Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 2

Провести подробное исследование возникающей вероятностноймодели. Найти асимптотическое поведение элементов универсальной обертывающейалгебры бесконечномерной унитарной группы в планшерелевском представлении.Описать предельный объект в этой модели. Исследовать рост диаграммы разбиения спектра двух последовательных вигнеровских матриц.Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации состоят в следующем:81.

Доказана центральная предельная теорема для экстремальных характеров бесконечной симметрической группы2. Установлена взаимосвязь между вероятностными мерами на диаграммах Юнга, порожденными экстремальными характерами бесконечной симметрическойгруппы, и вероятностной моделью с независимыми испытаниями.3. Исследовано асимптотическое поведение элементов универсальной обертывающей алгебры бесконечномерной унитарной группы. Доказана центральная предельная теорема для возникающих некоммутативных случайных величин. Описан предельный объект — семейство гауссовских свободных полей.4.

Доказан закон больших чисел для диаграмм разделения корней вигнеровскихи уишартовских матриц.Личный вклад автора. Результаты первой и третьей главы получены диссертантом лично. Результаты второй главы получены в соавторстве с А.М. Бородиным.Методы исследования. Центральное место в работе занимают алгебраическиеи комбинаторные методы, такие как техника вычислений в алгебрах симметрических и сдвинуто-симметрических функций, методы перечислительной и алгебраической комбинаторики. Автором разработан новый метод асимптотического анализавероятностных мер на диаграммах Юнга; также была разработана новая техникавычислений в универсальной обертывающей алгебре бесконечномерной унитарнойгруппы.Теоретическая и практическая ценность.

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в асимптотической теории представлений, в исследовании вероятностных комбинаторных моделей, в теориислучайных матриц, в алгебраической комбинаторике, в теории свободной вероятности и в моделях статистической механики.9Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывалисьна• научно-исследовательском семинаре Добрушинской математической лаборатории, Институт проблем передачи информации РАН, 2013 г.• научно-исследовательском семинаре “Эргодическая теория и математическаяфизика”, механико-математический факультет МГУ, неоднократно в 2011-2013г.• научно-исcледовательском семинаре “Теория представлений и вероятность”, факультет математики ВШЭ, неоднократно в 2011-2014 г.• научно-исследовательском семинаре “Характеристические классы и теория пересечений”, факультет математики ВШЭ, 2013 г.• научно-исследовательском семинаре “Динамические системы”, механикоматематический факультет МГУ, 2013 г.• научно-исследовательском семинаре “Интегрируемая теория вероятностей”,Массачусеттский Технологический Институт, 2013-2014 г.• научно-исследовательском семинаре “Семинар факультета математики”, университет г.

Утрехт, 2011 г.• научно-исследовательском семинаре “Теория вероятностей”, Будапештский технологический университет, 2012 г.Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, — [9], [10], [18], [19], — 4 из которых опубликованы в научных журналах изсписка, рекомендованного ВАК.Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав исписка литературы из 59 наименований.

Общий объем диссертации составляет 105страниц.10Благодарности. Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Г.И.Ольшанскому за постановки задач и постоянное внимание к работе. Автор глубокоблагодарен А.М. Бородину за многочисленные полезные обсуждения.Глава 1Центральная предельная теорема дляэкстремальных характеровбесконечной симметрической группы1.1Введение к главе 1Пусть Yn — множество диаграмм Юнга из n клеток.

Определим градуированныйграф Юнга Y, множеством вершин которого служит ∪∞n=1 Yn , а ребро между диаграммами λ и µ проведено в том и только в том случае, если λ ∈ Yn , µ ∈ Yn+1 и µполучается из λ добавлением одной клетки (в этом случае будем писать λ ↑ µ). Пустьdim λ — число различных кратчайших путей в Y от одноклеточной диаграммы Юнгадо диаграммы λ.Когерентной системой мер на Y называется последовательность {Mn }, где Mn— вероятностная мера на Yn , для которой выполнено соотношениеMn (ν) =X dim νMn+1 (λ),dim λλ:ν↑λдля любого ν ∈ Yn .Хорошо известно, что характеры бесконечной симметрической группы взаимно однозначно соответствуют когерентным системам мер на Y. По теореме То1112ма (см. [52]) экстремальные характеры описываются множеством параметров P =({αi }, {βj }, γ), где αi , βj , γ — вещественные числа, удовлетворяющие соотношениям∞Xα1 ≥ α2 ≥ α3 ≥ .

. . ≥ 0, β1 ≥ β2 ≥ . . . ≥ 0, γ ≥ 0,(αi + βi ) + γ = 1.i=1Пусть {MnP } — когерентная система мер, соответствующая фиксированному набору параметров P. Обозначим символом λPi (n) длину i-ой строки случайной диа0граммы Юнга, выбранной по мере MnP , а символом λjP (n) — длину j-ого столбцаэтой диаграммы. Нашей основной задачей является изучение асимптотического поведения этих величин.Известно (см.

