Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 14

Если = 0, то∑︁(, ) =(, )( , ) = (, ) = 0.=1107Из последнего соотношения получаем, что все коэффициенты Фурье разложения элемента по базису { } равны нулю, поэтому = 0 и одновременно выполнено ⊥ ker и ∈ ker . Следовательно, = 0.Таким образом, если = 0, то = 0. По второй теореме Фредгольма вэтом случае существует решение уравнения = −∑︁(, ) = +1 .=1Умножив скалярно обе части на +1 , получим 0 = 1 (так как ker * =(Im )⊥ и в силу того, что { } — ортонормированная система). Следовательно, 6 .Аналогичным образом рассматривая случай > , получим 6 .

Следовательно, = . §14. Спектральная теория в бесконечномерном пространстве.Рассмотрим линейный ограниченный оператор , действующий из банахова пространства в банахово пространство : ∈ ( → ). Если ∈ ( → ), то для произвольного ∈ C можем определить оператор − .Определение 1.

Число ∈ C называется регулярным значением оператора , если оператор = ( −)−1 определен на всем пространстве .При этом оператор будет являться ограниченным (по теореме Банаха).Определение 2. Множество всех регулярных значений оператора называется резольвентным множеством оператора :() = { ∈ C | (( − )−1 ) = }.Определение 3. Спектром оператора называется множество всехкомплексных чисел, не являющихся регулярными значениями :() = C ∖ ().Если выполнены следующие условия:1081. ker( − ) = 02.

Im( − ) = ,то будет регулярным значением .Определение 4. Если ker( − ) ̸= 0, то называется собственнымзначениемоператора .Элемент ̸= 0,ным элементом ∈ ker( − ) называется в таком случаеоператора .собствен-Спектр в бесконечномерном пространстве может состоять не только изсобственных значений. В доказательство можно привести следующийРассмотрим оператор (()) = (), действующий в пространстве [0; 1]. Для него верны следующие соотношения:Пример.( − )() = ( − )();().−Допустим, () ∈ ker( − ), тогда ( − )() ≡ 0. Cледовательно,() ≡ 0. Это означает, что у оператора нет ни одного собственногозначения.( − )−1 () =Посмотрим на спектр оператора . Если оператор ( − )−1 существует, то он имеет вид, указанный выше. Поэтому при любых ∈ R ∖ [0; 1]он определен на всем пространстве.

Следовательно, спектром оператораявляется отрезок () = [0; 1]. При этом, как уже было показано выше, не имеет ни одного собственного значения. По определению спектра, если резольвентное множество открыто, тоспектр будет являться замкнутым множеством.Теорема 1 (Гильберта - Шмидта). Пусть — самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве .Если является вполне непрерывным, то любой элемент ∈ Im представим в виде∑︁=(, ) , ̸=0где { } — собственные значения оператора , а { } — соответствующиеим собственные элементы.109.