Диссертация (Случайные разбиения и асимптотическая теория представлений), страница 8

) :=− −i +,xi − i +22i=1k = 1, 2, . . .Пусть ρ, λ ∈ Y := Y0 ∪ Y1 ∪ Y2 ∪ . . . , и пусть r = |ρ| и n = |λ|. Для r = nобозначим символом χλρ значение характера представления симметрической группыS(n), отвечающего разбиению λ, на классе сопряженности, отвечающему разбиениюρ. В случае r < n будем обозначать символом χλρ значение того же характера наклассе сопряженности ρ∪1n−r = (ρ, 1, 1, .

. . , 1) ∈ Yn . Определим функцию p#ρ : Y → Rпо формулеχλn(n − 1) . . . (n − r + 1) ρ ,dim λp#ρ (λ) =0, n < r.n ≥ r;∗Оказывается, существует единственный элемент p#ρ ∈ Λ , который для всех λ ∈#Y принимает при xi = λi значение p#ρ (λ). Известно, что набор {pρ }ρ∈Y образуетлинейный базис в алгебре Λ∗ . При ρ = (k), то есть если диаграмма Юнга ρ состоит#лишь из одной строки длины k, будем обозначать элемент p#ρ символом pk . Известно,∗∞что набор {p#k }k=1 составляет алгебраически независимую систему образующих в Λ .Определим вес элемента p#ρ по формулеwt(p#ρ ) = |ρ| + l(ρ),и пусть wt(f ) для произвольного f ∈ Λ∗ определяется как максимальный из весовэлементов p#ρ , входящих в линейное разложение f с ненулевым коэффициентом.

Оказывается (см. [26]), что wt(·) задает фильтрацию на Λ∗ , которую мы будем называтьвесовой фильтрацией.Нам потребуется следующая формула перехода между системами образующих{pk } и {p#k } (см. [26, Prop 3.7]):no1# 2# 3k+1k+1pk =[u ] (1 + p1 u + p2 u + . . . )+ ...,k+1(2.2.9)где точками обозначены члены веса не более k, а символ [uk ]{A(u)} обозначает коэффициент при uk у степенного ряда A(u).472.32.3.1Формулировка результатаХарактеры и состояния на универсальной обертывающей алгебреВ данном разделе мы рассмотрим другой, более общий, подход к асимптотическомуанализу представлений U (∞).Пусть I — произвольное конечное множество натуральных чисел. Пусть U (I) ={(uij )i,j∈I } — группа унитарных матриц, составленных из элементов, индексы которых лежат в множестве I.Пусть gl(I) = {(gij )i,j∈I } — комплексифицированная алгебра Ли группы U (I),являющаяся алгеброй всех матриц с элементами, проиндексированными множествомI.

Пусть U(gl(I)) — универсальная обертывающая алгебра gl(I), и Z(gl(I)) — еецентр. Обозначим символомU(gl(∞)) :=[U(gl({1, 2, . . . , N }))N ≥1универсальную обертывающую алгебру gl(∞).Пусть D(I) — алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов на U (I)с комплексными коэффициентами. Хорошо известно (см., например, [59]), что существует канонический изоморфизмDI : U(gl(I)) → D(I).Пусть χ — произвольный характер группы U (∞) (см.

раздел 2.2.1), и пусть {xij }— матричные координаты.Определим состояние на U(gl(∞)), задав его значение на любом элементе X ∈U(gl(∞)) формулойhXiχ = DI (X)χ(xij )|xij =δij ,X ∈ U(gl(I)).(2.3.1)Заметим, что это определение согласовано для различных возможных выборов множества I. В конечномерной ситуации формула (2.3.1) дает (нормированный) следобраза X в представлении, отвечающему характеру χ.48Оказывается, вычислению состояния элемента X ∈ Z(gl(I)) можно придать вероятностный смысл.Пусть Sign(I) — копия множества GT|I| , отвечающая I. Будем обозначать координаты сигнатур этого множества, параметризующих неприводимые представлениягруппы U (I), символами λI1 , λI2 , .

