Конспекты курса по функциональному анализу 2008, страница 6

Если каждая функция () неотрицательна почтивсюду на множестве , измерима и интегрируема на этом множестве, иесли сходится ряд∞ ∫︁∑︁ (),=1 то почти всюду на сходится ряд∞∑︁ (),=1причём сумма () этого ряда интегрируема на множестве и удовлетворяет условию∫︁∞ ∫︁∑︁() = ().=1 Теорема 11 (теорема Фату). Если последовательность измеримых иинтегрируемых на множестве функций { ()} сходится почти всюдуна к предельной функции () и если существует∫︀константа такая,что для всех номеров справедливо неравенство | ()| 6 , то40предельная функция ∫︀ () интегрируема на множестве и для неё справедливо неравенство | ()| 6 .Доказательство.

Введём в рассмотрение функции () = inf | ()|.>Заметим, что последовательность { ()} является неубывающей и почти всюду на сходится к | ()|, а каждая функция () неотрицательна и является измеримой в силу теоремы 3 параграфа 3. Кроме того, для любого справедливо неравенство () 6 | ()|, из которогов силу теоремы 6 следует интегрируемость функций () на множестве . Наконец, справедливо неравенство∫︁∫︁ () 6 | ()| 6 .Получаем, что к последовательности { ()} применима теорема 10.

Следовательно, предельная функция | ()| интегрируема (откуда сразу следует интегрируемость функции ()) и выполняется равенство∫︁∫︁lim () = | ()|.→∞Так как для любого номера ∫︁ () 6 ,то верно и неравенство∫︁| ()| 6 .Таким образом, теорема полностью доказана.Теорема 12 (теорема Лебега). Пусть измеримое множество имеетконечную меру. Для того, чтобы ограниченная функция () была интегрируема на множестве по Лебегу, необходимо и достаточно, чтобыона была измерима.Достаточность доказана в теореме 2.

Докажем необходимость.Доказательство.41Пусть функция () ограничена и интегрируема по Лебегу на измеримом множестве . Следовательно, её верхний и нижний интегралы Лебега совпадают, а это значит, что существует последовательность раз()биений = { } множества такая, что соответствующие последовательности верхних { } и нижних { } сумм удовлетворяют условию(+1)} − < 1 , причём каждое последующее разбиение +1 = {()является измельчением предыдущего разбиения = { }.

(Для построения такой последовательности разбиений достаточно там, где этонеобходимо, брать произведение вводимых разбиений.)По определению =()∑︀()()()где | |,= sup ();=1 =()∑︀()()()()где = inf (). | |,()=1Определим две последовательности функций { ()} и { ()}, где()() () = на ,()() () = на .Для каждого номера обе функции () и () измеримы на множестве , так как они представляют собой линейные комбинации харак()теристических функций измеримых множеств . Кроме того, последовательность { ()} не возрастает, а последовательность { ()} неубывает на множестве , причём для любого номера в каждой точкемножества справедливы неравенства () 6 () 6 ().Положим () = lim (), () = lim (),→∞→∞тогда в каждой точке множества () 6 () 6 ().Из теоремы 10 (Леви) получаем, что∫︁∫︁lim [ () − ()] = [ () − ()].→∞42С другой стороны, из определения функций () и () вытекает, что∫︁∫︁ () = , () = ,причём по построению lim ( − ) = 0.

Следовательно,→∞∫︁[ () − ()] = 0.Кроме того, функция [ () − ()] ограничена и измерима, а значит, иинтегрируема на множестве . Кроме того, эта функция ещё и неотрицательна, поэтому в силу теоремы 5 () − () = 0 почти всюду на .Следовательно, () = () = () почти всюду на , и поэтому из измеримости функций () и () вытекает измеримость функции ()на множестве . 4.4.

