Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 15

Для меры µ ∈ M(I) обозначимZµk := xk dµ,k ∈ N.IПусть D(I) — это множество непрерывных диаграмм Юнга, таких что σ 00 (x) имеетноситель внутри интервала I.Лемма 3.5.1. Существует биективное соответствие µ → w между множествами M(I) и D(I). Оно задается соотношением1+∞Xk=1Доказательство. См. [29], [32].µk z k = exp∞Xp̃k (w)k=1k!zk.(3.5.1)99Мера µ называется переходной мерой диаграммы w. Более подробно это соответствие описано в работах [29], [26, Глава 8].Явное вычисление левой и правой части уравнения (3.5.1) ведет к следующемуутверждению.Предложение 3.5.1. a) Полукруговой закон является переходной мерой непрерывной диаграммы Ω.b) Распределение Марченко-Пастура с параметром α является переходной меройнепрерывной диаграммы Ωα .Пункт a) был впервые замечен в работе [29].В работе [6] Биан указал семейство кривых, возникающих в качестве пределав некоторой проблеме асимптотической теории представлений.

Как было показано в работе [40], переходная мера этих кривых Биана совпадает с распределениемМарченко-Пастура с точностью до гомотетии. Таким образом, кривые Ωα и кривыеБиана тесно взаимосвязаны.Замечание 7. Пусть xn = (x1 , x2 , . . . , xn ) — это последовательность вещественных чисел, и предположим, что для любого n последовательности xn и xn−1 перемежаются.Пусть µ — это вероятностная мера на R и пусть δ(x) — мера Дирака в точке x ∈ R.Предположим, чтоn1Xδ(xi ) −−−→ µ,n→∞n i=1сходимость в слабой топологии.В работе [30] было показано, что существуют последовательности с различными предельными мерами µ, но одной и той же предельной формой для диаграммы wxn ,xn−1 .PТаким образом, сходимость последовательности мер n1 ni=1 δ(xi ) к мере µ может невлечь автоматически сходимость диаграммы wxn ,xn−1 к непрерывной диаграмме Юнга с переходной мерой µ.Литература[1] M.

Adler, E. Nordenstam, and P. van Moerbeke, The Dyson Brownian minorprocess, arXiv:1006.2956, preprint.[2] M. Adler, E. Nordenstam, and P. van Moerbeke, Consecutive Minors for Dyson’sBrownian Motions, arXiv:1007.0220, preprint.[3] G. W. Anderson, A. Guionnet, and O. Zeitouni, An introduction to random matrices,Cambridge University Press, 2010.[4] J. Baik, P.Deift, K.Johansson, On the distribution of the length of the longestincreasing subsequence of random permutations, J. Amer. Math. Soc. 12 (1999),1119-1178[5] A.Berele and A.Regev. Hook Young diagrams with applications to combinatoricsand representations of Lie superalgebras.

Advances in Mathematics 64, 118-175(1987)[6] P. Biane, Approximate factorization and concentration for characters of symmetricgroups, Inter. Math. Res. Notices 2001 (2001), no. 4, 179–192.[7] P.Billingsley. Convergence of probability measures, 1999.[8] A. Borodin. CLT for spectra of submatrices of Wigner random matrices, Preprint,2010, arXiv:1010.0898.100101[9] А. Бородин, А. Буфетов, “Центральная предельная теорема для планшерелевского представления бесконечномерной унитарной группы”, Записки семинаровПОМИ, 403 (2012), 19-34; 1.22 п. л. ( вклад автора – 0.61 п.

л.)[10] A. Borodin, A. Bufetov, “Plancherel representations of U (∞) and correlatedGaussian Free Fields”, Duke Mathematical Journal, vol. 163, no. 11 (2014), 21092158; arXiv:1301.0511; 4.2 п.л. (вклад автора – 2.1 п. л.)[11] A. Borodin, P.L. Ferrari. Anisotropic growth of random surfaces in 2+1 dimensions, Preprint, 2008, arXiv:0804.3035.[12] A. Borodin and J. Kuan.

