Конспекты курса по функциональному анализу 2008 (1135040), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

ограничено;2. равностепенно непрерывно.Соответственно, множество ⊂ () ( — ограниченное и замкнутое)компактно⇕1. ∃ > 0 :|()| 6 ,∀() ∈ ;2. ∀() ∈ , ∀ > 0 существует () > 0 такое, что∀′ , ′′ ∈ ,|′ − ′′ | < ()99⇒|(′ ) − (′′ )| < .Множество ⊂ () ( — замкнутое и ограниченное, > 1) компактно⇕1. ∃ > 0 :‖()‖ () 6 2. ∀() ∈ ,∀ > 0 существует () > 0 такое, что∀ℎ,|ℎ| < для всех⇒() ∈ ;‖( + ℎ) − ()‖ () < (функция () продолжена вне тождественным нулем).Пример. Рассмотрим следующий оператор, действующий в пространстве [; ]:∫︁(, )(),() =где (, ) ∈ [, ] × [, ] — непрерывное ядро. Этот оператор является вполне непрерывным (на основании критерия компактности непосредственно проверяется, что образ любого ограниченного подмножества ⊂ [; ] является компактным).Лемма 1.

Если последовательность { } в банаховом пространстве является слабо сходящейся и компактной, то она является сильно сходящейся.Пусть последовательность { } слабо сходится к ∈ . Предположим, она не является сильно сходящейся, тогда найдутсятакие > 0 и подпоследовательность { }, что для любого номера будет верно‖ − ‖ > .Доказательство.Так как исходная последовательность компактна, из последовательности{ } можно выделить сильно сходящуюся подпоследовательность → .Из сильной сходимости вытекает слабая:сл.

−→ .Но если слабый предел существует, то он определен однозначно; следовательно, = . Тогда, с одной стороны, → ,100а с другой стороны,‖ − ‖ > ,Получили противоречие.∀ .Лемма 2. Пусть и — банаховы пространства, — вполне непрерывный оператор, действующий из в .

Тогда он любую слабо сходящуюся последовательность переводит в сильно сходящуюся последовательность:сл. −→ ⇒ → .Доказательство. Пусть последовательность { } элементов пространства слабо сходится к ∈ . Рассмотрим произвольный линейныйфункционал () ∈ * :() = () ∈ * .По определению слабой сходимости( ) → ()⇒сл. −→ .По условию вполне непрерывен, но так как , — банаховы, он является и просто непрерывным. Последовательность { } ограничена всилу слабой сходимости, поэтому оператор переводит ее в компактную последовательность { }.

Тогда { } — компактная и сходитсяслабо ⇒ по лемме 1 она является сильно сходящейся. Лемма 3. Пусть — вполне непрерывный оператор, действующий из в , где — сепарабельное гильбертово пространство. Тогда сопряженный оператор * также вполне непрерывен.Пусть последовательность { } элементов пространства слабо сходится к ∈ . Тогда справедливы следующие соотношения:Доказательство.‖* ( − )‖2 = (* − * , * − * ) == ( − , * ( − )) 6 ‖ − ‖‖* ( − )‖.Последовательность { } сходится слабо, поэтому она ограничена. Следовательно, ‖ − ‖ 6 для некоторого > 0.Так как вполне непрерывен, он ограничен:⃦⃦⃦ ⃦⃦⃦⃦ ‖‖ ⃦ 6 ⇒ ‖‖ 6 ‖‖,101∀ ̸= 0(образ ограниченного множества является компактом, следовательно, онявляется ограниченным множеством.) Тогда * является ограниченным(по теореме 1 параграфа 11), а * — вполне непрерывным оператором(как произведение вполне непрерывного и ограниченного).

Следовательно,‖* ( − )‖ → 0, → ∞.Поэтому ‖* − * ‖ → 0, → ∞. Таким образом, оператор * любуюслабо сходящуюся последовательность переводит в сильно сходящуюся.Для любого ограниченного множества ⊂ рассмотрим его образ ′при действии оператора * : ′ = { ∈ | = * , ∈ }.Произвольная последовательность элементов множества ′ имеет вид{* }. Последовательность { } ограничена, и по теореме 7 параграфа 10 из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность{ }, которую оператор * переводит в {* } - сильно сходящуюсяпоследовательность.

