Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 5

Заметим, что функция срезки () является ограниченной, поэтому в силупункта а)∫︁∞ ∫︁∞ ∫︁∑︁∑︁ () = () 6 ().=1 =1 Переходя в этом неравенстве к пределу при → ∞, получим∫︁ () 6∞ ∫︁∑︁ ().=1 С другой стороны, для любого номера ∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ () >=1 ∫︁∑︁ ().=1 Последовательно переходя к пределу сначала при → ∞, а затем при → ∞, получим неравенство∫︁ >∞ ∫︁∑︁ ()=1 Из двух полученных нами неравенств следует, что∫︁ =∞ ∫︁∑︁ (),=1 что и доказывает правильность утверждения 1.31Правильность утверждения 2 следует из неравенства для функции ():∫︁ () =∞ ∫︁∑︁ () 6=1 ∞ ∫︁∑︁ ().=1 Так как ряд в правой части этого неравенства сходится, функция ()будет являться суммируемой на множестве , а следовательно, для неёбудет выполняться равенство (*).

Теорема 4 (об абсолютной непрерывности интеграла Лебега).Пусть || < +∞, () — неотрицательная, интегрируемая на множестве по Лебегу функция. Тогда для любого > 0 найдётся число > 0такое, что для любого подмножества ⊂ , || < , будет выполнятьсянеравенство∫︁ () < .Доказательство.а) Сначала проведём доказательство в случае, когда функция () ограничена, то есть существует константа такая, что | ()| 6 всюду на . Тогда∫︁∫︁. () 6 = || < < при <б) Пусть теперь () — произвольная неотрицательная, интегрируемаяна функция. В силу интегрируемости для любого > 0 найдётся число = () такое, что∫︁( () − ()) < .2Но тогда∫︁∫︁∫︁ () = ( () − ()) + () << +2∫︁ = + || < + < 22Теорема доказана.32при <.2 ()Теорема 5. Пусть множество имеет конечную меру,функция ()∫︀неотрицательна и интегрируема по Лебегу на , а () = 0.

Тогдафункция () эквивалентна тождественному нулю (то есть множество,на котором () ̸= 0, имеет меру 0).Для любого > 0 положим = [ > ]. Тогда∫︁∫︁ () > () > | |.Доказательство.Следовательно, для любого > 0∫︁1| | 6 () = 0⇒| | = 0.Заметим, что∞⋃︁[︂1 >[ > 0] ==1]︂Поэтому]︂⃒∞ ⃒ [︂∑︁⃒⃒1⃒=0⃒ >|[ () > 0]| 6⃒⃒=1Теорема доказана.⇒|[ () > 0]| = 0.Теорема 6. Пусть множество имеет конечную меру, () и () —12неотрицательные, измеримые на функции и 1 () > 2 (). Тогда, еслифункция 1 интегрируема по Лебегу на , то и 2 интегрируема по Лебегуна и∫︁∫︁2 () 6 1 ()Доказательство.

Заметим, что∫︁∫︁2 () 6∫︁1 () 61 ().Интеграл в левой части неравенства является неубывающим по , поэтому функция 2 () интегрируема на . Справедливость неравенства∫︁∫︁2 () 6 1 ()напрямую следует из свойства 5.334.3. Интеграл Лебега для неограниченной функциилюбого знакаРассматриваем измеримое множество конечной меры и измеримуюфункцию (), не являющуюся, вообще говоря, ограниченной на множестве и принимающую на этом множестве значения любых знаков.Введём в рассмотрение две неотрицательные функции1 − () = (| ()| − ()).21 + () = (| ()| + ()),2Очевидно, что + () + − () = | ()|, + () − − () = ().Определение 1. Функция () называется интегрируемой на множестве , если на этом множестве интегрируемы функции + (), − ().При этом интегралом Лебега от функции () по множеству называется∫︁∫︁∫︁+ () = − − .Совокупность всех интегрируемых на множестве функций обозначаютсимволом () или 1 (). Запись () ∈ () ( () ∈ 1 ()) означает,что функция () измерима и интегрируема на множестве .Утверждение.

Измеримая на множестве функция () интегрируемана тогда и только тогда, когда функция | ()| интегрируема на этоммножестве.Доказательство.Необходимость: () ∈ ()⇒ + (), − () ∈ ()⇒ + ()+ − () = | ()| ∈ ().Достаточность: пусть функция | ()| ∈ (). Так как функции + () <| ()| и − () < | ()|, то в силу теоремы 6 пункта 4.3 + (), − () ∈(). Следовательно, + () − − () = () ∈ (). Пример.