. . , λI|I| .Аналогично разделу 2.2.2, ограничение характера χ на группу U (I) и его разложение по нормированным неприводимым характерам порождает вероятностнуюмеру на множестве сигнатур Sign(I).Определим функции pk,I : Sign(I) → R по формулеpk,Ik k|I| X11I=λi − i +− −i +,22i=1k ∈ N.Пусть A(I) — алгебра функций, порожденная набором pk,I . Хорошо известно, чтофункции pk,I при k = 1, 2 . . . , |I| и фиксированном I алгебраически независимы и,таким образом, являются системой образующих алгебры A(I).Известно (см.

например, [45]), что существует канонический изоморфизмZ(gl(I)) → A(I),I ⊂ N,|I| < ∞.Для любого центрального элемента значение отвечающей ему функции на сигнатуреравняется скалярному оператору, которым этот элемент становится на неприводимомпредставлении, параметризованным этой сигнатурой. Несложно убедиться, что значение состояния hXiχ для элемента X ∈ Z(gl(I)) равно математическому ожиданиюсоответствующей элементу X функции из A(I) по вероятностной мере на множествесигнатур Sign(I).Мы будем отождествлять функции из алгебры A(I) и элементы центра Z(gl(I))и использовать для них одни и те же обозначения.Соответствие pk,I → pk и каноническая проекция Λ∗ → Λ∗ (|I|) задает естественный изоморфизм между алгебрами A(I) и Λ∗ (|I|). Пусть p#ρ,I — функции (а такжеэлементы Z(gl(I))), соответствующие p#ρ относительно этого изоморфизма. Крометого, этот изоморфизм определяет весовую фильтрацию на A(I).49Пусть S(gl(I)) — это симметрическая алгебра пространства gl(I).

Пусть Ψ :S(gl(I)) → U(gl(I)) — отображение специальной симметризации, см. статью [34].Пусть {Eij } — базис gl(∞), составленный из матричных единиц, и пусть EI —матрица, составленная из Eij , i, j ∈ I.Рассмотрим p#ρ,I как элементы Z(gl(I)). Оказывается (см. [34]), они могут бытьзаписаны в видеp#ρ,I=Ψktr(EIk1 ) tr(EIk2 ) . . . tr(EI l(ρ) ),ρ = (k1 , k2 , . . .

, kl(ρ) ),kгде мы рассматриваем tr(EIk1 ) tr(EIk2 ) . . . tr(EI l(ρ) ) в качестве элемента S(gl(I)). Изэтого следует (см. [34, уравнение (4)]), что для I ⊆ J выполненоXDJ (p#ρ,I ) =xα1 i1 . . . xαk ik ∂α1 s(1) . . . ∂αk is(k) ,(2.3.2)i1 ,...,ik ∈I;α1 ,...,αk ∈Jгде k = |ρ| и s ∈ S(k) — произвольная перестановка с цикловой структурой ρ. Вдальнейшем формула (2.3.2) будет ключевой для явных вычислений.2.3.2Состояние, отвечающее одностороннему планшерелевскому характеруВ данной статье нас будет интересовать односторонний планшерелевский характер слинейно растущим коэффициентом. Напомним, что этот характер задается формулойχ(U ) = exp γL∞X!(xii − 1) ,(2.3.3)i=1где U = [xij ]i,j≥1 , γ — фиксированное вещественное число, а L — растущий параметр.Будем обозначать символом µγ вероятностную меру на пространстве путей P,отвечающую этому характеру, а символом h·i — соответствующее состояние на универсальной обертывающей алгебре U(gl(∞)).Используя (2.3.1) и (2.3.2), легко вычислить состояние на элементах p#ρ,I :hp#ρ,I il(ρ)= |I||ρ|(γL)=γ|ρ||I|L|ρ|Ll(ρ)+|ρ| .(2.3.4)50Поскольку набор {p#ρ,I } является базисом Z(gl(I)), то из этого следует, что при L →|I|→ const > 0 выполнено∞иLhf i = O(Lwt(f ) ),f ∈ Z(gl(I)).(2.3.5)Этот факт служит мотивировкой рассмотрения весовой фильтрации.2.3.3Основной результатВ этом разделе мы сформулируем основной результат данной работы.Пусть A = {an }n≥1 — произвольная последовательность попарно различных натуральных чисел.

