Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 7

Применяя теорему Фату(теорема 11 параграфа 4), получаем, что для любого > 0 найдётсятакой номер , что при > справедливо неравенство‖ () − ()‖ 6 ,поэтомуlim ‖ () − ()‖ = 0.→∞Из этого следует, что пространство (), > 1, является банаховым.Определение. Функция, принимающая конечное или счетное число значений, называется простой.

Все различные значения простой функцииможно обозначить как , где = 1, 2, . . . .Определение. Характеристической функцией множества называют функцию{︃1, ∈ ; () =0, ∈/ .Очевидно, что () измерима тогда и только тогда, когда измеримо само множество .Любую простую функцию можно представить в виде () =∞∑︀ (),=1где для каждого из области определения только одно слагаемое отлично от нуля.Лемма 1.

Пусть — измеримое множество, функция () неотрицательна и измерима на . Тогда существует неубывающая последовательность простых функций, всюду сходящаяся к функции (), причем на49множестве конечных значений сходимость равномерна.Введем в рассмотрение множества]︂[︂+1() = 6 () <, = 0, 1, . . .

; = 1, 2, . . . ;22Доказательство.∞ = [ () = +∞].Тогда для любого номера ∈ N[︃ ∞]︃⋃︁ ()=∪ ∞ .=1Рассмотрим последовательность { ()}, где () =2()на .Получаем, что для любого ∈ N0 6 () − () 61,2то есть последовательность { ()} сходится к функции () (причёмна множестве конечных значений эта сходимость будет равномерной, поскольку верхняя оценка разности () и () не зависит от ).Докажем, что последовательность { ()} является неубывающей. Для()этого каждое из множеств представим в виде()(+1)(+1) = 2 ∪ 2+1(︂[︂)︂ [︂)︂ [︂)︂ )︂ +12 2 + 12 + 1 2 + 2;; +1другими словами,= +1 ; +1∪.2 2222+12(+1)Получаем, что на 2+1 () =2= (),2+1(+1)а на 2+12 + 11=()+.2+12+1Следовательно, последовательность { ()} — неубывающая.+1 () =50Замечание.

В терминах доказанной теоремы рассмотрим последовательность {˜ ()}, где{︃, () > ;˜ () = (), () 6 .Все ˜ () являются простыми функциями, последовательность {˜ ()}сходится к () при → ∞. При этом функции ˜ () принимают лишьконечное число значений.Пусть E — ограниченное измеримое множество, > 1. Тогдапространство непрерывных функций () всюду плотно в пространстве (), то есть для любого > 0 и любой функции () ∈ () найдётсяфункция () ∈ () такая, чтоТеорема 2.‖ () − ()‖ () < .Доказательство. Не ограничивая общности, считаем, что функция ()всюду конечна (так как () ∈ (), множество, на котором она принимает бесконечные значения, имеет меру 0) и неотрицательна (обобщитьтеорему можно, используя неотрицательные функции + () и − ()).Тогда в силу леммы 1 существует последовательность простых функций{ ()}, всюду равномерно сходящаяся к функции () и неубывающая,причём все () 6 ().

Следовательно, по теореме Леви для любого > 0 найдётся номер 0 такой, что для всех > 0 справедливо неравенство ‖ () − ()‖ < . При этом функции () принимают лишьконечное число значений.Другими словами, функцию () можно с любой точностью приблизитьпростой функцией 0 (), принимающей лишь конечное число значений,то есть имеющей вид () =∑︁ ().=1Следовательно, для доказательства теоремы достаточно доказать, чтодля любого > 0 и любой функции () ∈ () найдётся функция() ∈ () такая, что‖0 () − ()‖ < (тогда в силу ‖0 () − ()‖ < справедливо и ‖ () − ()‖ < 2).51В силу следствия из теоремы 4 параграфа 2 и измеримости множества для любого > 0 найдётся замкнутое множество ⊂ такое, что| ∖ | < .

Тогда⎞ 1⎛∫︁1⎟1 ⎠ = | ∖ | < .⎜‖ () − ()‖ = ⎝ ∖Введём функцию расстояния между точкой и множеством : () = (, ) = inf (, ).∈()Теперь рассмотрим последовательность функций { } следующего вида:{︃1, ∈ ;1() () ==11 + (), ∈/ .1+ ()()Очевидно, () → () при → ∞. В силу теоремы Леви для любого > 0 найдётся номер такой, что при всех > ()‖ () − ()‖ < .()Кроме того, все функции () являются непрерывными (так как непрерывны функции расстояния ()), поэтому непрерывной будут функции (), а также функция() =∑︁() ().=1Тогда⃦ ⃦⃦∑︁⃦⃦⃦()‖0 () − ()‖ = ⃦ ( − ())⃦ =⃦⃦=1⃦⃦ [︂]︂⃦∑︁⃦∑︁⃦⃦()()=⃦ ( − + − )⃦ 6| | ‖ − ‖ +‖ − ‖ 6⃦⃦=16=1∑︁2| | < при <=1Теорема доказана.522+1 ||.Замечание. Рассмотренные в теореме функции ()рывными на всем пространстве R .являются непре-Теорема 3 (о непрерывности в метрике ).