Рассмотрим функцию () =вестно,∫︀10sin sin сходится условно. Поэтому∫︀на множестве [0, 1]. Как из-| ()| не существует. Сле-довательно, функция () не интегрируема по Лебегу на множестве .34Для неограниченных интегрируемых функций произвольного знака справедливы свойства 2–5, установленные в пункте 4.1 для ограниченныхнеотрицательных интегрируемых функций (доказательства проводятсяаналогично, с использованием функций + () и − (), которые являются неотрицательными, и для которых свойства 2-5 тоже верны).Теорема 7 (о полной аддитивности). Пусть множество представи∞⋃︀мо в виде = , множества измеримы и ∩ = ∅ при ̸= .=1Тогда справедливы следующие два утверждения:1.

Если () интегрируема на множестве , то () интегрируема ина каждом из множеств , причём справедливо равенство∫︁∞ ∫︁∑︁ ().(*) () ==1 2. Если функция () измерима и интегрируема на каждом из мно∞ ∫︀∑︀| ()|, то () интегрируема на жеств и сходится ряд=1 и выполняеся равенство (*).Доказательство. Если функция () интегрируема на множестве ,то по определению неотрицательные функции + () и − () также интегрируемы на , а следовательно, к ним применима теорема 3. Поэтомуфункции + () и − () являются интегрируемыми на каждом из множеств и для них справедливы равенства∫︁∫︁∞ ∫︁∞ ∫︁∑︁∑︁++− () = (), () = − ().=1 =1 Тогда по определению функция () интегрируема на каждом из множеств и справедливо равенство∫︁∫︁∫︁+ () = − − ==∞ ∫︁∑︁+ () −=1 ∞ ∫︁∑︁ − () ==1 =∞ ∫︁∑︁+−( () − ()) ==1 35∞ ∫︁∑︁=1 ().Таким образом, мы доказали справедливость первой части теоремы.Докажем вторую часть теоремы.

Так как функция () измерима и интегрируема на каждом из множеств , то в силу доказанного выше утверждения функция | ()| также интегрируема на каждом из множеств .∞ ∫︀∑︀| ()| сходится, для функции | ()| спраТогда, поскольку ряд=1 ведливо второе утверждение теоремы 3. Следовательно, | ()| интегрируема на всём множестве . Тогда в силу доказанного выше утвержденияи функция () интегрируема на всём , а следовательно, справедливоравенство (*). Теорема 8 (об абсолютной непрерывности). Если функция ()интегрируема на множестве , то для любого > 0 найдётся число > 0такое, что для любого измеримого подмножества ⊂ , || < , будетвыполняться неравенство⃒⃒⃒∫︁⃒⃒⃒⃒ ()⃒ < .⃒⃒⃒⃒Доказательство. Так как функция () интегрируема на множестве , неотрицательная функция | ()| также интегрируема∫︀на .

Тогда к| ()| применима теорема 4 и справедливо неравенство | ()| < .Следовательно,⃒⃒⃒∫︁⃒ ∫︁⃒⃒⃒ ()⃒ 6 | ()| < . ⃒⃒⃒⃒Определение 2. Говорят, что последовательность интегрируемых намножестве функций { ()} сходится к интегрируемой на функции () в (), если∫︁lim| () − ()| = 0.→∞Замечание 1. Из определения непосредственно следует, что∫︁lim () =→∞Замечание 2.∫︁ (). (**)Если последовательность измеримых и интегрируемых намножестве функций { ()} сходится к измеримой и интегрируемой36на функции () в (), то { ()} сходится к () и по мере на .Для любого > 0 положимДоказательство. = [| () − ()| > ].Тогда∫︁∫︁| () − ()| > | |.| () − ()| >Следовательно, | | → 0 при → ∞, что и означает сходимость { ()}к () по мере на . Пример.

Рассмотрим последовательность { ()}, где () =⎧⎪⎪⎪⎨,⎪⎪⎪⎩0,[︂]︂1если ∈ 0,]︂(︂1,1 .если ∈Поскольку lim |[| () − 0| > ]| = 0, то { ()} сходится к () ≡ 0 по→∞мере на множестве = [0, 1]. С другой стороны,∫︁∫︁∀ () = 1,0 = 0,поэтому сходимости { ()} к () ≡ 0 в () нет. Однако при некоторых дополнительных условиях из сходимости по мере на всё-такиследует сходимость в (), что доказывает следующая теорема.Теорема 9 (теорема Лебега).

