Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 5

Но таких букв, попредположению индукции, L-ограниченное число. Поэтому из леммы 5 следует, что:ρ(wxi k−1 ,xk ) ≤ ρ(wxi−1) + {L(n)},k−1 ,xki = 1 . . . l − 1.(1.3.1)26Суммируя неравенства (1.3.1) по i = 1 . . . l − 1, получаемρ(wxl−1) ≤ ρ(wx0k−1 ,xk ) + {L(n)}.k−1 ,xkКроме того,ρ(wx0k−1 ,xk ) = {L(n)}в силу леммы 4. Рассуждая так же, как при доказательстве оценки сверху для первойстрочки, приходим к неравенству).ξkl (n) ≤ ρ(wxl−1k−1 ,xkСледовательно, ξkl (n) — L-ограниченная величина для любого k > l. Как уже былозамечено, в каждой строчке не может быть больше одной буквы yj (для каждого j).Значит,λPl (n) = Nxl (n) + {L(n)}.00Для оценки величин λ1P (n), .

. . , λLP (n) рассмотрим транспонирующее отображение. К мере, задаваемой параметрами P t = ({βj }, {αi }, γ), мы можем применить ужедоказанные оценки для строчек. В силу леммы 3, получаем0t0tλ1P (n) = λP1 (n) = Ny1 (n) + {L(n)},...λLP (n) = λPL (n) = NyL (n) + {L(n)}.1.3.2Доказательство теоремы 2 для общего случаяПусть P = ({αi }, {βj }, γ) — параметры, удовлетворяющие условию строгой монотонности (1.1.1). Докажем сначала теорему для длин строк — утверждение для столбцовполучится отсюда с помощью транспонирующего отображения.В силу следствия из леммы 1, оценки сверху и снизу на величину E(λPi (n)−Nxi (n))можно доказывать для различных упорядочений алфавита A.

Введем порядок p1 наA:27x1 < x2 < · · · < y1 < y2 < · · · < G.Оценка снизу. Для порядка p1 буквы x1 , x2 , . . . , xK эволюционируют вне зависимости от других букв, поэтому оценкаλPi (n) ≥ Nxi (n) + {L(n)} i = 1 . . . Kдоказывается аналогично случаю конечного A.Идея доказательства оценки сверху состоит в сведении общего случая к случаюконечного числа параметров с помощью операции укрупнения. Порядок p2 , используемый для оценки сверху, определим так, чтобы были возможны операции укрупнения, предписанные нижеследующими шагами (то есть буквы, которые будет нужноотождествить, должны образовывать интервалы относительно порядка p2 ).

Нашейцелью является получение после нескольких укрупнений конечного числа параметров, причём K первых по величине α-параметров не должны измениться и все αпараметры должны быть различны.1) Пусть число α-параметров в P бесконечно. Рассмотрим два случая:а) Допустим, существует l ∈ N такое, что выполнено неравенствоX∞i=l+1αi < αKи для любого r ≤ l верно:X∞i=l+1αi 6= αrВ этом случае отождествим буквы xl+1 , xl+2 , xl+3 . . .

.б) Если такого l, как требуется в пункте а), не существует, то, как легко видеть,найдутся l1 , m1 ∈ N такие, что для некоторого r ≤ l1 верно:X∞i=l1 +1и выполняются условияαi = αr < αK28αr >Xl1 +m1i=l1 +1X∞i=l1 +m1 +1Вэтомслучаеотождествимбуквыαi > αr+1 ,αi < αl1 .xl1 +1 , . . . , xl1 +m1 ,атакже(отдельно)xl1 +m1 +1 , xl1 +m1 +2 , xl1 +m1 +3 . . . .После проведенных операций укрупнения остается конечное число попарно различных α-параметров. Обозначим минимальное из них символом αR .2) Если число β-параметров бесконечно, то выберем l2 так, чтобы было выполненоусловиеX∞i=l2 +1βi < αR ,(1.3.2)и отождествим буквы yl2 +1 , yl2 +2 , yl2 +3 .