Пусть — ограниченное измеримое множество. Тогда для любой функции () ∈ () илюбого > 0 найдется число > 0 такое, что при |ℎ| < справедливонеравенство ‖ ( + ℎ) − ()‖ () < , где функция () продолжена вне тождественным нулем.В силу того, что множество ограничено, существует шар () (радиуса и с центром в начале координат), содержащий ( ⊂ ()).Доказательство.Рассмотрим множество 1 = (+1). Если ∈ , а |ℎ| < 1, то +ℎ ∈ 1 .В силу теоремы 2 для любой функции () ∈ () и любого > 0существует функция () ∈ () такая, что ‖ () − ()‖ (1 ) < .Тогда‖ ( + ℎ) − ()‖ () 66 ‖ ( + ℎ) − ( + ℎ)‖ () + ‖( + ℎ) − ()‖ () + ‖ () − ()‖ () 66 2‖ () − ()‖ (1 ) + ‖( + ℎ) − ()‖(1 ) < 2 + = 3.Теорема доказана.§6. Метрические и нормированные пространстваОпределение 1. Множество называется метрическим пространесли каждой паре (, ) элементов этого множества поставлено всоответствие неотрицательное число (, ) (называемое метрикой илирасстоянием между элементами и ), удовлетворяющее следующимусловиям (аксиомам ):ством,1.

(, ) = (, )2. (, ) = 0 ⇔ = 3. (, ) 6 (, ) + (, ) (так называемая аксиома треугольника )Определение 2. Элемент метрического пространства называется пределом последовательности { } (обозначается = lim ), если→∞53(, ) → 0 при → ∞.Последовательность { } элементов метрического пространства называется фундаментальной, если для любого > 0 найдётся номер 0 ()такой, что при , > 0 ( , ) < (другими словами, ( , ) →0 при → ∞ и → ∞).Последовательности в метрическом пространстве обладают следующимисвойствами:1. → ⇒ → (очевидно).2. → , → ⇒ = .Для доказательства достаточно заметить, что в силу аксиомы 3(, ) 6 (, ) + (, ).

→ , → , поэтому при → ∞(, ) → 0 и (, ) → 0. Следовательно, (, ) = 0, то есть = .3. → ⇒ ( , ) 6 ∀.Опять же, в силу аксиомы треугольника для любого верно неравенство ( , ) 6 ( , ) + (, ) 6 + (, ) = .Введём следующие обозначения:∙Шаром с центром в точке и радиусом называется множествоточек (, ) = {(, ) < };∙Замкнутым шаром с центром в точкемножество точек (, ) = {(, ) 6 };∙Окрестностью точкии радиусом называется называется любой шар (, );∙ Множество называется ограниченным, если оно содержится в какомлибо шаре;∙ В метрическом пространстве точка называется предельнойточкой множества ( ⊂ ), если в любой окрестности точки содержится хотя бы одна точка множества , отличная от ,то есть если ∀ (, ) ∩ { ∖ } ≠ ∅;∙множества называется множество, полученное присоединением к всех его предельных точек;Замыканием∙ Множество называется замкнутым, если оно совпадает со своимзамыканием ( = );54∙ Множество называетсяние { = ∖ ;открытым,если замкнуто его дополне-∙ Множество называется всюду плотным в метрическом пространстве , если = ;∙ Множество называется нигде не плотным в метрическом пространстве , если любой шар пространства содержит в себешар без точек множества .Пример.

Рассмотрим на множестве действительных чисел следующуюметрику:{︃1, ̸= ,(, ) =0, = .В таком метрическом пространстве ни одно множество не будет иметьпредельных точек, поэтому любое множество будет одновременно и замкнутым, и открытым.Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом .Рассмотрим множество всех числовых последовательностей веществен∞∑︀ных чисел = (1 , 2 , . . .

) таких, что| | < +∞ ( > 1). Для его=1элементов = (1 , 2 , . . . ) и = (1 , 2 , . . . ) определим расстояние поформуле(︃ ∞)︃ 1∑︁. (, ) =| − |=1Эта метрика удовлетворяет трём аксиомам метрического пространства.Полученное пространство называется пространством .Утверждение.