Таким образом, из любой последовательности элементов ′ можно выделить сильно сходящуюся подпоследовательность,но тогда ′ — компактное множество по определению, и * являетсянепрерывным оператором. Так как мы рассматриваем гильбертово пространство, * является и вполне непрерывным. Теорема 1. Для того, чтобы линейный и ограниченный оператор ,действующий в гильбертовом пространстве, был вполне непрерывным,необходимо и достаточно, чтобы он любую слабо сходящуюся последовательность переводил в сильно сходящуюся последовательность.§13.

Теория Фредгольма.Ранее (см. параграф 6) с помощью аппарата сжатых отображений доказывалось утверждение о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода∫︁() = (, )() + (), (, ) ∈ 2 ((; ) × (; )), () ∈ 2 (; )102при достаточно малых значениях . Однако в случае∫︁() − (, )() = ()этот метод не дает результата. Нужен другой подход.Пусть — вполне непрерывный оператор, действующий в гильбертовомпространстве .

Будем искать решения уравнения = , = − , ∈ , ∈ .Очевидно, * = − * .Лемма 1. Im = Im .Доказательство. Пусть есть последовательность { }, сходящаяся кнекоторому элементу пространства: ∈ Im , → , → ∞.Надо доказать, что ∈ Im . Заметим также, что = − = ,и рассмотрим последовательность { }.Если существует подпоследовательность { } такая, что ∈ ker длялюбого , то в силу замкнутости ядра = = 0 → = 0 ∈ Im .Поэтому мы можем считать, что, начиная с некоторого номера , все ортогональны ядру .

Таким образом, достаточно рассмотреть последовательность { }, в которой∀ ⊥ ker .Докажем, что последовательность { } ограничена, то есть ‖ ‖ 6 для некоторого положительного . Допустим, что это неверно; тогдаможно выделить подпоследовательность, стремящуюся к бесконечности:‖′ ‖ → ∞. В этом случае‖′ − ′ ‖‖′ ‖=→ 0 при → ∞,‖′ ‖‖′ ‖поскольку все ‖′ ‖ ограничены (так как последовательность {′ } сходится).103 — вполне непрерывный оператор, поэтому ограниченную последова′′тельность ′ он переводит в компактную ′ , в которой существует‖ ‖‖ ‖′′сходящаяся подпоследовательность. Так как последовательности‖′′ ‖′′ − ′′,‖′′ ‖′′‖′′ ‖сходятся, то будет сходиться и последовательность′′:‖′′‖′′→ при → ∞.‖′′ ‖ =При этом ‖ ‖ = 1 для любого , поэтому ‖‖ = 1.

По определениюпоследовательности { } → 0, ⊥ ker ,но в силу непрерывности → , → ∞.Поэтому = 0 и ∈ ker , но по построению ⊥ ker (так как (ker )⊥замкнуто), откуда = 0. Получили противоречие с ‖‖ = 1.Полученное противоречие доказывает, что { } ограничена. Следовательно, переводит ее в компактную, из которой можно выделить сходящуюся подпоследовательность ˜ . Но последовательность˜ = ˜ − ˜также сходится как подпоследовательность сходящейся { }. Поэтомупоследовательность ˜ сходится к некоторому элементу ∈ , но тогдав силу непрерывности оператора верно ˜ → , → ∞. Получаем, что = − = .

Лемма 2. Пространство разложимо в прямую сумму = Im ⊕ ker * .Замечание. Или, что то же самое, = Im * ⊕ .104Доказательство следует из леммы 1 и теоремы 2 параграфа 11, в силукоторой = Im ⊕ ker *для любого линейного ограниченного оператора .Теорема 1 (первая теорема Фредгольма). Для того, чтобы опера-торное уравнение = было разрешимо, необходимо и достаточно,чтобы был ортогонален ядру сопряженного оператора: ⊥ , * = 0 ∀.Доказательство. Данное утверждение является прямым следствиемлеммы 2.ОбозначимIm = 1 , . . .

