берется по соответствующимразбиениям, а cov — это число элементов в объединении покрытий этих множителей.Вернем теперь удаленный диагональный множитель обратно. Пусть он соответствует разбиению ρ. Тогда к носителю произведения добавляется не более l(ρ) − 1точек.

Раскроем скобки в этом множителе, и по правилам (2.5.6) будем коммутировать все xjj из этого множителя налево, а все ∂jj — направо. При этом возникаетнесколько новых слагаемых. Вклад в среднее от члена, в котором не произошло ниодного взаимного уничтожения xjj и ∂jj , сокращается с вкладом от −(γL)|ρ| из вставленного множителя. С другой стороны, в членах, возникших при взаимном уничтожении, уменьшается количество диагональных операторов ∂jj во внедиагональныхмножителях или диагональных множителях, с ними связанных.

Повторяя рассуждения предыдущего абзаца, мы получаем, что среднее всего слагаемого оцениваетсякакPrO(Ljj=1 (wt(ρ )−1)−cov−1),где cov — носитель всего слагаемого. Это завершает доказательство утверждения.Доказательство леммы 2.5.4.Достаточно доказать лемму в предположении, что множители D нельзя разбитьна две группы с непересекающимися носителями. Следовательно,80cov(D) ≤sX(lj − 1) + 1,j=1иsX(wt(k j ) − 1) − cov(D) ≥j=1sX|k j | − 1.j=1Значит, нам достаточно доказать, что P j hDi = O L (|k |−1)при s = 2, и P j hDi = O L (|k |−2)для s ≥ 3. Далее доказательство в точности аналогично доказательству леммы 2.5.1.Доказательство леммы 2.5.5.Доказательство проходит по той же схеме, что и доказательство леммы 2.5.2.Введем некоторые определения, обобщающие определения из доказательства леммы2.5.2.Назовем полным l-кратным циклом степени k граф, отвечающий моному видаxα1 i1 .

. . xαk ik ∂α1 iσ(1) . . . ∂αk iσ(k) ,(2.5.12)с носителем, состящим из 2k различных вершин и с произвольной перестановкойσ ∈ S(k), у которой ровно l циклов.Назовем l-кратным циклом степени k граф, отвечающий моному вида (2.5.12),но с более слабым условием Ex ∪ E∂ 6= ∅. Любой такой граф может быть получен изполного l-кратного цикла некоторой идентификацией вершин.Назовем l-кратным x-циклом l-кратный цикл, который возникает из l-кратногополного цикла следующим образом. В каждой из l−1-ой связной компоненты все вершины склеиваются в одну вершину, а оставшаяся l-ая компонента после склеиваниявершин должна образовывать x-цикл.Будем называть l-кратным ∂-циклом l-кратный цикл, вершины в каждой из l − 1связных компонент которого склеены в одну, а оставшаяся l-ая компонента образует∂-цикл.81x4365xxx18723xxx1xx542Рис.

2.7: полный 3-кратный цикл степени 4 (вверху) и 3-кратный x-цикл степени 5(внизу).Примеры введенных понятий см. на рисунке 2.7.Регулярной склейкой l-кратного ∂-цикла и l-кратного x-цикла назовем такуюидентификацию их вершин, что замкнутые невырожденные цепи ∂-ребер и x-ребернакладываются друг на друга, а других склеиваний не происходит. Обозначим символом #R эту регулярную склейку.Сформулируем лемму, обобщающую лемму 2.5.3.Лемма 2.5.6.

Пусть задан набор кратных циклов C(1), . . . , C(n) с кратностямиl1 , . . . , ln . Предположим, что графG = C(1)#C(2) . . . #C(n)∂-регулярен. Тогда|V (G)| ≤ |Ex (G)| +nX(li − 1),i=1и равенство достигается в том и только в том случае, когда существует дизъюнктное разбиение{1, 2, . . . , n} = {i1 < i2 } t {i3 < i4 } · · · t {i2k−1 < i2k } t {j1 , . . .

Характеристики

Список файлов диссертации