Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 6

[8]. Можно предполагать, что этот процесс возникнет и для других, непланшерелевских фактор-представлений бесконечномерной унитарной группы присоответствующих предельных режимах.2.22.2.1Предварительные сведенияБесконечномерная унитарная группа и её характерыПусть U (N ) = (uij )N— группа унитарных матриц N -ого порядка. Определимi,j=1цепочку вложенных группU (1) ⊂ U (2) ⊂ . . . U (N ) ⊂ U (N + 1) ⊂ .

. . ,в которой вложение U (k) ⊂ U (k+1) определяется равенствами ui,k+1 = uk+1,i = 0, 1 ≤i ≤ k, uk+1,k+1 = 1. Бесконечномерной унитарной группой называется объединениеэтой цепочки группU (∞) =∞[N =1U (N ).34Характером группы U (∞) называется функция χ : U (∞) → C, удовлетворяющаяследующим свойствам:1) χ(e) = 1, где e — единица группы U (∞) (нормированность);2) χ(ghg −1 ) = χ(h), где h, g — произвольные элементы U (∞) (центральность);3) матрица [χ(gi gj−1 )]ni,j=1 эрмитова и неотрицательно определена для любыхg1 , .

. . , gn ∈ U (∞) (положительная определенность);4) ограничение χ на U (N ) является непрерывной функцией для каждого N(непрерывность).Легко видеть, что множество всех характеров группы U (∞) выпукло. Экстремальные точки этого множества будем называть экстремальными характерами.Классификация экстремальных характеров дается теоремой, обычно называемой теоремой Эдреи-Войкулеску (см. [57], [21], [53], [46], [14]). Оказывается,что экстремальные характеры могут быть параметризованы множеством Ω =(α+ , α− , β + , β − , δ + , δ − ), гдеα± = α1± ≥ α2± ≥ · · · ≥ 0,β ± = β1± ≥ β2± ≥ · · · ≥ 0,±δ ≥ 0,∞X(αi± + βi± ) ≤ δ ± ,β1+ + β1− ≤ 1.i=1Вместо параметров δ ± бывает удобно использовать параметры γ ± , определяемыеформулойγ ± := δ ± −∞X(αi± + βi± ).i=1Для каждого ω ∈ Ω определим функцию f0ω : {u ∈ C : |u| = 1} → C по формулеf0ω (u)−+−1= exp(γ (u − 1) + γ (u− 1))∞Y(1 + β + (u − 1)) (1 + β − (u−1 − 1))iii=1(1 − αi+ (u − 1)) (1 − αi− (u−1 − 1))и пустьχω (U ) =Yu∈Spectrum(U )f0ω (u),U ∈ U (∞).,35Тогда функция χω является экстремальным характером группы U (∞), отвечающимω ∈ Ω.Сигнатурой (также называемой старшим весом) длины N называется невозрастающая последовательность из N целых чиселλ = (λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λN ) ,λi ∈ Z.Хорошо известно, что неприводимые комплексные представления группы U (N )параметризуются сигнатурами длины N (см., например, [58], [59]).

Пусть DimN (λ)— размерность неприводимого представления, параметризованного сигнатурой λ.Обозначим символом χλ неприводимый нормированный характер группы U (N )(т.е. функцию на группе, равную следу соответствующего оператора деленному наDimN (λ)), отвечающий представлению, параметризованному сигнатурой λ.Сопоставим сигнатуре λ две диаграммы Юнга (λ+ , λ− ) так, что λ+ задается неотрицательными λi , а λ− — отрицательными λi , то есть+−−λ = (λ+1 , λ2 , .

. . , −λ2 , −λ1 ).Для диаграммы Юнга µ пусть |µ| — число клеток в µ, и пусть d(µ) — число клетокна диагонали диаграммы µ. Пусть d(λ+ ) = d+ и d(λ− ) = d− . Определим модифицированные координаты Фробениуса диаграммы Юнга µ = (µ1 , . . . , µk ) по формуле1ai = µ i − i + ,21bi = µ0i − i + ,21 ≤ i ≤ d(µ),(2.2.1)где µ0 обозначает диаграмму, транспонированную к µ.Пусть для каждого N даны функции fN : U (N ) → C, и функция f : U (∞) → C.Будем говорить, что последовательность {fN } аппроксимирует функцию f , еслидля любого фиксированного N0 ∈ N ограничения функций fN на U (N0 ) равномерносходятся к ограничениям функции f на U (N0 ).Оказывается, экстремальные характеры U (∞) могут быть аппроксимированынормированными неприводимыми характерами групп U (N ).36Теорема 2.2.1.

Пусть χω — экстремальный характер U (∞), отвечающий точкеω = (α± , β ± , δ ± ) ∈ Ω. Пусть {λ(N )} — последовательность сигнатур длины N ,±причем координаты Фробениуса диаграмм Юнга λ± равны a±i (N ), bi (N ). Тогда нор-мированные характеры χλ(N ) аппроксимируют χ тогда и только тогда, когдаa±i (N )= αi± ,N →∞Nlimb±i (N )= βi± ,N →∞Nlim|λ± (N )|= δ±.N →∞NlimДоказательство. Это теорема Вершика-Керова (см. [53]). Подробное доказательствоизложено в [46] и в [14].2.2.2Граф Гельфанда-Цетлина и когерентные системы мерПусть GTN — множество всех сигнатур длины N .