. . . Напомним, что после такой операцииукрупнения возникает новый α-параметр, который в силу (1.3.2) меньше других αпараметров. Обозначим его символом αR+1 .3) Если γ > 0, то легко видеть, что найдутся m ∈ N и δ1 > δ2 > · · · > δm ∈ Rтакие, чтоδ1 + δ2 + · · · + δm = 0,γ+ δ1 < αR+1 ,mγ+ δm > 0.mРазобьём G на непересекающиеся интервалы длиныγγ+δ1 , m+δ2 ,m...,γ+δmmи отож-дествим точки в каждом из этих интервалов. В результате такой операции укрупнения возникнет m новых α-параметров, а из выбора δi следует, что эти параметрыбудут попарно различны и меньше всех полученных на предыдущих шагах.Таким образом, каждый набор параметров P можно операциями укрупнения,описанными в 1)-3), свести к случаю конечного числа параметров, при этом K первыхпо величине α-параметров не меняются.

Обозначим полученный набор параметров29∗символом P ∗ . Напомним, что величины λPi (n) естественным образом определены на(An , µn ).Оценка сверху.1) Первая строка.По лемме 2∗λP1 (n) ≤ λP1 (n).Так как P ∗ соответствует случаю конечного алфавита, то по уже доказанному∗λP1 (n) ≤ Nx1 (n) + {L(n)}.Следовательно,λP1 (n) ≤ Nx1 (n) + {L(n)}.2) Докажем утверждение для l-ой строки. По лемме 2∗∗∗λP1 (n) + λP2 (n) + · · · + λPl (n) ≤ λP1 (n) + λP2 (n) + · · · + λPl (n).Из уже доказанного в 3.1 имеем∗∗∗λP1 (n) + λP2 (n) + · · · + λPl (n) ≤ Nx1 (n) + · · · + Nxl (n) + {L(n)}.Из оценки снизу получаемλP1 (n) + λP2 (n) + · · · + λPl−1 (n) ≥ Nx1 (n) + · · · + Nxl−1 (n) + {L(n)}.Следовательно,λPl (n) ≤ Nxl (n) + {L(n)}.Доказательство утверждения теоремы для длин столбцов следует из утверждениядля строк аналогично случаю конечного алфавита, что заканчивает доказательствотеоремы 2.1.3.3Доказательство теоремы 1Простым вычислением характеристических функций можно показать, что30ηn := N (n) − α n N (n) − α nNx (n) − αK nx11x2√, 2 √,..., K √,nnnNy1 (n) − β1 nNyL (n) − βL n √√−−→ η,,...,Lawnnгде символом η обозначена многомерная гауссова случайная величина с нулевымсредним и матрицей ковариаций C, задаваемой формулойα12α −−α1 α2 −α1 α3 1 −α2 α1 α2 − α22 −α2 α3.. ..... ..C =  −αK α1 −αK α2... −β1 α1 −β1 α2... ...... ...−βL α1 −βL α2......−α1 αK−α1 β1.........−α2 αK...−α2 β1.........2.

. . α K − αK−αK β1 . . .......−β1 αK...β1 − β12 . . ..........−βL αK−β1 βL . . .−α1 βL−α2 βL ...−αK βL −β1 βL ...βL − βL2Легко видеть, что векторψn :=({L(n)}, {L(n)}, . . . , {L(n)})√−−→ 0probnдля произвольных L-ограниченных последовательностей случайных величин (обозначенных как {L(n)}).