[37],[35],[36]), что для длин строк и столбцов выполнен закон больших чисел:0λjP (n)λPi (n)−−→ αi ,−−→ βj .probprobnnЦентральная предельная теорема для случая αi = (1 − q)q i−1 , βj = 0,γ = 0 была установлена в [22]. Основным результатом данной статьи является центральнаяпредельная теорема для случая строго монотонных последовательностей {αi }, {βj }.Точнее говоря, будем рассматривать множества параметров P, для которых выполненоαi > αi+1 для всех i таких, что αi 6= 0,βj > βj+1 для всех j таких, что βj 6= 0.

(1.1.1)Заметим, что условие неравенства параметров существенно: например, если α1 =· · · = αk = k1 , то флуктуации не являются гауссовыми (см. [29], [27]).Теорема 1.1.1. (Центральная предельная теорема) Пусть P — произвольныйнабор параметров, удовлетворяющий (1.1.1), и K, L > 0 таковы, что α1 > α2 >· · · > αK > 0 и β1 > β2 > · · · > βL > 0. Тогда:0 λP (n) − α n λP (n) − α nλPK (n) − αK n λ1P (n) − β1 n1212√√√√,,...,,,nnnn0λLP (n) − βL n 00√...,−−→ Z = (Z1 , Z2 , . . . , Zk , Z1 , . .

. , ZL ),Lawn13где Z — многомерная гауссова случайная величина с моментамиEZi0 = 0,EZi = 0,EZi2 = αi − αi2 ,EZi Zj = −αi αj ,EZi02 = βi − βi2 ,EZi0 Zj0 = −βi βj ,EZi Zj0 = −αi βj .Независимо и одновременно эта теорема была также доказана в работе [41] спомощью других методов.Замечание 1. Пусть {Xi }, {Yj }, Θ — независимые в совокупности гауссовы случайные величины с нулевым средним и дисперсиямиEXi2 = αi , EYj2 = βj ,EΘ2 = γ,при этом Xi ,Yj определены для всех ненулевых α- и β- параметров. Тогда распре0деление (Z1 , . .

. , ZK , Z1 , . . . , ZL 0 ) совпадает с проекцией на первые K + L координатусловного распределения на гиперплоскости X1 + · · · + XK + XK+1 + · · · + Y1 + · · · +YL + YL+1 + · · · + Θ = 0.fP — мера на Y, являющаяся пуассонизацией последоваЗамечание 2. Пусть Mνтельности мер MnP :|λ|fP (λ) := e−ν ν M P (λ),Mν|λ|! |λ|0где символом |λ| обозначено число клеток в диаграмме λ, и λ̃Pi (ν), λ̃jP (ν) — длиныi-ой строки и j-ого столбца случайной диаграммы Юнга, взятой по этой мере. Вусловиях теоремы 1 выполнено0 λ̃P (ν) − α ν λ̃P (ν) − α νλ̃PK (ν) − αK ν λ̃1P (ν) − β1 ν1212√√√√,,...,,,νννν0λ̃LP (ν) − βL ν ν→∞√...,−−−→ (X1 , X2 , . .

. , XK , Y1 , . . . , YL )LawνДоказательство аналогично доказательству теоремы 1.Пусть A — алфавит, состоящий из дискретной части — множеств Le = {x1 , x2 , . . .}и Lo = {y1 , y2 , . . .}, и непрерывной части G, которую будем считать отрезком. Введем на A вероятностную меру µ1 , сопоставляя букве xi вероятность αi , букве yj —14вероятность βj и считая, что на G задана мера Лебега с условием µ1 (G) = γ; зададим на An бернуллиевскую меру µn = µ⊗n1 . Обозначим символом Nxi (n) случайнуювеличину, равную числу букв xi в случайном слове w ∈ An , выбранном по мере µn , асимволом Nyj (n) — число букв yj в этом слове.

Будем считать, что на A введено некоторое линейное упорядочение p. Как было показано в [56], с помощью обобщенногоRSK-алгоритма можно построить отображениеφp : An → Ynтакое, что мера µn под действием φp переходит в меру MnP . В силу этого можно0считать, что величины λPi (n), λjP (n) заданы на вероятностном пространстве (An , µn ).Теорема 1.1.2.

Пусть P — произвольный набор параметров, удовлетворяющий(1.1.1), и K, L > 0 таковы, что α1 > α2 > · · · > αK > 0 и β1 > β2 > · · · > βL > 0.Определим функции1 (n) := λP1 (n) − Nx1 (n),2 (n) := λP2 (n) − Nx2 (n),...K (n) := λPK (n) − NxK (n),001 (n) := λ1P (n) − Ny1 (n),...00L (n) := λLP (n) − NyL (n).Тогда существует константа C = C(K, L) (не зависящая от n) такая, чтоE|i (n)| < C,0E|j (n)| < C,i = 1, . .