Удобно также определить GT0 какмножество, состоящее из единственного элемента ∅. Будем говорить, что сигнатурыλ ∈ GTN и µ ∈ GTN −1 перемежаются и писать µ ≺ λ, если выполнено условиеλi ≥ µi ≥ λi+1 для всех 1 ≤ i ≤ N − 1. Также будем считать, что ∅ ≺ λ для любогоλ ∈ GT1 , и GT0 = {∅}.Графом Гельфанда-Цетлина называется граф GT, множеством вершин которогоSявляется ∞N =0 GTN , а ребро проводится между двумя сигнатурами λ и µ тогда итолько тогда, когда выполнено либо λ ≺ µ, либо µ ≺ λ.

Путем между сигнатурамиκ ∈ GTK и ν ∈ GTN , K < N , называется последовательностьκ = λ(K) ≺ λ(K+1) ≺ · · · ≺ λ(N ) = ν,λ(i) ∈ GTi .Хорошо известно, что DimN (ν) равняется числу путей с началом в ∅ и концом вν ∈ GTN . Бесконечным путем называется бесконечная последовательность∅ ≺ λ(1) ≺ λ(2) ≺ · · · ≺ λ(k) ≺ λ(k+1) ≺ .

. . .Пусть P — множество бесконечных путей. Введем на этом множестве топологию,Qиндуцированную топологией прямого произведения ∞N =0 GTN , и снабдим P борелевской σ-алгеброй.37Пусть MN — вероятностная мера на GTN . Назовем набор {MN }∞N =1 когерентным семейством мер, если для любого N ≥ 0 и для любого λ ∈ GTN выполненосоотношениеMN (λ) =XMN +1 (ν)ν:λ≺νDimN (λ).DimN +1 (ν)По заданной когерентной системе мер {MN }∞N =1 определим меру цилиндрическогомножества, задаваемого фиксированными первыми N сигнатурами, формулойP (λ(1) , λ(2) , .

. . , λ(N ) ) =MN (λ(N ) ).DimN (λ(N ) )(2.2.2)Заметим, что эта вероятность зависит только от сигнатуры длины N , и не зависит отλ(1) , λ(2) , . . . , λ(N −1) . Из свойства когерентности следует, что так определенные мерыцилиндров согласованы и определяют вероятностную меру на P.Пусть χ — произвольный характер группы U (∞). Рассмотрим разложение ограничения этого характера на группу U (N ) по характерам χλχ|U (N ) =XMN (λ)χλ .(2.2.3)λ∈GTNЛегко проверить, что коэффициенты разложения MN (λ) образуют когерентную систему мер на GT, и, наоборот, по любой когерентной системе мер на GT можно такимобразом построить характер группы U (∞).2.2.3Вероятностная мера, отвечающая одностороннему планшерелевскому характеру+Пусть χγ — экстремальный характер группы U (∞), возникающий при параметрахα+,− = 0, β +,− = 0, γ − = 0 и ненулевом γ + . Этот характер из аналогии с классификацией характеров бесконечной симметрической группы естественно называтьодносторонним планшерелевским.

Будем обозначать когерентную систему мер на+GT, отвечающую этому характеру, символом P̃Nγ .ПустьPLγ (λ) := P̃LγL (λ),L ∈ N,38где γ > 0 — фиксированная константа.Пусть u1 , . . . , uL — собственные значения матрицы U ∈ U (L), и пусть dim µ — размерность неприводимого представления группы S(|µ|), соответствующего µ ∈ Y|µ| ,где Yn обозначает множество диаграмм Юнга с n клетками.Для получения явной формулы для PLγ (λ) следует, согласно (2.2.3), разложитьфункциюf0γL (u1 , .

. . , uL ) = exp γLLX!(ui − 1)i=1по неприводимым характерам группы U (L), задаваемым, как известно (см., например, [58], [59], [24]), функциямиχλ =sλ (u1 , . . . , uL ),DimL λгде sλ — функции Шура (см., например, [39]).Запишем функцию f0γL (u1 , . . . , uL ) в видеexp γLLX!(ui − 1)2= exp(−γL )PL1n!n=1i=1где p1 (u1 , . . . , uL ) :=∞X(γL)n pn (u1 , . .

. , uL )i=1,ui . Воспользовавшись хорошо известной формулой (см.[39])pn1 (u1 , . . . , uL ) =Xdim λ · sλ ,λ∈YL (n)где YL (n) — множество диаграмм Юнга с n клетками и не более, чем L строками,получаем, что(γL)λ1 +···+λLe−γL2dim λ DimL λ,(λ1 + · · · + λL )!PLγ (λ) =0,если λ1 ≥ · · · ≥ λL ≥ 0;(2.2.4)при других λ.Таким образом, мера PLγ сосредоточена на сигнатурах с неотрицательными координатами или, что то же самое, на диаграммах Юнга с не более, чем L строками.39Приведем другое семейство мер на диаграммах Юнга, впервые рассмотренноеБианом (см. [6]), очень близкое к семейству {PLγ }. Пусть N и n — два натуральных числа, и рассмотрим пространство V = (CN )⊗n .