Случай|| = +∞Мы рассматриваем случай, когда множество имеет бесконечную меру,но может быть представлено в виде суммы счётного числа множеств конечной меры (в таком случае говорят, что мера множества является -конечной ).Определение 1. Говорят, что последовательность множеств { } ис с -конечной мерой, если для каждого номера∞⋃︀ | | < +∞, ⊂ +1 и = .черпывает множествоОпределение 2. Измеримая функция (), определённая на множестве=1 с -конечной мерой, называется интегрируемой на , если она интегрируема на каждом измеримом подмножестве ⊂ конечной меры иесли для каждой последовательности { }, исчерпывающей множество , предел∫︁ = lim ()→∞существует и не зависит от выбора этой последовательности. Тогда называется интеграломЛебега от () по множеству и обозначается∫︀символом = ().43Теорема 1 (теорема Фубини).

Пусть функция (, ) интегрируемана Π = {(, ) : 6 6 , 6 6 }. Тогда для почти всех ∈ [, ]∫︀∫︀существует (, ), для почти всех ∈ [, ] существует (, ) и∫︁∫︁ ∫︁ (, ) =∫︁ (, ) =Π∫︁∫︁ (, ).Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно.Пример — функция (, ) =⎧⎨(2+ 2 )2вне нуляпри = = 0⎩0на множестве = [−1; 1] × [−1; 1].§5. Пространство , > 1.Рассматриваем случай, когда — измеримое множество.над полем называется непустое множество , на котором введены следующие операции:Линейным (векторным пространством)1.

операция сложения: каждой паре элементов , множества ставится в соответствие элемент , обозначаемый + ;2. операция умножения на скаляр (элемен поля ): любому элементу ∈ и любому элементу ∈ ставится в соответствие элемент, обозначаемый .При этом должны выполняться следующие условия:1. + = + ∀, ∈ ;2. + ( + ) = ( + ) + 3. ∃ ∈ : + = ∀, , ∈ ;∀ ∈ ;4. ∀ ∈ ∃(−) ∈ : + (−) = ;5. () = ()6.

1 · = ∀ ∈ ;∀ ∈ ;447. ( + ) = + ∀ ∈ ;8. ( + ) = + ∀, ∈ .В дальнейшем будем рассматривать пространства над полем действительных чисел R.Линейное пространство называется нормированным, если любому элементу ∈ ставится в соответствие действительное число (называемоенормой этого элемента и обозначаемое символом ‖ ‖ ), и при этом выполняются следующие условия (аксиомы ):1. ∀ ∈ ‖ ‖ > 0,2. ∀ ∈ , ∀ ∈ R3. ∀, ∈ ‖ ‖ = 0 ↔ = 0;‖ · ‖ = ||‖ ‖;‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖‖.Определение 1. Говорят, что функция () принадлежит пространству (), если () измерима на множестве , а функция | ()| интегрируема на .Введём в пространстве () норму с помощью следующим образом:⎛⎞ 1∫︁‖ ‖ () = ‖ ‖ = ⎝ | ()| ⎠ .Линейность этого пространства очевидна; докажем, что оно являетсянормированным.Рассмотрим первую аксиому: неотрицательность введённой нормы очевидна, равно как и справедливость выражения = 0 ⇒ ‖ ‖ = 0; справедливость выражения ‖ ‖ = 0 ⇒ = 0 следует из теоремы 5 параграфа4.

Таким образом, первая аксиома выполняется. Справедливость аксиомы 2 также очевидна. Остаётся доказать, что в пространстве () выполняется аксиома 3 (так называемое неравенство треугольника ). Передэтим докажем несколько вспомогательных утверждений.Неравенство Юнга. Пусть числа , > 0 и связаны соотношением1 1+ = 1. Тогда для любых чисел > 0 и > 0 выполняется неравенство 1 1 · 6 + . 45Доказательство. Рассмотрим функцию Ψ() = − , > 0, ∈(0, 1). Тогда Ψ () = (− 1).