Если последовательность измеримыхна множестве функций { ()} сходится к измеримой на функции () по мере на и существует интегрируемая на множестве функция () такая, что для всех номеров и почти всех точек множества справедливо неравенство | ()| 6 (), то последовательность { ()}сходится к функции () в ().В силу теоремы 6 параграфа 3 из последовательности{ ()} можно выделить подпоследовательность { ()} ( = 1, 2, . . . ),сходящуюся к () почти всюду на . Тогда, переходя в неравенстве| ()| 6 () к пределу при → ∞, получим, что для почти всех точек справедливо неравенство | ()| 6 (). Значит, почти всюду на справедливо и неравенство () 6 (), а следовательно, в силу теоремыДоказательство.376 функция () интегрируема на множестве .Для произвольного > 0 положим = [| () − ()| > ].Тогда∫︁| () − ()| =∫︁∫︁| () − ()| +=| () − ()| 6∖∫︁2 () + ||.6Последовательность { ()} сходится к () по мере на , поэтому | | →0 при → ∞.

Значит, в силу теоремы 8 для любого > 0⃒⃒⃒∫︁⃒⃒⃒⃒ ()⃒ < при → ∞,⃒⃒⃒⃒ () = 0. Второе слагаемое также можно устремить к∫︀0 в силу произвольности . Таким образом, | () − ()| → 0 прито есть lim∫︀→∞ → 0 и → ∞. Из этого следует, что последовательность { ()} сходится к функции () в (). Следствие. Если последовательность измеримых на множестве функ-ций { ()} сходится к функции () почти всюду на и существует интегрируемая на множестве функция () такая, что для всехномеров и почти всех точек множества справедливо неравенство| ()| 6 (), то функция () суммируема на и справедливо равенство (**).Так как последовательность измеримых функций { ()}сходится к () почти всюду на , то в силу теоремы 4 параграфа 3функция () также будет измерима на .

Следовательно, по теореме5 параграфа 3 из сходимости { ()} к () почти всюду на следует сходимость { ()} к () по мере на . Но тогда в силу теоремы 9функция () суммируема на , { ()} сходится к () по мере на иДоказательство.38выполняется требуемое равенство (**).Теорема 10 (теорема Леви). Пусть { ()} - последовательность измеримых и интегрируемых на множестве функций, и пусть для всехномеров и для почти всех точек множества справедливо неравенство () 6 +1 (). Пусть существует⃒ такая, что для всех⃒ константа⃒⃒∫︀номеров справедливо неравенство ⃒⃒ ()⃒⃒ 6 . Тогда для почтивсех точек ∈ существует конечный предел lim () = (), причём→∞предельная функция () суммируема на множестве и справедливоравенство (**).Не ограничивая общности, будем считать, что все () > 0 почти всюду на (в противном случае вместо функций ()можно рассматривать функции () = () − 1 (), которые по условию будут являться неотрицательными для почти всех точек ).Доказательство.Так как последовательность { ()} почти всюду на не убывает, топочти во всех точках определена предельная функция (), котораяпринимает в этих точках либо конечные значения, либо равна = ∞.

Еслимы докажем, что () интегрируема на , то из этого будет следовать,что () является конечной почти всюду на , а следовательно, почтивсюду на будет существовать конечный предел lim () = () и вы→∞полняться равенство (**).Итак, для доказательства теоремы достаточно установить интегрируемость предельной функции () на множестве .Заметим, что для любого > 0 последовательность {( ) ()} почтивсюду на сходится к функции ( ) (), причём для всех номеров ипочти всех точек справедливо неравенство ( ) () 6 ( ) ().

Крометого, функция ( ) () является измеримой и ограниченной, а следовательно, и интегрируемой на множестве . Поэтому применимо следствиеиз теоремы 9, в силу которого∫︁∫︁lim ( ) () = ( ) ().→∞Из этого соотношения и очевидного неравенства∫︁∫︁ () > ( ) ()39заключаем, что∫︁∫︁( ) (). () >lim→∞Кроме того, по условию существует такая константа , что для всехномеров ∫︁ () 6 .Следовательно, и∫︁( ) () 6 .Интеграл в левой части этого неравенства является неубывающим по ,поэтому существует конечный предел∫︁lim( ) () = (), →∞а это и означает, что функция () интегрируема на множестве .Следствие (формулировка теоремы Леви в терминах функциональных рядов).