Asymptotics of Plancherel measures for the infinitedimensional unitary group, Adv. Math. 219 (2008), no. 3, 894-931, arXiv:0712.1848[math.RT][13] A. Borodin, A. Okounkov, G. Olshanski, Asymptotics of Plancherel measures forsymmetric groups, J. Amer. Math.

Soc. 13 (2000), 481-515[14] A.Borodin, G.Olshanski. The boundary of the Gelfand-Tsetlin graph: a newapproach. Preprint, 2011, arXiv: 1109.1412.[15] A. Borodin, G. Olshanski. Asymptotics of Plancherel-type random partitions.Journal of Algebra, 313 (2007), no. 1, 40-60.[16] A. Borodin, G. Olshanski, Z-measures on partitions, Robinson-Schensted-Knuthcorrespondence, and β = 2 random matrix ensembles. math.CO/9905189.[17] A. Borodin, G. Olshanski. Representation theory and random point processes.European Congress of Mathematics, 73–94, Eur.

Math. Soc., Zürich, 2005,arXiv:math/0409333.[18] А. Буфетов, “Центральная предельная теорема для экстремальных характеровбесконечной симметрической группы”, Функциональный анализ и его приложения, 46:2 (2012), 3-16; 1.11 п. л.102[19] A. Bufetov, “Kerov’s interlacing sequences and random matrices”, Journal ofMathematical Physics, 54 (2013), no. 11, 113302, arXiv:1211.1507; 0.94 п.

л.[20] P. Cartier. Introduction a l’etude des mouvements browniens a plusieurs parametres.Seminaire de probabilites (Strasbourg), 5 (1971), p.58-75.[21] A. Edrei. On the generating function of a doubly inЇnite, totally positive sequence.Trans. Amer. Math. Soc. 74 (1953), 367-383.[22] V.Feray and P.L.Méliot. Asymptotics of q-Plancherel measures, arXiv:1001.2180,2010[23] W.Fulton, Young tableaux. Cambridge University Press, 1997[24] R. Goodman and N. R. Wallach, Symmetry, representations, and invariants.Springer, 2009.[25] R. A. Horn and C.

R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, NewYork, 1985.[26] V. Ivanov and G. Olshanski. Kerov’s central limit theorem for the Plancherelmeasure on Young diagrams. In Symmetric Functions 2001: Surveys of Developmentsand Perspectives, volume 74 of NATO Science Series II. Mathematics, Physics andChemistry, pages 93–151, 2002.[27] K. Johansson. Discrete orthogonal polynomial ensembles and the Plancherelmeasure.

Ann. of Math. (2), 153:259–296, 2001.[28] K. Johansson and E. Nordenstam, Eigenvalues of GUE minors, Electron. J. Probab.11(50):1342–1371, 2006.[29] S.V. Kerov. Asymptotic Representation Theory of the Symmetric Group and itsApplications in Analysis. D Sci. thesis, 1993[30] S. Kerov, Asymptotics of the separation of roots of orthogonal polynomials, St.Petersburg Math. J. 5 (1994), 925-941.103[31] S. Kerov, The differential model of growth of Young diagrams, Proc.

St. PetersburgMath. Soc. 4 (1996), 167–194.[32] S. Kerov, Interlacing measures, In: Kirillov’s seminar on representation theory (G.Olshanski, ed.), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, pp. 35–83.[33] S. V. Kerov, Anisotropic Young diagrams and Jack symmetric functions,Funktsional. Anal. i Prilozhen. 34 (2000), no.

1, 51–64 (Russian); Englishtranslation: Funct. Anal. Appl. 34 (2000), 41–51.[34] S. V. Kerov and G. Olshanski. Polynomial functions on the set of Young diagrams.Comptes Rend. Acad. Sci. Paris, Serie I, 319:121–126, 1994.[35] S.V.Kerov, A.Okounkov, and G.Olshanski. The boundary of the Young graph withJack edge multiplicities. International Mathematics Research Notices, 1998(4):173,1998.[36] S.V.Kerov, G.Olshanski, and A.M.Vershik. Harmonic analysis on the infinitesymmetric group. Invent.Math., 158:551-642, 2004[37] S.V.Kerov and A.M.Vershik, Asymptotics theory of characters of the symmetricgroup. Funct.Anal.Appl.