Получаем, что Ψ () > 0 при ∈ (0; 1)и Ψ′ () < 0 при ∈ (1; +∞). Следовательно,′′−1max Ψ() = Ψ(1)>0Ψ() 6 Ψ(1), или 6 + (1 − ).⇒Рассмотрим = , > 0, > 0. Тогда · 1− 6 + (1 − ). Положим11 = , тогда 1− = . Подставляя эти значения в неравенство, получим1 1 · 6 + . Неравенство Гельдера. Пусть > 1,+ 1 = 1, () ∈ (), () ∈ ().

Тогда () · () — интегрируемая функция, и1⎞1 ⎛⎞1∫︁∫︁∫︁⎝⎠⎝| ()()| 6| ()| ·|()| ⎠⎛Доказательство. Введём в рассмотрение функции() = (),‖ ‖() =().‖‖Подставим в неравенство Юнга числа = || , = || :| () · ()|| ()| |()|6+;‖ ‖ ‖‖‖ ‖‖‖| () · ()| 6| ()||()|‖‖+‖ ‖ .‖ ‖−1‖‖−1Так как в правой части неравенства стоит интегрируемая функция, функция () · () также является интегрируемой. Поэтому∫︁)︂‖ ()‖‖()‖| ()()| 6‖‖ +‖ ‖ =‖ ‖−1‖‖−1(︂)︂‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖1 1= ‖ ‖ ‖‖ . =+= ‖ ‖ ‖‖+ ∫︁ (︂46Неравенство Минковского. Пусть (), () ∈ (), > 1.

Тогда () + () ∈ () и‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖‖ .Доказательство. Заметим, что| + | 6 2 (| | + || )⇒ + ∈ ()⇒| + | ∈ ().Поэтому в силу неравенства Гельдера∫︀11| || + | 6 ‖ ‖ ‖ + ‖∫︀||| + | 6 ‖‖ ‖ + ‖Сложим эти два неравенства:∫︁∫︁| + | = | + || + |−1 6∫︁(| | + ||)| + | 666 (‖ ‖ + ‖‖ )‖ + ‖Поделив это неравенство на ‖ + ‖ , получим требуемое неравенство.Таким образом, аксиома 3 также выполняется, поэтому () являетсялинейным нормированным пространством.Определение 2. Последовательность { } в нормированном простран-стве называется фундаментальной, еслиlim ‖ − ‖ = 0.→∞→∞Линейное нормированное пространство называется полным (банаховым), если для любой фундаментальной последовательности { } пространства найдется ∈ такое, чтоlim ‖ − ‖ = 0.→∞47Теорема 1.Доказательство.Пусть — измеримое множество конечной меры, тогда пространство (), > 1 — банахово.Рассмотрим фундаментальную последовательность { ()}.Тогда для любого > 0 найдётся такой номер , что при , > выполняется неравенство‖ () − ()‖ < .Следовательно, для любого ∈ N найдётся такой номер , что при, > выполняется неравенство1.2Это, в свою очередь, означает, что существует последовательность номеров 1 < 2 < · · · < < +1 < .

. . такая, что‖ () − ()‖ <‖+1 () − ()‖ <1.2Запишем неравенство Гельдера для функций |+1 () − ()| и 1:∫︁1|| |+1 () − ()| 6 ‖+1 () − ()‖ || < .21Суммируя по от 1 до ∞ и учитывая тот факт, чточто∞ ∫︁∑︁∞ 1∑︀= 1, получаем,=1 21|+1 () − ()| < || .=1 В силу конечности || это означает, что ряд∞ ∫︁∑︁|+1 () − ()|=1 сходится. Следовательно, в силу следствия из теоремы Леви почти всюдуна множестве сходится ряд∞∑︁⃒⃒+1⃒() − ()⃒ ,=1а значит, сходится и ряд∞∑︁(︀)︀+1 () − () .=148Добавим к этому ряду функцию 1 (). Получим, что последовательность { ()} почти всюду на сходится к некоторой ().Рассмотрим последовательность { () − ()}. В силу фундаментальности последовательности { ()} для любого > 0 найдётся такой номер , что при , > справедливо неравенство‖ () − ()‖ 6 .С другой стороны, последовательность { ()− ()} почти всюду на сходится к предельной функции () − ().