— полное пространство.Доказательство. Рассмотрим в произвольную фундаментальную по()()следовательность { }, где = (1 , 2 , . . . ):∀ > 0 ∃ = () : ∀, > ( , ) =(︃ ∞∑︁=155)︃ 1()|() − |<Получаем, что∞∑︁()|() − | < ()⇒|() | < − ⇒()|()− | < .=1()А это означает, что последовательность { } сходится к некоторому .Поэтому последовательность { } сходится к некоторому = (1 , 2 , . . . ).Докажем, что ∈ .Так как∞∑︁()|() | < ,− =1то для любого числа будет верно неравенство∑︁()|() | < .− =1Устремляя к бесконечности сначала , а затем , а также возводя неравенство в степень 1 , получаем неравенство∞ (︁∑︁| −() |)︁ 1< .=1Таким образом, при любом ( − ) ∈ .

Кроме того, сами такжеявляются элементами Рассмотрим два числа, и . Очевидно, что |+| 6 ||+||. Если || > ||,то| + | 6 2|| ⇒ | + | 6 2 || 6 2 (|| + || ).Если же || 6 ||, то| + | 6 2||| + | 6 2 || 6 2 (|| + || ).⇒Таким образом, неравенство | + | 6 2 (|| + || ) выполняется всегда.()()Положим = − , = , = . Получаем, что(︃∞∑︁)︃ 1| |=∞∑︁)︃ 1()| − ()+ |6=1=16(︃(︃ ∞∑︁)︃ 1(︀()() )︀2 | − | + | |=2=1(︃ ∞∑︁=156()| − | +∞∑︁=1)︃ 1()| |.∞∑︀Теперь применим то же самое неравенство для =∞∑︀()| − | , ==1()| | ,=1(︃∞∑︁ = 1 :)︃ 1| |(︃62=1∞∑︁()| − | +∞∑︁=1)︃ 1()| |6=1⎛(︃16 21+ ⎝∞∑︁)︃ 1()| − |+(︃ ∞∑︁=1)︃ 1 ⎞()| |⎠.=1В силу того, что ( − ) и являются элементами , справедливынеравенства(︃ ∞∑︁)︃ 1()| − |(︃< +∞,=1∞∑︁)︃ 1()| |< +∞.=1Но тогда справедливо и неравенство(︃ ∞∑︁)︃ 1| |< +∞,=1а оно означает, что ∈ .Теорема 1 (о вложенных шарах).

Пусть в полном метрическом про-странстве имеется последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю:1 (1 , 1 ) ⊃ 2 (2 , 2 ) ⊃ . . . , → 0 при → ∞.Тогда существует одна и только одна точка, принадлежащая всем этимшарам.Рассмотрим последовательность { } центров этихшаров. Так как + ⊂ , то + ∈ . Следовательно, (+ , ) < и поэтому стремится к нулю при → ∞. Это означает, что последовательность { } является фундаментальной.

Так как по условию задачирассматриваемое метрическое пространство является полным, то { }сходится к некоторому элементу этого же пространства.Доказательство.Возьмём любой шар . Тогда точки , +1 , . . . принадлежат .Так как шар по условию замкнут, предел последовательности { }∞=57также принадлежит . Следовательно, предел последовательности{ }∞=1 принадлежит всем шарам.Допустим, что существует точка , принадлежащая всем шарам и отличная от (то есть (, ) = > 0). Так как , ∈ ∀, то справедливонеравенство = (, ) 6 (, ) + ( , ) 6 2 → 0 при → ∞.Мы получили противоречие; следовательно, всем шарам принадлежиттолько одна точка.

Определение 4. Множество метрического пространства называ-ется множеством 1-й категории, если его можно представить в виде неболее чем счётного объединения нигде не плотных множеств. Множество,не являющееся множеством 1-й категории, называется множеством 2-йкатегории.Множество рациональных точек на R является множеством 1-й категории, множество иррациональных точек — множеством 2-й категории.Полное метрическое пространство является множеством 2-й категории.Пусть это не так.

Тогда рассматриваемое простран∞⋃︀ство представимо в виде = , где множества , = 1, 2, . . .=1нигде не плотны.Теорема 2 (теорема Бэра о категориях).Доказательство.Рассмотрим шар (, 1), где — произвольная точка пространства. Таккак множество 1 нигде не плотно, то внутри шара (, 1) найдётсяподшар 1 (1 , 1 ) радиуса 1 < 1, не содержащий точек 1 . Так как множество 2 нигде не плотно, то внутри шара 1 (1 , 1 ) найдётся подшар2 (2 , 2 ) радиуса 2 < 12 , не содержащий точек 2 . Проводя аналогичные рассуждения дальше, получим последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга:1 (1 , 1 ) ⊃ 2 (2 , 2 ) ⊃ .