, Im = .Очевидно, выполнено соотношение = 0 ⊇ 1 ⊇ . . ..Лемма 2. Существует такой номер , что = .Доказательство. Предположим, что такого номера не существует.−1По лемме 1 образ оператора — замкнутое множество, поэтому оноявляется подпространством. Применим теорему Леви: = 1 ⊕ ( 1 )⊥ .Тогда существует элемент 1 ∈ ( 1 )⊥ такой, что ‖1 ‖ = 1 (иначе = 1 , = 1). Применим теорему Леви для 1 : 1 = 2 ⊕ ( 2 )⊥ .Аналогично предыдущему случаю, существует элемент 2 ∈ ( 2 )⊥ , ‖2 ‖ =1, причем 1 ⊥ 2 .Так как по предположению не существует номера , при котором наступает стабилизация, продолжая этот процесс по всем , = 1, 2, .

. .,получим счетную ортонормированную систему.Рассмотрим теперь два элемента полученной системы и , где > .Справедливо равенство − = − − + ,105из которого следует, что − = − −( − ), ∈ ( +1 )⊥ , − −( − ) ∈ +1 .Это означает, что‖ − ‖2 = ‖ ‖2 + ‖ − − ( − )‖2 > ‖ ‖2 = 1,поэтому из последовательности { } нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность. Но это противоречит тому, что является вполненепрерывным оператором. Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение. Лемма 4.

Если ядро оператора не содержит отличного от нуля элемента, то его образ совпадает со всем пространством:ker = 0⇒Im = .Доказательство. Предположим обратное. Пусть Im = ̸ , тогда=существует элемент 0 ∈ ∖ . По лемме 3, существует номер , такойчто = +1 . Следовательно,11 0 ∈ и∃ ∈ ,+1 = 0 .Тогда справедлива цепочка равенств = −1 0 ,−1 = −2 0 ,..., = 0 .Получили 0 ∈ 1 , что противоречит изначальному предположению0 ∈ ∖ 1 . Замечание.

Аналогично доказывается, что ker = 0 ⇒ Im = .Лемма 5. Если образ оператора совпадает со всем пространством, его**ядро содержит только нулевой элемент:Im = ⇒ker = 0.Доказательство. По лемме 2 представимо в виде = Im ⊕ ker * .Из этого разложения следует, что ker * = 0. Cледовательно, по лемме 4Im * = . С другой стороны, представимо в виде = Im * ⊕ ker ,106откуда следует, что ker = 0.Теорема 2 (вторая теорема Фредгольма, альтернатива Фредгольма).

Либо операторное уравнение = разрешимо при любойправой части, либо соответствующее однородное уравнение = 0 имеет нетривиальное решение.Допустим, что уравнение = разрешимо при любой правой части. Это означает, что Im = , и по лемме 5 ker = 0.То есть однородное уравнение имеет только тривиальное решение.Доказательство.Если же уравнение = разрешимо не для всех , то Im ̸= .Следовательно, ker ̸= 0 и однородное уравнение имеет нетривиальноерешение. Теорема 3 (третья теорема Фредгольма). Размерности ядра оператора и сопряженного оператора * конечны и равны:dim ker = dim ker * < +∞.Доказательство. Обозначимdim ker * = .dim ker = ,Если = +∞, то в ker можно выбрать счетный ортонормированныйбазиз { }.

Но тогда√ = для любого и ‖ − ‖ = ‖ − ‖ = 2,то есть из { } нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности. Этопротиворечит компактности оператора .Аналогичным образом доказывается, что < +∞.Предположим теперь, что > . Выберем в ker ортонормированныйбазис { }, а в ker * — ортонормированный базис { }.Рассмотрим следующий оператор: = −∑︁(, ) .=1Он будет являться вполне непрерывным.

Характеристики

Список файлов лекций