Пусть PA — копия пространства путей, отвечающая этой последовательности. По последовательности A определим функцию высотыHA : R≥0 × R≥1 × PA → Nпо формуле{1,2,...,n}HA (x, y, {λ{a1 ,...,a[y] }где λi√ n{a1 ,...,a[y] }−i+}) = π i ∈ {1, 2, . . . , [y]} : λi12o≥ x ,— координаты сигнатуры длины [y] из бесконечного пути. Снабдив PAвероятностной мерой µγ , мы получим, что HA (x, y, ·) =: HA (x, y) становятся случайными функциями на вероятностном пространстве (PA , µγ ). Пока последовательностьA используется лишь для маркировки вероятностного пространства; эти последовательности начнут играть роль когда мы будем рассматривать совместные распределения нескольких HAi ниже.

В терминах U (∞), выбор последовательности A отвечаетвыбору башниU (1) ⊂ U (2) ⊂ · · · ⊂ U (∞),где U (k) = U ({a1 , a2 , . . . , ak }) состоит из элементов U (∞), которые имеют нетривиальные матричные элементы в строках и столбцах с номерами из {a1 , a2 , . . . , ak }.Ясно, что все такие башни сопряжены, и поэтому всякий характер U (∞) приводитк одной и той же функции высоты вне зависимости от выбора A.51Пусть {Ai }i∈J — семейство последовательностей попарно различных натуральныхчисел, проиндексированное произвольным множеством J. Введем обозначенияAi = {ai,n }n≥1 ,Ai,m = {ai,1 , .

. . , ai,m }.Будем считать, что числа ai,j = ai,j (L) зависят от растущего параметра L.Назовем семейство {Ai }i∈J регулярным, если для любых i, j ∈ J и любых x, y > 0существует предел|Ai,[xL] ∩ Aj,[yL] |.L→∞Lα(i, x; j, y) = lim(2.3.6)Пример регулярного семейства. Пусть J = {1, 2, 3, 4}, и a1,n = n, a2,n = 2n, a3,n =2n + 1 иa4,nn + L,= n − L,n,n = 1, 2, . . . , L,n = L + 1, L + 2, .

. . , 2L,n ≥ 2L + 1.Возьмем множество копий H, проиндексированных множеством J, и рассмотримих объединениеH(I) :=[Hi .i∈IОпределим функцию C : H(J) × H(J) → R ∪ {+∞} по формуле α(i, |z|2 ; j, |w|2 ) − zw 1,Cij (z, w) =ln2π α(i, |z|2 ; j, |w|2 ) − z w̄ i, j ∈ J, z ∈ Hi , w ∈ Hj .Предложение 2.3.1.

Для любого регулярного семейства последовательностей наH(J) существует обобщенный гауссов процесс с ковариационным ядром Cij (z, w).Более подробно, для любого конечного семейства функций fm (z) ∈ C0∞ (Him ) иi1 , . . . , iM ∈ J матрица ковариацийZ Zcov(fk , fl ) =fk (z)fl (w)Cik il (z, w)dzdz̄dwdw̄HH(2.3.7)52положительно определена.Доказательство. См. [8, Предложение 1] .Обозначим полученный гауссов процесс символом G{Ai }i∈J . Ограничение этогопроцесса на одну полуплоскость Hi является гауссовским свободным полем, введенным выше, посколькуz − w1,Cii (z, w) = − ln 2πz − w̄ z, w ∈ Hi ,i ∈ J.Как и в параграфе 2.2.5, “перенесем” функцию HA (x, y) на H — определим функциюHAΩ (z) = HA (Lx(z), Ly(z)),z ∈ H.Как уже упоминалось (см.

теорему 2.2.2), флуктуацииHi (z) := HAΩi (z) − EHAΩi (z),i ∈ J, z ∈ Hi ,(2.3.8)при фиксированном i сходятся к гауссовскому свободному полю. Выбор последовательности Ai здесь не важен, так как подходящим сопряжением перестановочнойматрицей задача сводится к случаю A = N.Основная цель данной работы заключается в изучении совместных флуктуаций(2.3.8) для различных i. Мы будем понимать совместные флуктуации величин Hiследующим образом. Определим момент случайной функции высоты формулойZ∞Mi,y,k :=xk (HAi (Lx, Ly) − EHAi (Lx, Ly))dx.(2.3.9)−∞Оказывается (см. (2.3.10) ниже), что функция Mi,y,k принадлежит алгебре A(Ai,[Ly] )и поэтому этой функции отвечает некоторый элемент из Z(gl(Ai,[Ly] )), см.