15 : 246-255, 1982[38] F. Logan and L. A. Shepp, A variational problem for random Young tableaux,Advances in Math. 26 (1977), 206–222.[39] I. G. Macdonald. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford MathematicalMonographs. Oxford University Press, 2nd edition, 1995.[40] P.L. Méliot. Kerov’s central limit theorem for Schur-Weyl measures of parameter1/2 , Preprint, 2010, arXiv:1009.4034.[41] P.L. Méliot.

A Central Limit Theorem for the characters of the infinite symmetricgroup and of the infinite Hecke algebra, Preprint, 2011, arXiv:1105.0091.104[42] A. Metcalfe. Universality properties of Gelfand-Tsetlin patterns. Probab. Th. Rel.Fields, 155(1-2):303–346, 2013.[43] S. Mkrtchyan. Entropy of Schur-Weyl Measures. Preprint, 2011, arXiv:1107.1541.[44] A.

Okounkov.The uses of random partitions. XIVth International Congresson Mathematical Physics, 379–403, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005,arXiv:math-ph/0309015.[45] A. Okounkov, G. Olshanski. Shifted Schur functions, Algebra i Analiz, 1997, Volume9, 2, 73–146.[46] A. Okounkov and G. Olshanski, Asymptotics of Jack polynomials as the numberof variables goes to infinity.

Intern. Math. Research Notices 1998 (1998), no. 13,641–682; arXiv:q-alg/9709011.[47] G. Olshanski. Unitary representations of inЇnite-dimensional pairs (G, K) andthe formalism of R. Howe. In: Representations of Lie groups and related topics.Advances in Contemp.

Math., vol. 7 (A. M. Vershik and D. P. Zhelobenko, editors).Gordon and Breach, N.Y., London etc. 1990, 269-463.[48] G. Olshanski. Random permutations and related topics. Chapter 25 of The OxfordHandbook of Random Matrix Theory (G. Akemann, J. Baik, P. Di Francesco, eds).Oxford Univ. Press 2011, arXiv:1104.1266.[49] A.Regev and T.Seeman. Shuffle-invariance of the super-RSK algorithm, Advancesin Applied Mathematics, Vol.28, No.

1, 59-81, 2002[50] S. Sheffield. Gaussian free fields for mathematicians, Probability Theory andRelated Fields, 2007, 139: 521–541.[51] C.Schensted. Longest increasing and decreasing subsequences, Canadian Journal ofMathematics 13: 179–191, 1961[52] E.Thoma, Die unzerlegbaren, positive-definiten Klassenfunktionen der abzahlbarunendlichen symmetrischen Gruppe. Mat.Zeitschrift, 85:40-61, 1964105[53] A. M.

Vershik and S. V. Kerov, Characters and factor representations of the infiniteunitary group. Doklady AN SSSR 267 (1982), no. 2, 272–276 (Russian); Englishtranslation: Soviet Math. Doklady 26 (1982), 570–574.[54] A. M. Vershik and S. V. Kerov, Asymptotics of the Plancherel measure of thesymmetric group and the limiting form of Young tableaux, Doklady AN SSSR233 (1977), no. 6, 1024–1027; English translation: Soviet Mathematics Doklady 18(1977), 527–531.[55] A. M. Vershik, S. V. Kerov, Asymptotic theory of characters of the symmetric group,Function.

Anal. i Prilozhen. 15 (1981), no. 4, 15–27; English translation: Funct. Anal.Appl. 15 (1985), 246–255.[56] S.V.Kerov and A.M.Vershik. The characters of the infinite symmetric groupand probability properties of the Robinson-Schensted-Knuth algorithm. SIAMJ.Alg.Disc.Meth., Vol.7, No.

1, 1986[57] D. Voiculescu. Representations factorielles de type II1 de U (∞) . J. Math. Pures etAppl. 55 (1976), 1-20.[58] H. Weyl, The classical groups. Their invariants and representations. Princeton Univ.Press, 1939; 1997 (fifth edition).[59] D. P. Zhelobenko, Compact Lie groups and their representations, Nauka, Moscow,1970 (Russian); English translation: Transl. Math.

Monographs 40, Amer. Math.Soc., Providence, RI, 1973..