Хорошо известно (см., например, [7, Th 3.1]), что из ηn0 −−→ η 0Lawиψn0−−→ 0 следует, чтоprobηn0 + ψn0 −−→ η 0LawПоэтому λP (n) − α n λP (n) − α nλP (n) − αK n121√, 2 √,..., K √,nnn00λ1P (n) − β1 nλLP (n) − βL n √√...= ηn + ψn −−→ ηLawnnТаким образом, теорема 1 доказана.Глава 2Центральная предельная теорема дляпланшерелевских представленийбесконечномерной унитарной группы2.1Введение к главе 2Асимптотический анализ мер на разбиениях, возникающих из теории представлений,является хорошо известным и распространенным объектом для исследований.

Онважен для самой теории представлений (см. [17] и ссылки в ней) и тесно взаимосвязан с теорией случайных матриц, системами взаимодействующих частиц, перечислительной комбинаторикой и другими областями, для которых он часто предоставляетключевые технические средста (см., например, [44], [48]).Обычно такие меры возникают следующим образом. Пусть у нас есть группа схорошо известным набором неприводимых представлений, которые могут быть параметризованы разбиениями или схожими объектами.

Тогда разложение какого-либоестественного приводимого представления этой группы на неприводимые компоненты дает разложение общей размерности представления на размерности изотипических компонент; отношение соответствующей размерности и размерности всего пространства и будет весом меры. Данная процедура корректно определена не только3132для конечномерных представлений, но и для бесконечномерных с конечным следом;вес (параметра) изотипической компоненты определяется в этом случае как следпроектора на нее, при условии, что след нормализован так, что его значение на тождественном операторе равно 1.Альтернативный подход к подобным мерам состоит в определении средних поэтим мерам на подходящих наборах функций на множестве параметров неприводимых представлений. Эти средние возникают как следы операторов во всем пространстве представления, являющихся скалярными в каждой изотипической компоненте.В свою очередь, эти операторы являются образами центральных элементов групповой алгебры в случае, если группа конечна, и универсальной обертывающей алгебрыалгебры Ли в случае, если рассматривается группа Ли.

Эти центральные элементыобразуют коммутативную подалгебру, которая отображается в алгебру функций напараметрах, т.е. на разбиениях или схожих объектах. Значение функции, соответствующей центральному элементу, на параметре представления равняется (скалярному) значению этого элемента на этом неприводимом представлении.С точки зрения теории вероятностей, данный подход выглядит полностью удовлетворительным. Однако, с точки зрения теории представлений, не ясно, почему мыможем рассматривать лишь коммутативные подалгебры, в то время как основнойинтерес теории представлений заключается в некоммутативных эффектах.Цель данной работы — продвинуться дальше этого коммутативного ограничения.Более подробно, для некоторого представления бесконечномерной унитарнойгруппы с конечным следом, описанного ниже, мы рассматриваем семейство коммутативных подалгебр универсальной обертывающей алгебры, таких что элементыразличных подалгебр, вообще говоря, не коммутируют.

Далее, мы рассматриваемпредельный режим, для которого известно (см. [11]), что меры, отвечающие каждой из подалгебр, аппроксимируются двумерными гауссовскими свободными полями (GFF — Gaussian Free Field). Мы изучаем “совместное распределение” этих GFF,чтобы это ни могло значить.Для любого элемента универсальной обертывающей алгебры можно определить33его “среднее” как след его образа в представлении. Поэтому, при заданном представлении, можно определить “средние” для произвольных произведений элементов изнаших подалгебр, несмотря на то, что они не коммутируют.Наш основной результат заключается в том, что для некоторых планшерелевскихпредставлений эти “средние” сходятся к настоящим средним соответствующих наблюдаемых гауссовского процесса, состоящего из семейства коррелированных GFF.Поэтому изначальное отсутствие коммутативности исчезает, но предельные гауссовские свободные поля, возникающие из различных подалгебр, не становятся независимыми.Этот же предельный объект (набор коррелированных гауссовских свободных полей) был ранее получен как универсальный глобальный предел для флуктуаций собственных значений различных подматриц вигнеровской эрмитовой случайной матрицы, см.